FII-10 Optika 24. 5. 2006.

Prezentace na téma: "FII-10 Optika 24. 5. 2006."— Transkript prezentace:

1 FII-10 Optika

2 Hlavní body Maxwellovy rovnice a EMA vlny.
Úvod do optiky, vlastnosti světla Vymezení geometrické optiky Fermatův princip, optický systém Reflexe a reflexní optika Refrakce a refrakční optika, disperse Optické přístroje

3 Maxwellovy rovnice I Základní elektromagnetické principy lze shrnout do čtyřech Maxwellových rovnic. V případě časově neproměnných polí se rozpadají na dvě nezávislé dvojice popisující elektrické a magnetické pole. Časově proměnná pole jsou spolu vázána a tvoří jedno elektromagnetické pole.

4 Maxwellovy rovnice II

5 Maxwellovy rovnice III
První rovnice je Gaussova věta elektrostatiky, která říká, že : Existují zdroje elektrického pole – náboje. Jsou-li náboje přítomny, začínají elektrické siločáry v kladných nábojích (nebo nekonečnu) a končí v nábojích záporných (nebo nekonečnu). Pole bodového náboje klesá jako 1/r2.

6 Maxwellovy rovnice IV Druhá rovnice je Faradayův zákon elektromagnetické indukce, který říká, že : Elektrické pole může vznikat také časovou změnou pole magnetického. V tomto případě není konzervativní a jeho siločáry jsou uzavřené křivky. Není-li přítomno časově proměnné magnetické pole, je elektrické pole konzervativní a existuje v něm skalární potenciál.

7 Maxwellovy rovnice V Třetí rovnice je Gaussova věta magnetismu, která říká, že : Neexistují oddělené zdroje magnetického pole – magnetické monopóly. Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky. Pole proudového elementu klesá jako 1/r2.

8 Maxwellovy rovnice VI Čtvrtá rovnice je zobecněný Ampérův zákon, který říká, že: Magnetické pole je vytvářeno buď proudy nebo časovými změnami elektrického pole. Poslední člen, takzvaný posuvný proud, byl objeven J. C. Maxwellem a jeho existence byla překvapivá. Magnetické siločáry jsou uzavřené křivky.

9 Maxwellovy rovnice VII
V M. rovnicích a rovnici pro Lorentzovu sílu je veškerá informace o elektromagnetismu. Z těchto rovnic vyplývá mnoho zajímavých důsledků, z nichž některé byly předpověděny: Existuje jedno elektro-magnetické pole. Pouze ve speciálním statickém případě není první dvojice rovnic propojena s druhou a elektrostatické a magnetostatické pole mohou být uvažována zvlášť. Existují elektromagnetické vlny, jejichž prostřednictvím se energie nebo informace může přenášet rychlostí světla.

10 Obecné vlastnosti EMA vln
Řešení Maxwellových rovnic bez proudů a nábojů vyhovuje obecným vlnovým rovnicím. Ve vakuu se EMA vlny šíří rychlostí světla c = m/s. Vektory , , tvoří pravotočivý systém Amplituda magnetické indukce je c-krát menší než amplituda elektrické intenzity, ale energii nesou obě pole stejnou! Pro elektromagnetické vlny platí princip superpozice.

11 Rovinné elektromagnetické vlny
Důležitým řešením MR jsou rovinné vlny. Pokud se pohybují ve směru +x, rychlostí c, může být EMA pole popsáno rovnicemi : E = Ey =E0sin(kx - t) B = Bz =B0sin(kx - t) E a B jsou ve fázi vektory , , tvoří pravotočivý systém vlnové číslo : k = 2 /  úhlová frekvence :  = 2f rychlost vlny : c = f  =  / k

12 Spektrum EMA vln I Ukazuje se, že zdánlivě nesrovnatelné jevy, jako jsou radiové vlny, tepelné záření, viditelné světlo, ultrafialové záření, rentgenové záření, paprsky gama a záření kosmické jsou elektromagnetické vlny s různou vlnovou délkou a energií.

