Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Pravděpodobnost. Náhodný pokus. Při každém opakování pokusu dostáváme jiné výsledky. V praxi je každý pokus náhodný ve výše uvedeném smyslu. V praxi nelze.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Pravděpodobnost. Náhodný pokus. Při každém opakování pokusu dostáváme jiné výsledky. V praxi je každý pokus náhodný ve výše uvedeném smyslu. V praxi nelze."— Transkript prezentace:

1 Pravděpodobnost. Náhodný pokus. Při každém opakování pokusu dostáváme jiné výsledky. V praxi je každý pokus náhodný ve výše uvedeném smyslu. V praxi nelze zaručit totožné podmínky při opakování pokusu. Základní prostor. Při každém opakování pokusu dostáváme jiné výsledky, Avšak množina výsledků je známa. Množina možných výsledků je základní prostor . Elementární jevy. Prvky základního prostoru jsou elementární jevy. (E 1, E 2, …) Náhodný jev. Každá podmnožina náhodného prostoru je náhodný jev. (A, B, …) Prázdná podmnožina  označuje jev nemožný, Množina  označuje jev jistý.

2 Příklad. Náhodný pokus : hod hrací kostkou Elementární jevy E i : padne i, i = 1, 2, …,6 Nejsme schopni určit všechny Podmínky ovlivňující výsledek pokusu. Jsme schopni definovat všechny možné výsledky pokusu,  = {padne 1, …, padne 6} Příklady náhodných jevů: A Padne liché číslo A  , A = E1  E3  E5. B Padne číslo > 5, B  , B = E6. C Padne číslo > 6, C = . D padne číslo v intervalu, D = . Operace s náhodnými jevy.

3  - algebra . Je to systém podmnožin základního prostoru , který splňuje 1. A i  , i = 1, 2, …   A i   (  - aditivita) 2.A     A   3.    Axiomatická definice pravděpodobnosti. Nechť je dána  - algebra  nad základním prostorem . Pravděpodobností nazveme funkci P:   R s vlastnostmi 1. P (A)  0 pro každý A   2. P(  ) = 1, P(  ) = 0 3. A i  , i = 1, 2, … jsou neslučitelné jevy  P(  A i ) =  P(A i ) Trojice ( , , P) se nazývá pravděpodobnostní prostor. Příklad. Dokažte, že platí pro každé A, B   1. P(  A ) = 1- P(A) 2. A  B  P(A) ≤ P(B) 3. A  B  P(B \ A) = P(B) – P(A) 4. P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

4 1. P(A  A) = P(  ) = 1 = P(A) + P(  A), protože A a  A jsou neslučitelné. Odtud P(  A) = 1 - P(A). 2. P(B) = P(A) + P(B \ A)  P(A). 3. Z (2) je P(B \ A) = P(B) – P(A). 4. P(A + B) = P(B\ (A  B)) + P(A\(A  B)) + P(A  B) = P(B) + P(A) - P(A  B). Klasická definice pravděpodobnosti. Je zúžením axiomatické definice a pro nás dostačující. Předpokládá se, že základní prostor  je konečný, je tvořen n neslučitelnými elementárními jevy, všechny elementární jevy jsou stejně možné. Pak si lze představit rozklad libovolného jevu A na m-tici elementárních, neslučitelných, stejně možných jevů. P(A) = m / n, neboli P(A) = počet příznivých případů / počet všech případů. Příklad. Určete pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne liché číslo. Elementární jevy příznivé jevu “padne liché číslo“ jsou 3 (padne 1,padne3, padne 5). m = 3, n = 6. Tedy P = 0.5.

5 Příklad. Mezi 10 barevnými koulemi je 6 modrých a 4 bílé. Vypočtěte pravděpodobnosti: 1. náhodně vybraná koule je bílá 2. tři náhodně vybrané koule jsou modré 3. 2 náhodně vybrané koule jsou různé barvy. Řešení. 1. všechny koule mají stejnou pravděpodobnost být taženy. P = počet všech možných výběrů je. Počet jevů příznivých jevů je. Pravděpodobnost je tedy 3. Počet všech dvojic je = 45. Počet různých dvojic je 6*4 = 24. Pravděpodobnost je tedy 24/45.

