Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Slovní úlohy (s procenty v zadání řešené pomocí rovnic) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňková. Dostupné.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Slovní úlohy (s procenty v zadání řešené pomocí rovnic) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňková. Dostupné."— Transkript prezentace:

1 Slovní úlohy (s procenty v zadání řešené pomocí rovnic) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňková. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Obr. 1

2 Jak při řešení rovnic postupovat? 1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát). 2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. 3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu. 4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji. 5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy. 6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy. Obr. 2

3 Slovní úlohy s procenty v zadání řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Ukázka zadání takové úlohy: Obr. 3

4 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Pokusíme se nejdříve vyřešit úlohu logickým myšlenkovým postupem. Krok č. 1: 25 % cesty šli polní cestou. Budeme-li vycházet z toho, že celý výlet (celkem ušlé kilometry) je jeden celek, jakou část tohoto celku pak představuje 25 %? Vyjadřují procenta část celku? Můžeme tuto část vyjádřit i jiným způsobem? To je mnoho otázek najednou, že? Tak si je postupně zodpovíme. I procenta vyjadřují část celku. Jeden celek je 100 %. 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). 25 % je tedy 25/100 celku (dvacet pět setin). 25/100 je po zkrácení ¼ … 25 % tedy vyjadřuje ¼ celku.

5 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Pokusíme se nejdříve vyřešit úlohu logickým myšlenkovým postupem. Krok č. 1: 25 % cesty šli polní cestou. I procenta vyjadřují část celku. Jeden celek je 100 %. 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). 25 % je tedy 25/100 celku (dvacet pět setin). 25/100 je po zkrácení ¼ … 25 % tedy vyjadřuje ¼ celku. Toto je pro nás nejpodstatnější zjištění. Počet procent vyjadřuje počet setin celku. 25 % cesty tedy je 25/100 = ¼ cesty (celku)

6 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Pokusíme se nejdříve vyřešit úlohu logickým myšlenkovým postupem. Krok č. 1: 25 % cesty šli polní cestou. 25 % cesty tedy je 25/100 = ¼ cesty (celku) Krok č. 2: Tři osminy cesty lesem. Krok č. 2: Zbývajících 9 km podél řeky. Z obrázku je zřejmé, že zbývajících 9 km odpovídá 3/8 celé cesty. 3/8 cesty …….. 9 km 1/8 cesty …….. 9 : 3 = 3 km 8/8 cesty (celý výlet) …… = 24 km Skauti ušli celkem 24 km. Tak to byl postup po „logické linii“. Nyní se pokusíme tutéž úlohu vyřešit pomocí rovnice.

7 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Kolik km ušli během celého výletu − cesty (během všech tří dní) …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celý výlet Myšleno: část celkové délky výletu, kterou skauti ušli během prvního, druhého dne…

8 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Kolik km ušli během celého výletu − cesty (během všech tří dní) …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celý výlet Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. 25 % cesty Ještě jednou tedy: jak je to s vyjádřením části daného celku pomocí procent a s jeho převodem na vyjádření pomocí zlomku či desetinného čísla?

9 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Jeden celek 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). je 100 %. Protože do rovnice potřebujeme mít všechny části celku vyjádřené pomocí desetinného čísla nebo zlomku, zopakujme si tedy ještě jednou, jak je to s převodem procentuálního vyjádření celku.

10 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Protože do rovnice potřebujeme mít všechny části celku vyjádřeny pomocí desetinného čísla nebo zlomku, zopakujme si tedy ještě jednou, jak je to s převodem procentuálního vyjádření celku. Jeden celek 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). je 100 %. 2 % jsou tedy 2/100 celku (dvě setiny). 2/100 jsou po zkrácení 1/50 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,02 … 2 % tedy vyjadřují 1/50 neboli 0,02 celku.

11 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Protože do rovnice potřebujeme mít všechny části celku vyjádřeny pomocí desetinného čísla nebo zlomku, zopakujme si tedy ještě jednou, jak je to s převodem procentuálního vyjádření celku. Jeden celek 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). je 100 %. 2 % jsou tedy 2/100 celku (dvě setiny). 2/100 jsou po zkrácení 1/50 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,02 … 2 % tedy vyjadřují 1/50 neboli 0,02 celku. 3 % jsou tedy 3/100 celku (tři setiny). 3/100 jsou při vyjádření desetinným číslem 0,03 … 3 % tedy vyjadřují 3/100 neboli 0,03 celku.