13 Spektrum EMA vln II Velmi rozdílné jevy jsou způsobeny stejnými EMA vlnami, majícími ‘pouze’ jinou frekvenci: Radiové vlny  > 0.1 m Mikrovlny >  > 10-3 m Infračervené záření >  > m Viditelné záření >  > m Ultrafialové záření >  > m Rentgenové záření >  > m Gama a kosmické záření >  > m

14 Dualismus vln a částic Elektromagnetické vlny projevují řadu vlnových vlastností, ale s rostoucí frekvencí se u nich výrazněji projevují vlastnosti částicové - korpuskulární. Ukazuje se, že energie je kvantovaná a jeden foton nese energii danou Planckovým zákonem:

15 Optika Původně se zabývala vlastnostmi a použitím světla.
Nyní je mnohem obecnější

16 Úvod do optiky I Již od nepaměti si lidstvo klade otázku: Co je světlo? První důležité objevy byly uskutečněny před třemi tisíci lety. Nyní se naše znalosti každý rok téměř dvojnásobí. Ale nejhlubší poznání se mění pomalu a původní otázka zůstává.

17 Úvod do optiky II Dlouhou dobu se věřilo tomu, že světlo je proud jakýchsi mikroskopických částic. Takzvaná korpuskulární teorie, založená na této představě byla podporována například Isaacem Newtonem ( ). Tomu se podařilo ‘dovršit’ lidské poznání hned v několika oblastech, především v mechanice a gravitaci. Přes obrovskou autoritu, kterou měl i po své smrti, se objevily experimenty, které jasně ilustrovaly vlnové vlastnosti světla.

18 Úvod do optiky III Ty byly geniálně shrnuty Jamesem Clerkem Maxwellem ( ). Nyní víme, že světlo jsou elektromagnetické vlny mající vlnovou délku 400 – 700 nm. Překvapivě ale problém, zda jsou světlo vlny nebo částice zůstal nevyřešen. Existují dvě skupiny experimentů. Každá z nich podporuje jednu z těchto představ.

19 Úvod do optiky IV Přenos energie, podobně jako absorpce a emise se uskutečňují po jistých minimálních kvantech – fotonech. (Jsou to částice s celočíselným spinem, tzv. bosony, u nichž není omezení na počet částic ve stejném stavu - laser) Nicméně pohyb světla přes optické elementy jako čočky, otvory a štěrbiny je řízen vlnovými vlastnostmi světla.

20 Úvod do optiky V Ukazuje se, že dualismus vln a částic je základní vlastností mikrosvěta a přijmutí myšlenky, že mikroskopické objekty mohou být částice a „současně“ vlny, je základem kvantové mechaniky. Ta je zatím nejlepší, i když ne snadno pochopitelnou, teorií mikrosvěta, která byla vybudována.

21 Úvod do optiky VI Díky tomuto dualismu se značně rozšířila oblast zájmu optiky. Ta se zabývá nejen viditelným světlem, ale obecně vlnami a to nejen elektromagnetickými ale například zaostřováním typicky částicových objektů jako elektronů nebo neutronů.

22 Meze geometrické optiky I
Přestože optika je nesmírně širokou a složitou oblastí, je základem řady praktických včetně průmyslových aplikací její první aproximace – geometrická optika. Jevy, se kterými pracuje lze popsat čistě geometricky. Dědí některé vlastnosti vln, jako například přímočaré šíření oběma směry a nezávislost paprsků. Na druhé straně přestává platit, když se začnou uplatňovat jiné vlastnosti vln například interference.

