Časové řady vznikají při sledování veličiny (Y) v čase (t) vznikají při sledování veličiny (Y) v čase (t) hodnoty: y 1, y 2,…,y T hodnoty: y 1, y 2,…,y T neboli: { y t ; t=1,…T } neboli: { y t ; t=1,…T } Y…veličina (ukazatel) libovolného typu, nejčastěji ale číselná spojitá Y…veličina (ukazatel) libovolného typu, nejčastěji ale číselná spojitá věcné a místní vymezení (co, kde) věcné a místní vymezení (co, kde)

Časové řady Příklady: denní tržby v daném obchodě denní tržby v daném obchodě měsíčně počet zaměstnanců firmy měsíčně počet zaměstnanců firmy čtvrtletní míra nezaměstnanosti v regionu čtvrtletní míra nezaměstnanosti v regionu roční míra inflace v zemi roční míra inflace v zemi

Časové řady - typy a) dle shody dob mezi údaji: ekvidistantní…každé období stejně dlouhé neekvidistantní…existují rozdíly b) dle délky doby mezi údaji: krátkodobé – střednědobé – dlouhodobé jasnější je konkr. vymezení, nejčastěji: denní – týdenní – měsíční – čtvrtletní – roční – pětileté – …

Časové řady - typy c) dle (ne)kumulativnosti údajů: okamžikové…údaj = stav k danému okamžiku; (jednotlivé hodnoty nemá smysl kumulovat=sčítat) intervalové…údaj za celou dobu (interval) t; (jednotlivé hodnoty má smysl kumulovat=sčítat, kumulací vznikají souhrny za více období) Např. u automobilky: počet zaměstnanců k poslednímu dni každého měsíce; počet vozů vyrobených za každý měsíc ? kde je ekvidistantnost nutnější ?

Časové řady - typy d) dle vzniku údajů: základní…údaj byl přímo zjištěn (změřen…) odvozené…údaj nutno vypočítat Např. každoročně určovaná hustota obyvatel - odvozeno vždy z rozlohy a počtu obyvatel

Časové řady - jejich složky ČŘ mohou vykazovat trend ČŘ mohou vykazovat trend = systematické „směřování“ trend často patrný již z grafu trend často patrný již z grafu Př. vývoj průměr- né hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kra- ji (roky )

Časové řady - jejich složky ČŘ (delší) mohou vykazovat periodické chování = opakované výkyvy ČŘ (delší) mohou vykazovat periodické chování = opakované výkyvy i toto často patrné již z grafu i toto často patrné již z grafu Př. průměrné čtvrtletní výdaje na osobu, SRN (roky ) - v tehdejších „záp.“ markách

Časové řady - jejich složky ČŘ vždy vykazují nahodilé chování = náhodné výkyvy (nikdy neleží např. přesně na přímce popisující trend) ČŘ vždy vykazují nahodilé chování = náhodné výkyvy (nikdy neleží např. přesně na přímce popisující trend) označme jednotlivé složky: označme jednotlivé složky: Y t … model trendu S t … model periodického chování e t … náhodná složka

Časové řady - jejich složky tzv. aditivní model předpokládá: tzv. aditivní model předpokládá: y t = Y t + S t + e t cíle zpracování ČŘ = cíle zpracování ČŘ = deskripce (→pochopení) deskripce (→pochopení) analýza jednotlivých složek (→ model) analýza jednotlivých složek (→ model) predikce (= předpověď do budoucna ) predikce (= předpověď do budoucna )

Časové řady - deskripce Absolutní přírůstek (diference1.řádu) d t = y t − y t−1 t = 2,…,T o kolik se hodnota liší oproti předešlé (v týchž měrných jednotkách jako Y) d t > 0 … došlo k nárůstu d t < 0 … došlo k poklesu

Časové řady - deskripce Průměrný absolutní přírůstek _ d = (d 2 +d 3 +…+d T ) / (T−1) = = (y T −y 1 ) / (T−1) = (y T −y 1 ) / (T−1) zda „převažuje“ nárůst či pokles (ale pozor – vliv krajních hodnot!)

