Příklad 1: Výpočet π podle Archiméda

Prezentace na téma: "Příklad 1: Výpočet π podle Archiméda"— Transkript prezentace:

1 Příklad 1: Výpočet π podle Archiméda
N=4 α Úkol 1a: Odvoďte rekurentní relaci yk+1=f(yk) přímou aplikací vzorce pro sinus polovičního úhlu. Je výsledek vhodný pro numerický výpočet?

2 Výsledek: Úkol 1b: Naprogramujte výpočet posloupnosti yk pomocí:
prvního vzorce (yk))– citlivého na ztrátu přesnosti druhého vzorce (yk’)– stabilního Vypište do souboru tabulku s řádky obsahující k,yk,yk’, pro k=1,2,3,… Pozorujte konvergenci čísel k číslu π a zdůvodněte (i kvantitativně) ztrátu přesnosti. Z tabulky odhadněte řád konvergence posloupnosti (lineární, kvadratická, kubická, …)

3 Zefektivnění vzorce:

4 Urychlení konvergence:
Úkol 2a: Využijte odhadu chyby yk=π+c4-k k urychlení konvergence. Richardsonova extrapolace:

5 Zobecnění do vyšších řádů (Romberg):
Úkol 2b: Naprogramujte výpočet posloupnosti yk≡yk(0) a z této posloupnosti vypočtěte zpřesněné hodnoty yk(m). Sestavte hodnoty do následující tabulky (Rombergovo schéma) y1(0) y2(0) y2(1) y3(0) y3(1) y3(2) y4(0) y4(1) y4(2) y4(3) … Pozorujte urychlení konvergence

6 Příklad 2: Keplerova rovnice
b

7 Keplerova rovnice Úkol 3:
Přepište Keplerovu rovnici do tvaru vhodného pro řešení pomocí iterací a ověřte, že jde o kontrahující zobrazení. Navrhněte počáteční odhad pro nastartování iterací. Vypište do souboru tabulku i,Ei,E*i, kde Ei je i-tá iterace rovnice a E*i je posloupnost urychlená pomocí Aitkenovy-Stefensonovy metody. Jde o urychlení konvergence, nebo o urychlení řádu konvergence? Připomenutí: xn+1=f(xn) Aitken Aitken-Stefenson

8 Keplerova rovnice Úkol 4:
Porovnejte konvergenci Newtonovy metody a metody bisekce pro řešení Keplerovy rovnice. Navrhněte vhodný odhad počáteční hodnoty (pro Newtonovu metodu) a počátečního intervalu (pro bisekci). Připomenutí: Iterace Newtonovy metody pro řešení F(x)=0 probíhají podle: xn+1=xn-F(xn)/F’(xn)