23 Meze geometrické optiky II
Typicky vlnové vlastnosti začnou hrát roli v okamžiku, kdy velikost optických elementů je srovnatelná s vlnovou délkou. Běžně se s nimi musí uvažovat v oblasti radiových vln a mikrovln, ale kladou také meze na rozlišení optických přístrojů, pracujících s viditelným světlem. Částicové vlastnosti se projevují v oblasti elektromagnetických vln vysokých energií. Tam ale viditelné světlo často patří.

24 Meze geometrické optiky III
Popis geometrickou optikou může být použit tam, kde lze vlnovou délku záření považovat za (téměř) nulovou a energii za malou vzhledem k použitým materiálům (lze například zanedbat fotoelektrický jev) . Tyto podmínky obvykle splňuje viditelné světlo nízkých intenzit.

25 Základy geometrické optiky I
Prvním důležitým předpokladem je, že se světlo šíří ve formě paprsků. To jsou obecně křivky, podél nichž se šíří zářivá energie. V izotropních a homogenních materiálech jsou paprsky přímkami, které jsou kolmé k vlnoplochám. V dané aproximaci mohou být křivky studovány čistě geometricky.

26 Základy geometrické optiky II
Je relativně snadné „stopovat paprsky“, tedy sledovat jejich průchod optickým systémem a vlnoplochy a ostatní parametry zobrazení mohou být rekonstruovány dodatečně. Paprsky se řídí zákonem reciprocity: prochází-li paprsek optickým systémem jedním směrem, může procházet přesně po stejné dráze i směrem opačným. To je jeden z důsledků Fermatova principu.

27 Fermatův princip I Fermatův princip je vhodný základ pro vysvětlení jednoduchých, ale i těch nejsložitějších optických jevů. Říká: Světlo z bodu S do bodu P musí procházet po optické dráze, která je stacionární vůči variacím dráhy.

28 Fermatův princip II Vyplývá to z vlnových vlastností záření, kde lze ukázat, že vlny pohybující se po dráhách blízkých skutečnému chodu paprsku, s ním musí být téměř ve fázi. Často platí zjednodušená formulace, že skutečná dráha je ta, po níž putuje paprsek nejkratší dobu. V homogenním a izotropním prostředí se jedná o nejkratší dráhu, což odpovídá přímočarému šíření světla.

29 Ideální optický systém I
Optickým systémem se snažíme zaostřit všechny paprsky vycházející z určitého bodu S v předmětovém prostoru do jediného bodu P v prostoru obrazovém. Je-li toho dosaženo, říkáme že zobrazení je pro tyto body ostré nebo stigmatické. Ideální optický systém by ostře zobrazoval určitou třírozměrnou podmnožinu předmětového prostoru do jisté třírozměrné oblasti prostoru obrazového. Vzhledem k reciprocitě jsou oba prostory záměnné.

30 Ideální optický systém II
Vlastnosti reálného optického systému by se měly ideálnímu co nejvíce přibližovat. Navíc by mělo být snadné určit chod paprsků a díky jednoduché parametrizaci by měla existovat jednoduchá rovnice popisující vztah předmětu a obrazu. Optické systémy jsou založeny na odrazu (reflexi), lomu (refrakci) nebo difrakci záření.

31 Odraz světla I K nalezení zákona odrazu na rovné ploše použijme Fermatův princip: Bod S bude zdroj radiálně se šířících paprsků a bod P bodem pozorování. Protože oba body jsou ve stejném prostředí (homogenním a izotropním), musí být odražený paprsek nejkratší ze všech možných. Najdeme jej, pomocí triku, kdy si promítneme jeden z bodů za zrcadlo a využijeme shodnosti vzniklých trojúhelníků.

32 Odraz světla II Z jednoduché geometrie plyne, že úhel odrazu se rovná úhlu dopadu. V optice se podle konvence měří úhly od příslušných normál. Zákon platí pro každý element plochy. Je-li zrcadlící plocha konečné velikosti hladká, je reflexe spekulární a z bodu P vidíme ostrý obraz bodu S. Není-li plocha hladká je reflexe difúzní (papír, Měsíc). Ta nese informaci o struktuře povrchu.