6 V šestnácti lahvích jsou minerálky. Víme, že v 10 láhvích je Šaratice a v 6 lahvích je Vincentka. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 4 náhodně vybranými lahvemi jsou 2 Šaratice a 2 Vincentky. N = 16 (počet všech lahví) V = 10 (počet lahví Šaratice) N-V = 6 (počet lahví Vincentka) n = 4 (počet náhodně vybraných lahví) k = 2 (výběr Šaratice) n - k = 2 (výběr Vincentka) Příklad.

7 Další definice pravděpodobnosti.  geometrická definice.  je oblast (v rovině, v prostoru, …), A je její podmnožina. Definuje se pravděpodobnost, že pro x   platí, že x  A. P = “velikost“ A / “velikost“ .  statistická definice. Nastane-li v n pokusech jev A m n -krát, pak pravděpodobnost jevu A definujeme Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy.  Pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B je podmíněná pravděpodobnost jevu A a značí se P (A/B). Platí P (A/B) = P(A  B) / P(B).  Jevy A a B jsou nezávislé právě, když P(A  B) = P(A)P(B).

8 Příklad. Máme krabici se třemi bílými a dvěma černými koulemi. Vytáhneme postupně dvě koule (první nevracíme zpět). Určete pravděpodobnost toho, že v druhém tahu vytáhneme bílou kouli za předpokladu, že v prvním tahu byla vytažena černá koule. A … v 2. tahu tažena bílá koule B … v 1. tahu tažena černá koule Možnosti. B1B2, B1B3, B2B1, B2B3, B3B1, B3B2, B1 (černá 1,2), B2 (černá 1,2), bílá 3 (černá 1,2), Č1 (bílá 1,2,3), Č2 (bílá 1,2,3,). Č1Č2, Č2Č1 Celkem 20 možností. Černá v 1. tahu: 8 možnosti, P(B) = 8/20 = 0.4 (Nebo také 2/5 = 0.4.) Černá v 1. tahu a současně bílá v 2. tahu představuje 6 možností, P(A  B) = 6/20 = 0.3. P(A/B) = 6/8 = 3/4.

9 Příklad. Dokažte Z definice podmíněné pravděpodobnosti plyne, že P(A  B) = P(A / B)P(A) = P(B / A)P(B). Úplná pravděpodobnost. Nechť je dán úplný systém vzájemně neslučitelných jevů H 1, H 2,..., H n a libovolný jev A, který může nastat pouze současně s některým z jevů H i. Pro pravděpodobnost jevu A platí: P(A) = P(H 1 ).P(A/H 1 )+P(H 2 ).P(A/H 2 )+...+P(H n ).P(A/H n )

10 Příklad. V obchodě jsou tři pokladny, na nichž dojde k chybě v účtování s pravděpodobností: 0,1; 0,05 a 0,2, při čemž z hlediska umístění pokladen v obchodě jsou pravděpodobnosti odbavení pokladnami 0,3; 0,25 a 0,45. Jaká je pravděpodobnost, že osoba opouštějící obchod má chybný účet? jev A: došlo k chybě v účtování jev H i : odbavení i-tou pokladnou jev A je možno vyjádřit: A = (A  H 1 )  (A  H 2 )  (A  H 3 ) (zákazník má chybný účet, při čemž projde první pokladnou nebo má chybný účet po odbavení druhou pokladnou nebo má chybný účet a prošel třetí pokladnou) Jevy A  H 1, A  H 2, A  H 3 jsou vzájemně neslučitelné, proto: P(A) = P((A  H 1 )  (A  H 2 )  (A  H 3 )) = P(A  H 1 ) + P(A  H 2 ) + P(A  H 3 ) = P(H 1 ).P(A/H 1 ) + P(H 2 ).P(A/H 2 ) + P(H 3 ).P(A/H 3 ) = 0,3.0,1 + 0,25.0,05 + 0,45.0,2 = 0,1325