12 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Protože do rovnice potřebujeme mít všechny části celku vyjádřeny pomocí desetinného čísla nebo zlomku, zopakujme si tedy ještě jednou, jak je to s převodem procentuálního vyjádření celku. Jeden celek 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). je 100 %. 2 % jsou tedy 2/100 celku (dvě setiny). 2/100 jsou po zkrácení 1/50 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,02 … 2 % tedy vyjadřují 1/50 neboli 0,02 celku. 3 % jsou tedy 3/100 celku (tři setiny). 3/100 jsou při vyjádření desetinným číslem 0,03 … 3 % tedy vyjadřují 3/100 neboli 0,03 celku. 5 % je tedy 5/100 celku (pět setin). 5/100 je po zkrácení 1/20 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,05 … 5 % tedy vyjadřuje 1/20 neboli 0,05 celku.

13 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Protože do rovnice potřebujeme mít všechny části celku vyjádřeny pomocí desetinného čísla nebo zlomku, zopakujme si tedy ještě jednou, jak je to s převodem procentuálního vyjádření celku. Jeden celek 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). je 100 %. 2 % jsou tedy 2/100 celku (dvě setiny). 2/100 jsou po zkrácení 1/50 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,02 … 2 % tedy vyjadřují 1/50 neboli 0,02 celku. 3 % jsou tedy 3/100 celku (tři setiny). 3/100 jsou při vyjádření desetinným číslem 0,03 … 3 % tedy vyjadřují 3/100 neboli 0,03 celku. 5 % je tedy 5/100 celku (pět setin). 5/100 je po zkrácení 1/20 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,05 … 5 % tedy vyjadřuje 1/20 neboli 0,05 celku. 10 % je tedy 10/100 celku (deset setin). 10/100 je po zkrácení 1/10 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,1 … 10 % tedy vyjadřuje 1/10 neboli 0,1 celku.

14 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Protože do rovnice potřebujeme mít všechny části celku vyjádřeny pomocí desetinného čísla nebo zlomku, zopakujme si tedy ještě jednou, jak je to s převodem procentuálního vyjádření celku. Jeden celek 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). je 100 %. 2 % jsou tedy 2/100 celku (dvě setiny). 2/100 jsou po zkrácení 1/50 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,02 … 2 % tedy vyjadřují 1/50 neboli 0,02 celku. 3 % jsou tedy 3/100 celku (tři setiny). 3/100 jsou při vyjádření desetinným číslem 0,03 … 3 % tedy vyjadřují 3/100 neboli 0,03 celku. 5 % je tedy 5/100 celku (pět setin). 5/100 je po zkrácení 1/20 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,05 … 5 % tedy vyjadřuje 1/20 neboli 0,05 celku. 10 % je tedy 10/100 celku (deset setin). 10/100 je po zkrácení 1/10 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,1 … 10 % tedy vyjadřuje 1/10 neboli 0,1 celku. 15 % je tedy 15/100 celku (patnáct setin). 15/100 je po zkrácení 3/20 nebo při vyjádření desetinným číslem 0,15 … 15 % tedy vyjadřuje 3/20 neboli 0,15 celku.

15 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Protože do rovnice potřebujeme mít všechny části celku vyjádřeny pomocí desetinného čísla nebo zlomku, zopakujme si tedy ještě jednou, jak je to s převodem procentuálního vyjádření celku. Jeden celek 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). 25 % je tedy 25/100 celku (dvacet pět setin). 25/100 je po zkrácení ¼ a při vyjádření desetinným číslem 0,25 celku … 25 % tedy vyjadřuje ¼ celku. je 100 %. 20 % je tedy 20/100 celku (dvacet setin). 20/100 je po zkrácení 1/5 a při vyjádření desetinným číslem 0,2 … 20 % tedy vyjadřuje 1/5 neboli 0,2 celku. 50 % je tedy 50/100 celku (padesát setin). 50/100 je po zkrácení ½ a při vyjádření desetinným číslem 0,5 celku … 50 % tedy vyjadřuje ½ celku.