33 Reflexní optika I Využití reflexe je jednou z možností konstrukce optických systémů. V tomto případě různé druhy zrcadel vytváření obrazu jistého předmětu. Obraz může být buď reálný, pokud jím přímo prochází paprsky nebo zdánlivý (virtuální), pokud pozorovatel pouze vidí paprsky přicházející od obrazu. Využití reflexe má v současnosti velký význam v rentgenové a neutronové optice a astronomii.

34 Reflexní optika II Optické elementy zpravidla umisťujeme na optickou osu tak, že je tato osou jeho symetrie. Místo, kde elementem optická osa prochází, se nazývá optický střed. Dopadnou-li na ideální zrcadlo paprsky rovnoběžné s optickou osou, tedy předmět je v nekonečnu, je obrazem jediný bod ohnisko. Je-li zrcadlo vyduté neboli konkávní, je ohnisko reálné a paprsky jím skutečně prochází. Je-li zrcadlo vypuklé neboli konvexní, je ohnisko virtuální a paprsky z něj zdánlivě vychází.

35 Reflexní optika III Optické vlastnosti ideálního zrcadla lze tedy popsat jediným parametrem ohniskovou vzdáleností f, tedy vzdáleností ohniska od optického středu podél optické osy. Ideální zrcadlo by mělo být parabolické.

36 Reflexní optika IV V současné době je principiálně možné vyrobit parabolická zrcadla a pro speciální aplikace se to skutečně dělá. Ve většině případů se však používají mnohem snáze vyrobitelnější a tedy i podstatně levnější zrcadla sférická (kulová). Ta mají ovšem principiálně – sférickou vadu a jsou použitelná pouze pro paraxiální paprsky, což jsou paprsky v těsné blízkosti optické osy.

37 Reflexní optika V Vzdálenosti předmětová, obrazová a ohnisková: do, di, a f musí vyhovovat zrcadlové zobrazovací rovnici: 1/do + 1/di = 1/f Tu lze odvodit z geometrie. Stejná rovnice platí i pro konvexní zrcadla, ale jejich ohnisková vzdálenost je záporná.

38 *Reflexní optika VI Dalším parametrem zobrazení je příčné zvětšení, které definujeme: m = hi/h0 = - di/do V současné době se vyvíjí řada optických systémů, založených na reflexi: hvězdářské dalekohledy, rentgenová a neutronová optika a optická vlákna, založená na totálním odrazu na jednoduché nebo mnohonásobné vrstvě.

39 Refrakce I Další důležitý základní optický jev je lom záření neboli refrakce. Tentokrát paprsky prochází rozhraním z jedné fáze do druhé. Průhledné materiály se mohou lišit takzvanou optickou hustotou. Čím je materiál opticky hustší, tím je v něm menší rychlost šíření světla. Optickou hustotu charakterizujeme absolutním indexem lomu: n = c/v, kde c je rychlost světla ve vakuu a v rychlost světla v příslušné látce (fázi).

40 Refrakce II Pro odvození zákona lomu můžeme opět použít Fermatova principu. Nalezení paprsku, který doputuje nejrychleji z bodu S do P, je podobný problém, jako hledání časově nejkratší cesty při zachraňování tonoucího člověka, vezmeme-li v úvahu, že běžíme rychleji než plaveme.

41 Refrakce III Použijeme obecnější formulace, která říká, že správný paprsek je stacionární. Jinými slovy to znamená, že doba letu jiného ale blízkého paprsku bude přibližně stejná. Ať je bod S v prostředí, kde se paprsek šíří rychlostí v1 = c/n1 a bod P v prostředí, kde se šíří rychlostí v2 = c/n2.

