KOMPLEXNÍ ČÍSLA Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

př. kvadratická rovnice x = 0 x = 0 x 2 = -1 -> druhá mocnina jakéhokoli čísla nikdy není záporné číslo -> v oboru reálných čísel nemá rovnice řešení

předpokládejme, že existuje prvek „i“, pro který platí: i 2 = -1 nyní má rovnice x = 0 řešení x = 0 x = i protože platí i = = 0

Def.1 „Komplexním číslem nazveme výraz ve tvaru a+bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je číslo, pro které platí i 2 = -1.“ obor komplexních čísel značíme C a ……….. reálná část b ……….. imaginární část i ………... imaginární jednotka

Def. 2 Sčítání komplexních čísel pro libovolná komplexní čísla a+bi, c+di platí: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i součet komplexních čísel je komplexní číslo jeho reálná část je rovna součtu reálných částí všech sčítanců jeho imaginární část je rovna součtu imaginárních částí všech sčítanců

Def. 3 Násobení komplexních čísel pro libovolná komplexní čísla a+bi, c+di platí: (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i součin nuly a libovolného komplexního čísla je vždy roven nule

Def. 4 Rovnost komplexních čísel „Komplexní čísla a+bi, c+di se rovnají právě tehdy, když platí: a = c a zároveň b = d“ -> libovolná dvě komplexní čísla se rovnají, jestliže se rovnají jejich části reálné i jejich části imaginární

Def. 5 Algebraický tvar „Zápis komplexního čísla z ve tvaru a+bi se nazývá algebraický tvar komplexního čísla z.“

i 2 = -1 -> 3(-1) = -3 Příklad 1 Zapište v algebraickém tvaru číslo: (2+3i) (1+i) – (2+i) (1-3i) Řešení: (2+3i) (1+i) – (2+i) (1-3i) = = (2 + 2i + 3i + 3i 2 ) – (2 – 6i + i – 3i 2 ) = = (-1 + 5i) – (5 – 5i) = i Příklady k procvičení

Příklad i + 3(7 - i) 2 + i + 21 – 3i = 23 – 2i Příklad 3 (i – 1) (2i – 3) – i -2 – 3i – 2i + 3 – i = 1 – 6i Příklad 4 (2+i) (3 + i) (1 + 2i) (6 + 2i + 3i – 1) (1 + 2i) = = (5 + 5i) (1 + 2i) = i + 5i – 10 = = i

Def. 6 „Komplexní čísla z = a + bi a –z = - a – bi se nazývají navzájem opačná čísla.“ Def. 7 „Komplexní čísla z = a + bi a 1 z 1 a + bi =, kde z ≠ 0, se nazývají převrácená (reciproká) čísla.“

Příklad 5 Příklad 6 Příklad 7

Příklad 8 výsledek: Příklad 9 výsledek:

Zdroje Def 1: CALDA, CSC., Doc.RNDr.Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Def 2: CALDA, CSC., Doc.RNDr.Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Def 3: CALDA, CSC., Doc.RNDr.Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Def 4: CALDA, CSC., Doc.RNDr.Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Def 5: CALDA, CSC., Doc.RNDr.Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Def 6: POLÁK, CSC., Doc.RNDr. Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Def 7: POLÁK, CSC., Doc.RNDr. Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN

Příklad 1: CALDA, CSC., Doc.RNDr.Emil. Matematika pro gymnázia : Komplexní čísla. dotisk 3.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Příklad 2: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Příklad 3: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Příklad 4: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Příklad 5: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Příklad 6: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Příklad 7: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Příklad 8: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN Příklad 9: PETÁKOVÁ, RNDr. Jindra. Matematika : příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. dotisk 1.vydání. Praha : Prometheus, s. ISBN