16 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Protože do rovnice potřebujeme mít všechny části celku vyjádřeny pomocí desetinného čísla nebo zlomku, zopakujme si tedy ještě jednou, jak je to s převodem procentuálního vyjádření celku. Jeden celek 1 % je tedy 1/100 celku (jedna setina). 25 % je tedy 25/100 celku (dvacet pět setin). 25/100 je po zkrácení ¼ a při vyjádření desetinným číslem 0,25 celku … 25 % tedy vyjadřuje ¼ celku. je 100 %. 20 % je tedy 20/100 celku (dvacet setin). 20/100 je po zkrácení 1/5 a při vyjádření desetinným číslem 0,2 … 20 % tedy vyjadřuje 1/5 neboli 0,2 celku. 50 % je tedy 50/100 celku (padesát setin). 50/100 je po zkrácení ½ a při vyjádření desetinným číslem 0,5 celku … 50 % tedy vyjadřuje ½ celku. 75 % je tedy 75/100 celku (sedmdesát pět setin). 75/100 jsou po zkrácení ¾ a při vyjádření desetinným číslem 0,75 celku … 75 % tedy vyjadřuje ¾ celku. 100 % je tedy 100/100 celku neboli 1 celek. 100/100 je po zkrácení 1 a při vyjádření desetinným číslem také 1, tedy 1 celek … 100 % tedy vyjadřuje 1 celek.

17 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Co jsme tedy zjistili? 1 % celku … je 0,01 celku 2 % celku … jsou 0,02 celku 3 % celku … jsou 0,03 celku 5 % celku … je 0,05 celku 10 % celku … je 0,1 celku 15 % celku … je 0,15 celku 20 % celku … je 0,2 celku 25 % celku … je 0,25 celku 50 % celku … je 0,5 celku 75 % celku … je 0,75 celku 100 % celku … je 1 celek Jak se dá ve všech případech jednoduše dospět od vyjádření části celku v procentech k vyjádření části celku desetinným číslem?

18 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic 1. den … 25 % cesty Co jsme tedy zjistili? 1 % celku … je 0,01 celku 2 % celku … jsou 0,02 celku 3 % celku … jsou 0,03 celku 5 % celku … je 0,05 celku 10 % celku … je 0,1 celku 15 % celku … je 0,15 celku 20 % celku … je 0,2 celku 25 % celku … je 0,25 celku 50 % celku … je 0,5 celku 75 % celku … je 0,75 celku 100 % celku … je 1 celek Počet procent : 100 = část celku vyjádřená desetinným číslem 25 % cesty z našeho příkladu tedy je: 25 : 100 = 0,25 cesty

19 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Kolik km ušli během celého výletu − cesty (během všech tří dní) …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celý výlet Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. 25 % cesty Protože 1. den ušli 25 % cesty, což je 0,25 cesty, a celou cestu (výlet) jsme si označili jako x. To znamená, že ušli 0,25 z „x“ (tedy z celé cesty – z celého výletu). …….. 0,25 x

20 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Kolik km ušli během celého výletu − cesty (během všech tří dní) …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celý výlet Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. 25 % cesty Bude-li to pro výpočty vhodnější, můžeme to případně vyjádřit i pomocí zlomku. …….. 0,25 x…….. ¼ x

21 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Kolik km ušli během celého výletu − cesty (během všech tří dní) …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celý výlet Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. 25 % cesty …….. 0,25 x…….. ¼ x 2. den …….. 3/8 cesty…….. 3/8 x Opět tři osminy celé cesty (výletu) − tu máme označenu jako „x“. Proto 3/8 x.

22 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Kolik km ušli během celého výletu − cesty (během všech tří dní) …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celý výlet Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. 25 % cesty …….. 0,25 x…….. ¼ x 2. den …….. 3/8 cesty…….. 3/8 x

23 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Kolik km ušli během celého výletu − cesty (během všech tří dní) …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celý výlet Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. 25 % cesty …….. 0,25 x…….. ¼ x 2. den …….. 3/8 cesty…….. 3/8 x 3. den …….. 9 km Třetí den již ušli přesně a jasně daných zbývajících 9 km.