42 Refrakce IV Budiž SCP hledaný paprsek, který putuje nejkratší dobu a SXP nějaký blízký sousední paprsek. Má-li být doba jeho letu stejná, musí dobu, kterou ztratil v jednom prostředí, nahnat v prostředí druhém: EC/v1 = XF/v2 Použijeme: EC = XCsin1 and XF = XCsin2 a dosadíme za rychlosti v1 a v2.. Dostaneme Snellův zákon: n1sin1 = n2sin2

43 Refrakce V Je zřejmé, že čím je prostředí opticky hustší a tedy rychlost šíření v něm nižší, tím je v něm menší refrakční úhel. Je-li úhel dopadu z opticky řidšího prostředí roven 90°, je refrakční úhel dán vztahem: sin2 = n1/n2 To je maximální neboli kritický úhel lomu.

44 Refrakce VI Když paprsek dopadá v opticky hustším prostředí pod větším než kritickým úhlem, neprojde do druhého prostředí, ale dojde k totálnímu odrazu do prostředí původního. Jevu totálního vnitřního odrazu se využívá ve vláknové optice.

45 Disperze I Průhledné látky mají zajímavou vlastnost: Rychlost světla v nich a tedy i jejich index lomu závisí na vlnové délce procházejícího záření. Znamená to, že světlo (záření) každé vlnové délky se láme pod trochu jiným úhlem.

46 Disperze II Jev disperze komplikuje vývoj optických systémů.
Na druhé straně dává možnost rozkládat viditelné světlo a blízké IČ a UV záření do různých vlnových délek, což má velký význam například u spektroskopických metod. Ty lze provádět i u nesmírně vzdálených objektů a např. z Dopplerova jevu zjišťovat navíc jejich relativní pohyb.

47 Refrakční optika I Refrakce se využívá ke konstrukci optických prvků a systémů. Máme-li bod S v prostředí n1 a bod P v prostředí n2 > n1 můžeme použít Fermatův princip, k nalezení tvaru rozhraní, aby se všechny paprsky, vycházející z bodu S lámaly do bodu P, čili oba body byly konjugované nebo optický systém by byl vůči nim stigmatický.

48 Refrakční optika II Porovnáme-li některý paprsek, který se láme s paprskem na optické ose, která oba body přímo spojuje, najdeme vztah : l1n1 + l2n2 = s1n1 + s2n2 Tomu odpovídá plocha čtvrtého řádu, zvaná karteziánský ovoid. Je také ihned vidět, že čočka z opticky hustšího materiálu musí být konvexní.

49 Refrakční optika III Posuneme-li jeden z bodů S nebo P do nekonečna, bude výsledná plocha řádu druhého, buď eliptická nebo hyperbolická. Na tomto principu se konstruují čočky - optické prvky, které umožňují, aby předmět i obraz byly ve stejném prostředí.

50 Refrakční optika IV Ideální čočky mohou mít například obě plochy hyperbolické nebo jednu planární. Přestože v současnosti je principiálně možné asférické plochy vyrobit, je podstatně levnější je aproximovat plochami sférickými. Podobně, jako tomu bylo u zrcadel, sférické čočky mohou být úspěšně použity pouze v paraxiální oblasti v těsné blízkosti optické osy.

51 Tenká čočka I Důležitou aproximací jsou takzvané tenké čočky.
Mohou být charakterizovány jediným parametrem, ohniskovou vzdáleností f. Je to vzdálenost optického středu od ohniska F, což je bod ve kterém se sbíhají paprsky přicházející rovnoběžně s optickou osou. Vlastnosti čočky jsou z obou stran stejné.

52 Tenká čočka II K porozumění funkce optických přístrojů je dobré vědět, že rovnoběžné paprsky se za čočkou sbíhají v jednom bodě, i když nepřichází rovnoběžně s optickou osou. Každému směru přísluší určitý bod v ohniskové rovině a ohnisko je speciálním případem. Oftalmologové a optici charakterizují čočky pomocí “síly” P = 1/f , vyjadřované v dioptriích 1D = 1m-1.