Časové řady - deskripce Př. Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kraji za roky rok mzda absolutní přírůstek x _____ _____ d = ( ) / 4 = 1410; = (20962−15322) / 4 = 1410 = (20962−15322) / 4 = 1410

Časové řady - deskripce Př. Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kraji za roky _____ _____ d = 1410 Interpretace? V průměru došlo ve sledovaném období každoročně k nárůstu mzdy o 1.410,- Kč oproti roku předešlému.

Časové řady - deskripce Koeficient růstu (řetězový index) k t = y t / y t−1 t = 2,…,T kolikrát se hodnota liší oproti předešlé (lze vyjádřit v %); jen pro Y>0 k t > 1 … došlo k nárůstu k t < 1 … došlo k poklesu např. k t =0,97 … pokles Y o 3 %

Časové řady - deskripce Průměrný koeficient růstu _ k = T−1 √(k 2 ·k 3 ·…·k T ) = = T−1 √(y T /y 1 ) = T−1 √(y T /y 1 ) zda „převažuje“ nárůst či pokles (ale pozor – vliv krajních hodnot!)

Časové řady - deskripce Př. Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kraji za roky rok mzda koeficient růstu x , , , ,069 /vše zaokr./ ___ ___ k = 4 √(1,067·1,047·1,146·1,069) = 1,082; = 4 √( / ) = 1,082 = 4 √( / ) = 1,082

Časové řady - deskripce Př. Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kraji za roky ____ ____ k = 1,082 Interpretace? V průměru došlo ve sledovaném období každoročně k nárůstu mzdy o 8,2 % oproti roku předešlému.

Časové řady - deskripce Relativní přírůstek r t = d t / y t−1 = k t −1 t = 2,…,T o kolik % se hodnota liší oproti předešlé (po vynásobení 100); jen pro Y>0 r t > 0 … došlo k nárůstu r t < 0 … došlo k poklesu např. r t = -0,03 … pokles Y o 3 %

Časové řady - deskripce Př. Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kraji za roky rok mzda relativní přírůstek x , , , ,069 /vše zaokr./ např. v roce 2007 došlo k nárůstu mzdy o 14,6 % oproti roku předešlému

Časové řady - deskripce POZOR při interpretaci % změn! Např.: POZOR při interpretaci % změn! Např.: rok k t r t ,047 0, ,146 0,146 změna mezd v roce 07 vůči roku 06? pomocí k t : 1,146 − 1,047 = 0,099 ! nešlo o nárůst mzdy o 9,9 % ! (ta vzrostla o 14,6 % proti roku 2006) šlo o tzv. nárůst o 9,9 procentního bodu

Časové řady - deskripce Bazický index b t = y t / y 0 t = 1,…,T o kolik % se hodnota liší oproti bazické (po vynásobení 100); jen pro Y>0 b t > 1 … došlo k nárůstu oproti y 0 b t < 1 … došlo k poklesu oproti y 0

Časové řady - deskripce Př. Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kraji za roky rok mzda bazický index (0=2004) , , , , ,368 /vše zaokr./ např. v roce 2007 vzrostla mzda o 28 % oproti roku 2004 (oproti roku bazickému)

Časové řady - deskripce Ppřevody mezi indexy? k t = b t / b t−1 t = 2,…,T a naopak (ale jen když báze=1.období): b t = k 2 ·…·k t t = 2,…,T

Časové řady - deskripce Př. Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kraji za roky rok k t b t (0=2004) 04 x 1, ,067 1, ,047 1, ,146 1, ,069 1,368 /vše zaokr./ k 4 = b 4 /b 3 = 1,280 / 1,117 = 1,146 k 4 = b 4 /b 3 = 1,280 / 1,117 = 1,146 b 4 = k 2 ·k 3 ·k 4 = 1,067·1,047·1,146 = 1,280 b 4 = k 2 ·k 3 ·k 4 = 1,067·1,047·1,146 = 1,280

Časové řady - deskripce Diference druhého řádu D t = d t − d t−1 = y t −2y t−1 +y t−2 (t=3…T) popisují „vyklenutí“ časové řady D t >0…průběh na úseku mezi hod- notami y t−2, y t−1, y t je konvexní D t <0…průběh na úseku mezi hod- notami y t−2, y t−1, y t je konkávní

