ČÍSELNÉ OBORY, VÝRAZY - OPAKOVÁNÍ Cyrilometodějská církevní základní škola Lerchova 65, Brno Tento výukový materiál vznikl v rámci projektu EU–peníze do škol projekt Cyril, č. CZ.1.07/1.4.00/

Název přípravy:VY_42_246_ČÍSELNÉ OBORY, VÝRAZY – OPAKOVÁNÍ Autor přípravy: Mgr. Jana Borkovcová Určeno pro: Matematika, 8. ročník Obsah: rozsah 1 vyučovací hodina, příprava je určena k závěrečnému zopakování a procvičení učiva o číselných oborech a výrazech Pomůcky: počítače pro jednotlivé žáky, psací potřeby

Číselné obory, výrazy Závěrečné opakování Kliknutím na obdélníkové pole si vyber téma, které si chceš procvičit. Přepiš si vybrané příklady do sešitu, správnost svého řešení si ověříš kliknutím na tlačítko Pokud potřebuješ připomenout pravidla počítání, klikni na tlačítko Ke skrytí už zobrazených správných řešení můžeš použít tlačítko K návratu ke snímkům s příklady nebo na počáteční výběr témat, která můžeš procvičovat, použij tlačítka = Připomenutí Vymazat výsledky Zpět na příkladyNový výběr tématu START a

Číselné obory Určování hodnoty výrazů Jednočleny a mnohočleny Zjednodušování výrazů bez závorek Sčítání a odčítání mnohočlenů Násobení mnohočlenů Dělení mnohočlenu jednočlenem Mocninové vzorce Mnohočleny – kombinace početních operací Rozklad mnohočlenů na součin – jednodušší příklady Rozklad mnohočlenů na součin – složitější příklady

Číselné obory přirozená č. ( ℕ ): 1, 2, 3, 4, … celá č. ( ℤ ): 0, 1, -1, 2, -2, … racinonální č. ( ℚ ): všechna č., která jdou zapsat jako zlomek reálná č. ( ℝ ): čísla, která nejdou zapsat jako zlomek Zpět na příkladyNový výběr tématu 19 2 ℤ 0 ℕ ℚℝ -25 0,3 π

Číselné obory -6 PřipomenutíNový výběr tématu ℤ, ℚ, ℝ ℚ, ℝ ℝ ℤ, ℚ, ℝ (= -9) ℝ ℕ, ℤ, ℚ, ℝ ℝ ℚ, ℝ ℕ, ℤ, ℚ, ℝ (= 7) ℚ, ℝ ℕ, ℤ, ℚ, ℝ (= 3) ℚ, ℝ Vymazat výsledky 13 π 2,8 Urči, do kterých množin patří tato čísla:

Určování hodnoty výrazů −u číselného výrazu znamená spočítat zadaný příklad −u algebraického výrazu znamená dosadit za proměnné zadané hodnoty a spočítat příklad −např.: Zpět na příkladyNový výběr tématu hodnota výrazu 5. (8 – 10) = 5. (-2) = -10 hodnota výrazu 3 x – 2. ( x 2 – y ) pro x = 4 a y = -1: 3. 4 – 2. (4 2 – (-1)) = 12 – 2. (16 + 1) = 12 – = = 12 – 34 = -22

Určování hodnoty výrazů PřipomenutíNový výběr tématu Vymazat výsledky xy 2 – 5 x ( x + y ) 2 – x 5. (3 x – 1) + 8 y – (2 x 2 y + 3 xy 2 ) – 10 ( x – 2 y ). 4 x = = = = = Urči hodnotu výrazů pro x = -2 a y = 3:

Jednočleny a mnohočleny −členy v mnohočlenech jsou od sebe oddělené znaménky + nebo – −proměnné = písmena, která nahrazují čísla −koeficienty = čísla v jednotlivých členech (je nutné je brát i se znaménky, která jsou před nimi) −absolutní člen = člen, který neobsahuje žádnou proměnnou −např.: výraz 5 x 3 – 7 xy + y 2 – 6 má Zpět na příkladyNový výběr tématu 4 členyproměnné x, y koeficienty 5; -7; 1; -6absolutní člen -6

Výraz x 3 – 5 x 2 – x má: Jednočleny a mnohočleny PřipomenutíNový výběr tématu počet členů proměnné koeficienty absolutní člen počet členů proměnné koeficienty absolutní člen 3 x 1; -5; a, b, c 3; -1; 1; Vymazat výsledky Výraz 3 ab 3 – a 2 b + c – 4 má:

Zjednodušování výrazů bez závorek −sčítat a odčítat můžeme jen úplně „stejné“ členy (čísla s čísly, x s x, y 3 s y 3 …) −členy musíme brát i se znaménky, která jsou před nimi −členy zůstávají „stejné“, mění se pouze jejich počet −např.: Zpět na příkladyNový výběr tématu x x 2 – 7 x – 2 x 2 = -6 x x a 2 b 4 – 3 a 4 b 2 – 6 b 2 a b 4 a 2 = 9 a 2 b 4 – 9 a 4 b 2