11 Bayesova formule. Nechť je dán úplný systém vzájemně neslučitelných jevů H 1, H 2,..., H n a libovolný jev A, který může nastat jen současně s některým z jevů H i. Pak pravděpodobnost, že nastane jev H i, za předpokladu, že nastal jev A je:, kde Příklad. V obchodě jsou tři pokladny, na nichž dojde k chybě v účtování s pravděpodobností: 0,1; 0,05 a 0,2, při čemž z hlediska umístění pokladen v obchodě jsou pravděpodobnosti odbavení pokladnami 0,3; 0,25 a 0,45. Jaká je pravděpodobnost, že jsme byli u druhé pokladny, máme-li chybný účet? Hledáme tedy, čemu je rovno P(H 2 / A).

12 Příklad. Házíme šestkrát kostkou. Vypočtěte pravděpodobnost, že z těchto šesti hodů padne šestka právě dvakrát. A ij, i = 1, …, 6, j = 1, …, 6, i  j: šestka padne v i-tém a v j-tém hodu Jedná se o nezávislé hody  jevy A ij jsou nezávislé. P(A ij ) = (1/6) 2 (5/6) 4, tj. nezávisle na sobě 2x šestka a 4x něco jiného. Počet jevů A ij se rovná počtu způsobů, kolika lze umístit 2 šestky v 6 hodech, tj. Hledaná pravděpodobnost P = Příklad. Pravděpodobnost, že náhodně vybraný student bude znát učivo, je Jaká je pravděpodobnost, že mezi dvaceti vybranými studenty bude: a) právě 5 znalých studentů b) nejvýše 2 znalí studenti a)b)

13 Příklad. V osudí jsou 2 bílé a 3 černé koule. Vypočtěte pravděpodobnost toho, že: a) vytáhneme 3 koule a budou 2 černé a 1 bílá b) vytáhneme bez vracení jako první černou kouli, pak bílou a nakonec černou. a) Nezávislé tahyb) Závislé tahy

14 Cvičení. 1. Mějme pět vstupenek po 100 Kč, tři vstupenky po 300 Kč a dvě vstupenky po 500 Kč. Vyberme náhodně tři vstupenky. Určete pravděpodobnost toho, že: a) alespoň dvě z těchto vstupenek mají stejnou hodnotu b) všechny tři vstupenky stojí dohromady 700 Kč. 2. Z celkové produkce závodu jsou 4% zmetků a z dobrých je 75% standardních. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek je standardní. 3. Z výrobků určitého druhu dosahuje 95% předepsanou kvalitu. V určitém závodě, který vyrábí 80% celkové produkce, však předepsanou kvalitu má 98% výrobků. Mějme náhodně vybraný výrobek předepsané kvality. Jaká je pravděpodobnost, že byl vyroben ve výše uvedeném závodě? 4. Menza zakoupila 12 chladniček z 1. závodu, 20 z 2. závodu a 18 z 3. závodu. Pravděpodobnost, že chladnička je výborné jakosti, pochází-li z 1.závodu je 0,9, z 2.závodu 0,6 a z 3.závodu 0,9. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná chladnička bude výborné jakosti? 5. Narozeninový problém I. Spočítejte pravděpodobnost, že žádní dva lidé z patnáctičlenné skupiny nemají narozeniny ve stejný den roku. Ignorujte 29.únor. 6. K síti je připojeno 14 nových a 6 starších počítačů. Pravděpodobnost bezchybného provozu u nových počítačů je 0.9, u starších 0.8. Jaká je pravděpodobnost, že a) student bude pracovat bez poruchy b) tento student pracuje u nového počítače?


Stáhnout ppt "Pravděpodobnost. Náhodný pokus. Při každém opakování pokusu dostáváme jiné výsledky. V praxi je každý pokus náhodný ve výše uvedeném smyslu. V praxi nelze."

Podobné prezentace


Reklamy Google