24 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Kolik km ušli během celého výletu − cesty (během všech tří dní) …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celý výlet Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. ¼. x 2. den …….. 3/8. x 3. den …….. 9 km Na základě výše uvedené logické rovnosti a vyjádřených údajů sestavíme rovnici. ¼. x + 3/8. x + 9 = x

25 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? ¼. x + 3/8. x + 9 = x Vyřešíme sestavenou rovnici. 1/4. x + 3/8. x + 9 = x 2. x + 3. x + 72 = 8. x / x + 72 = 8. x / – (8. x) 5. x + 72 – 8. x = 0 / – 72 −3. x = −72 / : (−3) x = −72 : (−3) x = 24 km

26 Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Skauti se vypravili na výlet. 25 % cesty šli polní cestou, tři osminy cesty lesem a zbývajících 9 km podél řeky. Kolik km ušli? Provedeme zkoušku, kterou ověříme, že získaný výsledek vyhovuje podmínkám úlohy. 1. den ušli 25 %, což je jedna čtvrtina … 24 : 4 = 6 km x = 24 km 2. den ušli 3/8 … 24. 3/8 = 72/8 = 9 km 3. den ušli … 9 km Celkem za všechny tři dny tedy ušli … = 24 km Napíšeme odpověď na zadanou otázku. Skauti ušli celkem 24 km.

27 Příklad: Můstek přes říčku je podepřen kůly. Každý kůl je zasazen 80 cm v zemi. Ve vodě je 35 % jeho délky a nad vodou dvě pětiny jeho délky. Vypočítej délku kůlu.

28 Délka celého kůlu … x km V zemi … 80 cm Ve vodě … 35 % délky kůlu … 0,35 x Logická rovnost plynoucí z textu úlohy: V zemi + ve vodě + nad vodou = délka kůlu Nad vodou … 2/5 délky kůlu … 2/5 x ,35. x + 2/5. x = x x x = 100. x 35. x x – 100. x = −8000 −25. x = −8000 x = −8000 : (−25) x = 320 cm V zemi … 80 cm Ve vodě … 0, = 112 cm Můstek je podepřen kůly o délce 320 centimetrů. /. 100 Zkouška (vypočítáme a sečteme jednotlivé části kůlu): = = 320 cm Nad vodou … 2/ = 128 cm

29 Příklad: V podniku pracuje 144 zaměstnanců. Žen je o 20 % méně než mužů. Kolik pracuje v závodě žen a kolik mužů?

30 Počet mužů … x Počet žen … o 20 % méně než mužů (tj. o 0,2 x méně) … x – 0,2 x = 0,8 x Počet všech zaměstnanců (tj. mužů i žen) … 144 Logická rovnost plynoucí z textu úlohy: Muži + ženy = všichni zaměstnanci x + 0,8. x = 144 1,8. x = 144 x = 144 : 1,8 žen o 20 % méně, tj. o 1/5 1/5 z 80 je … 1/5. 80 = 16 Žen … 80 – 16 = 64 V závodě pracuje 64 žen a 80 mužů. x = 80 mužů Zkouška (sečteme počet mužů a žen pracujících v podniku): = 144

31 Příklad: Roman četl knihu. První den přečetl jednu desetinu, druhý den polovinu zbytku, třetí den 20 % nového zbytku a čtvrtý den dočetl 72 zbývajících stran. Kolik stránek kniha měla?

32 Počet stran knihy celkem … x 1. den přečetl … jednu desetinu … 1/10.x 2. den přečetl … polovinu zbytku … ½.9/10.x Logická rovnost plynoucí z textu úlohy: 1. den + 2. den + 3. den + 4. den = celkový počet stran 3. den přečetl … 20 % (tj. 0,2) nového zbytku (tj. to samé co 2. den) … 0,2.½.9/10.x 1/10.x + ½.9/10.x + 0,2. ½.9/10.x + 72 = x 1/10.x + 9/20.x + 9/100.x + 72 = x 10.x + 45.x + 9.x = 100.x − 36.x = − den … 200 : 10 = 20 stran 2. den … 180 : 2 = 90 stran 3. den … 0,2. 90 = 18 stran Kniha měla 200 stran. Zkouška (vypočítáme a sečteme počty stran přečtených v jednotlivých dnech dle podmínek zadání): = = 200 stran x = 200 stran 4. den přečetl … 72 zbývajících stran / den … 72 stran

33 [cit. 2010–13–07]. Dostupné pod licencí Creative Commons na WWW: blackboard.html Obr. 2: Obr. 3: Použité obrázky: Obr. 1:


Stáhnout ppt "Slovní úlohy (s procenty v zadání řešené pomocí rovnic) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňková. Dostupné."

Podobné prezentace


Reklamy Google