Časové řady - deskripce Př. Průměrné hrubé měsíční nominální mzdy v Ústeckém kraji za roky rok d t D t 04 x x x kladná je pouze D 4 ; na grafu měla pouze trojice období konvexní průběh

Časové řady - deskripce kladná je pouze D 4 ; na grafu měla pouze trojice období konvexní průběh

Časové řady - vyhlazení model pro vyhlazení (vyrovnání) časové řady = snaha odhalit trendovou složku Y t spočívá v „odfiltrování“ náhodných i pravidelných vlivů (odchylek, výkyvů) možnosti: klouzavé průměry regresní model atd. (složitější metody)

Časové řady - vyhlazení a) klouzavé průměry - princip zvolíme K - délku klouzavého okna (=počet průměrovaných hodnot) zvolíme K - délku klouzavého okna (=počet průměrovaných hodnot) určíme průměr každé K-tice po sobě jdoucích hodnot : určíme průměr každé K-tice po sobě jdoucích hodnot : (y t +…+y t+K-1 ) / K

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry - poznámka: Hodnotu K volíme s ohledem na případnou periodičnost, či aspoň „logiku“ : např. denní údaje … K=7; čtvrtletní údaje …K=4

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry - příklad: Řadu čtvrtletních výdajů na osobu v SRN za roky vyrovnejte metodou klouzavých průměrů. 1. Jelikož údaje jsou čtvrtletní a navíc na grafu (viz dříve) byl každé čtvrté období patrný výkyv, zvolíme K=4.

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry – data: t t y t | 3336 | 3469 | 3536 | 3860 | 3452 | 3670 pokračování - data: t t y t | 3674 | 3999 | 3540 | 3751 | 3776 | 4150

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry - příklad: 2. Počítáme průměr pro první čtveřici údajů: (y 1 +…+y 4 ) / 4 = = ( )/4 = 3550,25 výsledek formálně přiřadíme středu průměrovaného období (střed 1-4 je číslo 2,5) => Y 2,5 = 3550,25 výsledek formálně přiřadíme středu průměrovaného období (střed 1-4 je číslo 2,5) => Y 2,5 = 3550,25

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry - příklad: 3. „sklouzneme“ o období doprava: (y 2 +…+y 5 ) / 4 = = ( )/4 = 3579,25 = ( )/4 = 3579,25 výsledek formálně přiřadíme středu průměrovaného období (střed 2-5 je číslo 3,5) => Y 3,5 = 3579,25 výsledek formálně přiřadíme středu průměrovaného období (střed 2-5 je číslo 3,5) => Y 3,5 = 3579,25

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry - příklad: 4. atd., po posledním „sklouznutí“: (y 9 +…+y 12 ) / 4 = = ( )/4 = 3804,25 = ( )/4 = 3804,25 výsledek formálně přiřadíme středu průměrovaného období (střed 9-12 je číslo 10,5) => Y 10,5 = 3804,25 výsledek formálně přiřadíme středu průměrovaného období (střed 9-12 je číslo 10,5) => Y 10,5 = 3804,25

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry – graf :

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry – zpracování v Excelu: I II III IV I II III IV I II III IV

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry – zpracování v Excelu:

Časové řady - vyhlazení Klouzavé průměry – poznámky : i) srovnejte graf výsledných klou- zavých průměrů s grafem původ- ních dat; povedlo se vyhlazení? ii) pozor – ne každý vypočtený klouzavý průměr byl „ročním“ průměrem za nějaký kalendářní rok (najdete je?)

Časové řady - vyhlazení b) regresní model - princip veličinou X je čas (pořadové číslo t) veličinou X je čas (pořadové číslo t) zbytek zcela dle teorie o regresi zbytek zcela dle teorie o regresi

Časové řady - vyhlazení Regresní model - příklad: Řadu ročních mezd v Ústeckém kraji proložit vhodným regresním modelem. 1. Jelikož údaje vykazovaly na grafu (viz dříve) cca lineární průběh, zvolíme „model přímky“.