-3 x x 2 – 7 x 2 – x 5 a 6 b 4 – a 4 b 6 – 6 b 4 a b 6 a 4 -y 2 – 2 x 2 – 7 y y 2 – 2 x 2 6 a 8 b – 5 ab 8 – b 8 a – 10 ba x + 5 – 7 x + 7 x 2 a 3 – 2 a 3 b b 2 a 3 – 4 a b 2 Zjednodušování výrazů bez závorek PřipomenutíNový výběr tématu = = = = = = -4 x 5 – 3 x 2 -5 a 6 b a 4 b 6 -4 x y 2 – 7 y 3 -4 a 8 b – 6 ab x + 7 x 2 -3 a b 2 Vymazat výsledky

Sčítání a odčítání mnohočlenů −pokud je před závorkou plus → odstraníme závorku a všechny členy v ní opíšeme −pokud je před závorkou mínus → odstraníme mínus a závorku a změníme znaménka u všech členů závorky −pak sečteme a odečteme, co jde (zjednodušíme výraz) −např.: Zpět na příkladyNový výběr tématu 7 x – ( x x – 2) + (-8 – 2 x 2 ) = 7 x – x 2 – 5 x + 2 – 8 – 2 x 2 = = -3 x x – 6

( x x 2 ) + (7 x 2 – 2 x 3 ) 7 a – ( a a – 2 a 5 ) 11 x 2 y – ( yx 2 – 5 xy 2 ) + (-2 y 2 x ) – (-6 a 2 + a – 1) + (10 a – 2 a 2 ) ( x – 3 x 2 ) – (8 x + 2 x 2 ) – (5 a 3 b a 2 b 3 ) + (-5 b 3 a 2 – 2 b 2 a 3 ) PřipomenutíNový výběr tématu = = = = = = - x x 2 2 a + a 5 10 x 2 y + 3 xy 2 4 a a x – 5 x 2 -7 a 3 b 2 – 7 a 2 b 3 Vymazat výsledky Sčítání a odčítání mnohočlenů

Násobení mnohočlenů −mnohočlen násobíme jednočlenem tak, že tímto jednočlenem vynásobíme postupně všechny členy mnohočlenu (závorky) −mnohočleny mezi sebou násobíme tak, že každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé závorky −pak sečteme a odečteme, co jde (- zjednodušíme výraz) −exponenty se při násobení mocnin sčítají −např.: Zpět na příkladyNový výběr tématu 7 x. ( x x – 5) = 7 x x 2 – 35 x ( x 2 – x ). (-3 x 2 – 2 x + 4) = -3 x 4 – 2 x x x x 2 – 4 x = = -3 x 4 + x x 2 – 4 x

-4 a. ( a a 3 – 2 a ) (9 x 2 – 5 y 2 ). (-2 x 3 y ) ( x x ). (7 – 2 x ) ( x 4 – 7 x 2 ). (6 x 2 – x 3 ) (-2 a 2 + a – 9). (3 a 2 – 5 a ) ( x 2 – 6 x ). (8 x 2 + x – 2) Násobení mnohočlenů PřipomenutíNový výběr tématu Vymazat výsledky = = = = = = -4 a 6 – 20 a a x 5 y + 10 x 3 y 3 x 2 – 2 x x 6 x 6 – x 7 – 42 x x 5 -6 a a 3 – 32 a a 8 x 4 – 47 x 3 – 8 x x

Dělení mnohočlenu jednočlenem −mnohočlen dělíme jednočlenem tak, že tímto jednočlenem vydělíme každý člen mnohočlenu (závorky) −výsledek má tolik členů, kolik původní mnohočlen −exponenty se při dělení mocnin odčítají −např.: Zpět na příkladyNový výběr tématu (45 x x 2 – 5 x ) : 5 x = 9 x x – 1

( a a 2 – 5 a ) : a (16 x 5 y – 2 x 2 y ) : (-2 x 2 y ) (21 x x ) : 3 (40 x 4 y 5 – 32 x 2 y 3 –12 x 4 y 2 ) : 4 x 2 y 2 (-2 a 2 + a – 9) : (-1) (8 x x x 2 ) : 2 x 2 Dělení mnohočlenu jednočlenem PřipomenutíNový výběr tématu Vymazat výsledky = = = = = = a a – 5 -8 x x 2 + x 10 x 2 y 3 – 8 y –3 x 2 2 a 2 – a x x 3 + 1

Mocninové vzorce 1)(A + B) 2 = (A + B). (A + B) = A A.B + B 2 (– A – B) 2 = (– A – B). (– A – B) = A A.B + B 2 2)(A – B) 2 = (A – B). (A – B) = A 2 – 2.A.B + B 2 (– A + B) 2 = (– A + B). (– A + B) = A 2 – 2.A.B + B 2 3)(A + B). (A – B) = A 2 – B 2 Zpět na příkladyNový výběr tématu (9 x y ) 2 = 81 x x 3 y + 25 y 2 (7 a – 4) 2 = 49 a 2 – 56 a + 16 (3 x + y ). (3 x – y ) = 9 x 2 – y 2 −např.:

(5 x – y ) 2 (6 x + 7). (6 x – 7) (10 a + 9 b ) 2 (2 x 4 – 3 y ). (2 x y ) (8 x + 3) 2 ( a 2 – 11) 2 Mocninové vzorce PřipomenutíNový výběr tématu = = = = = = 25 x 2 – 10 xy + y 2 36 x 2 – a ab + 81 b 2 4 x 8 – 9 y 2 64 x x + 9 a 4 – 22 a Vymazat výsledky

Mnohočleny – kombinace početních operací −pokud je víc závorek vnořených v sobě, odstraňujeme je postupně, počínaje vnitřními −mocniny, násobení a dělení mají přednost před sčítáním a odčítáním −např.: Zpět na příkladyNový výběr tématu 2.( x + 7) 2 – [ x – (12 x x ) : 4] = = 2.( x x + 49) – [ x – (3 x x )] = = 2 x x + 98 – [ x – 3 x 2 – 4 x ] = = 2 x x + 98 – x + 3 x x = 5 x x + 98

3.( x 2 + 4) – [9 x – (7 x x )] ( x + 7). (2 x – 5) – (24 x x ) : 8 x – [7 x – (8 x 2 + x ). 5] 2.( x – 3) 2 – [2 x – ( x x 2 ) + 1] (15 a + 27) : 3 – [4 a – (10 a a )] ( y + 5). ( y – 5) – (2 y + 1). y Mnohočleny – kombinace početních operací PřipomenutíNový výběr tématu Vymazat výsledky = = = = = = 10 x 2 – 3 x x x – x 2 – 2 x x x 2 –14 x a a y 2 – y – 25

Rozklad mnohočlenů na součin – jednodušší příklady −pokud mají všechny členy mnohočlenu nějakého společného dělitele kromě 1, vytkneme ho před závorku (členy v závorce dostaneme vydělením původních členů vytknutým společným dělitelem) −pokud nejde nic vytknout, zjistíme, jestli se nejedná o mocninový vzorec – pokud ano, použijeme ho −např.: Zpět na příkladyNový výběr tématu 7 x x 2 – 35 x = 7 x. ( x x – 5) 2 x.( x + 7) – 5. ( x + 7) = ( x + 7). (2 x – 5) 16 x 2 – y 2 = (4 x + y ). (4 x – y ) 25 a 2 – 60 a + 36 = (5 a – 6). (5 a – 6) A 2 – B 2 = (A + B). (A – B) A 2 – 2.A.B + B 2 = (A – B). (A – B)

25 x 2 – 10 xy + y 2 18 x 4 y 3 – 9 x 5 y + 6 x 2 y 2 49 a ab + b 2 81 x 6 – 25 y 2 24 a 4 b + 32 a 5 b 3 – 56 a 4 b 2 7 a. ( a 2 – 5) – ( a 2 – 5). 9 Rozklad mnohočlenů na součin – jednodušší příklady PřipomenutíNový výběr tématu = = = = = = (5 x – y ). (5 x – y ) 3 x 2 y. (6 x 2 y 2 – 3 x y ) (7 a + b ). (7 a + b ) (9 x 3 – 5 y ). (9 x y ) 8 a 4 b. (3 + 4 ab 2 – 7 b ) ( a 2 – 5). (7 a – 9) Vymazat výsledky

Rozklad mnohočlenů na součin – složitější příklady Zpět na příkladyNový výběr tématu −pokud se závorky v jednotlivých členech výrazu liší pouze znaménky, vytkneme z jedné závorky -1 (→ změní se znaménko před závorkou i všechna znaménka v závorce), a pak závorku vytkneme −pokud to jde, vytkneme před závorku největšího společného dělitele všech členů, poté zjistíme, jestli v závorce nezůstal mocninový vzorec – pokud ano, pokračujeme tím, že ho použijeme −např.: 3 x.( x – 9) – 5.(– x + 9) = 3 x.( x – 9) + 5.( x – 9) = ( x – 9). (3 x + 5) 16 x 2 – 64 y 2 = 16. ( x 2 – 4 y 2 ) = 16. ( x + 2 y ). ( x – 2 y ) 125 a a + 5 = 5. (25 a a + 1) = 5. (5 a + 1). (5 a + 1)

6 a. ( a – 6) – 7. (- a + 6) 8 x. ( x 2 + y ) – (- x 2 – y ). y 7 a. (9 a – 5) + (5 – 9 a ) 50 x xy + 2 y 2 81 a 2 – 54 ab + 9 b x 10 – 36 y 2 Rozklad mnohočlenů na součin – složitější příklady PřipomenutíNový výběr tématu = = = = = = ( a – 6). (6 a + 7) ( x 2 + y ). (8 x + y ) (9 a – 5). (7 a – 1) 2. (5 x + y ). (5 x + y ) 9. (3 a – b ). (3 a – b ) 36. (2 x 5 – y ). (2 x 5 + y ) Vymazat výsledky