53 Tenká čočka III Pro tenké čočky lze odvodit vztah (lensmaker’s equation), který dává do souvislosti poloměry křivosti ploch, index lomu a ohniskovou vzdálenost čočky : 1/f = (n-1)(1/R1 + 1/R2) Musí se dodržet znaménková konvence. sign Je patrné, že v této aproximaci, je ohnisková vzdálenost na obou stranách čočky stejná, i při různých poloměrech křivosti.

54 Tenká čočka IV Podobně jako u zrcadel, čočky mohou být spojné a rozptylky a zobrazení může být skutečné nebo zdánlivé. K nalezení obrazu k danému předmětu požíváme dvou ze tří speciálních paprsků. Dvakrát můžeme využít vlastnosti ohniska a navíc skutečnosti, že paprsky procházející optickým středem se nelámou.

55 Tenká čočka V Lze odvodit zobrazovací rovnici čočky, která dává do souvislosti předmětovou, obrazovou a ohniskovou vzdálenost určitého zobrazení : 1/do + 1/di = 1/f a definovat příčné zvětšení jako poměr výšky obrazu ku výšce předmětu, přičemž se musí respektovat znaménková konvence : m = ho/hi = - di/do

56 Kombinace čoček Postupujeme od čočky nejbližší předmětu :
Zobrazíme předmět pouze nejbližší čočkou. Obraz vytvořený první čočkou považujeme za předmět pro druhou čočku. Provedeme zobrazení pouze druhou čočkou a obdobně postupujeme s čočkami dalšími.

57 Lidské oko I Na lomu se nejvíce podílí (rohovka n = 1.376), čočka obstarává jen jemné doostření. Kvalita zaostření a hloubka ostrosti závisí na zorničce, obě jsou lepší při menší apertůře (při větším osvětlení). Blízký bod normálního oka je 25 cm, daleký bod je nekonečno.

58 Lidské oko II Při krátkozrakosti (myopia) není daleký bod v nekonečnu, což lze korigovat rozptylkou. Při dalekozrakosti (hyperopia or presbyopia), která se vyvíjí s věkem, nedokáže oko zaostřit na blízké předměty, což lze korigovat čočkou spojnou.

59 Lidské oko III Relaxované oko je zaostřeno na nekonečno. Proto okuláry některých přístrojů vytvářejí paralelní paprsky. Jiné optické přístroje vytvářejí virtuální obraz v konvenční optické vzdálenosti 25 cm.

60 Lupa Lupa se užívá : buď je předmět v ohniskové rovině a pozorujeme jej relaxovaným okem. nebo je oko těsně u čočky (Sherlock Holmes) a virtuální obraz se vytváří v konvenční optické vzdálenosti. Zvětšení souvisí se zorným úhlem. Objekty nám připadají tak velké, pod jakým úhlem se nám jeví na sítnici.

61 Dalekohled Jednoduchý hvězdářský tzv. Galileův dalekohled má dvě čočky, které mají společnou ohniskovou rovinu. Tedy obrazová ohnisková rovina objektivu (téměř) splývá s předmětovou rovinou okuláru, který má kratší ohniskovou vzdálenost. Úhlové zvětšení je dáno poměrem ohniskových vzdáleností fobj/foku. Důležité jsou zrcadlové dalekohledy : velká zrcadla se snadněji vyrábí a podpírají zrcadla nemají barevnou vadu

62 Mikroskop Princip mikroskopu může být opět ukázán na jednoduchém typu se dvěma čočkami : Objektiv, který má nyní velmi krátkou ohniskovou vzdálenost, vytváří skutečný obraz. Ten je pozorován okulárem, tak že výsledný obraz se jeví jako zdánlivý v konvenční optické vzdálenosti. Dobré mikroskopy bývají značně komplikované, protože je nutné kompenzovat optické vady čoček.

63 Zobrazovací rovnice . ^ ^