Časové řady - vyhlazení Regresní model – data : rok x x y y Spočteme parametry regresní přímky b 1 =1454,1 b 0 =13507,3

Časové řady - vyhlazení Regresní model – výsledky : 3. Nalezený model Y = 13507, ,1·X, kde za X dosazujeme pořadové číslo roku (X=1 pro 2004,…)

Časové řady - vyhlazení Regresní model – komentáře : i) interpretace směrnice (1454,1)? Během sledovaného období došlo každý rok v průměru k nárůstu mzdy o 1 454,1 Kč (porovnat s průměrným abs.přírůstkem)

Časové řady - vyhlazení Regresní model – komentáře : ii) využití pro predikci (předpověď)? Do modelu dosadíme za X hodnotu odpovídající dosud nesledovanému období, zde např. X=6 (pro rok ’09): Y=13507,3+1454,1·6 = ,9 (neaplikovat do vzdálené budoucnosti!)

Časové řady - periodičnost model pro periodickou složku S t model pro periodickou složku S t (je-li přítomna) spočívá v „napojení“ na složku trendovou často je periodičnost dána vlivem ročních dob (sezón) => „sezónnost“ často je periodičnost dána vlivem ročních dob (sezón) => „sezónnost“ možnosti modelování: nejčastěji tzv. sezónní indexy nejčastěji tzv. sezónní indexy (=multiplikativní, nikoli aditivní model)

Časové řady - periodičnost sezónní index – postup určení a) pro každé období určíme hodnotu odhadu dle modelu trendu (Y t ); b) pro každé období spočteme hodnotu indexu y t /Y t udávající, koli- krát (o kolik %) byly skutečné hod- noty modelem nad-/podhodnoceny

Časové řady - periodičnost sezónní index – postup určení c) pro odpovídající si období v rámci jednotlivých period (např. každé první období) určíme z jednotlivých indexů jejich geometrický průměr

Časové řady - periodičnost sezónní index - př.(čtvrtletní výdaje) Pro data (zadání viz př. s klouzavý- mi průměry) lze spočítat tento lineární model trendu: Y t = 3382,9 + 46,4·X ( zaokrouhl.) kde za X dosadíme postupně pořadová čísla 1-12 a dostaneme:

Časové řady - vyhlazení Lineární trend – zpracování v Excelu: I II III IV I II III IV I II III IV

Časové řady - vyhlazení Lineární trend – zpracování v Excelu:

Časové řady - periodičnost x=t y t | 3336 | 3469 | 3536 | 3860 | 3452 | 3670 Y t | 3429 | 3476 | 3522 | 3568 | 3615 | 3661 x=t y t | 3674 | 3999 | 3540 | 3751 | 3776 | 4150 Y t | 3708 | 3754 | 3800 | 3847 | 3893 | 3940 (hodnoty Y t zaokrouhlovány)

Časové řady - periodičnost sezónní index - př.(čtvrtletní výdaje) Soustřeďme se např. na zimní údaje (tedy x=4,8,12; Y t zaokr. na 3 des.m.): x y t | 3860 | 3999 | Y t | 3568,446 | 3753,999 | 3939,551

Časové řady - periodičnost sezónní index - př.(čtvrtletní výdaje)

Časové řady - periodičnost sezónní index - př.(čtvrtletní výdaje) Příslušné tři indexy y t /Y t jsou: (x=4) 3860 / 3568,446 = 1,082 (x=8) 3999 / 3753,999 = 1,065 (x=12) 4150 / 3939,551 = 1,053 Např. během první zimy byly skutečné výdaje 8,2 % nad modelem lin.trendu

Časové řady - periodičnost sezónní index - př.(čtvrtletní výdaje) Celkově činí „zimní“ sezónní index: 3 √(1,082·1,065·1,053) = 1,067 Tj. průměrně během každé zimy byly skutečné výdaje 6,7 % nad modelem lin.trendu.

Časové řady - periodičnost sezónní index – využití? Proveďme odhad pro nezazname- nanou zimu 1988 (tj. x=16): Y 16 = 3382,9+46,4·16 = 4125,104 víme ale, že zimní údaje bývají o 6,7 % vyšší, než je odhad trendem, tj. upravíme odhad na hodnotu: 4125,104 · 1,067 = 4400,383

Časové řady – zdroj dat? ČSÚ (viz e-Sbírka: OBSAH-DALŠÍ ODKAZY)

Časové řady – zdroj dat?