Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 1 Příklad 1: Výpočet π podle Archiméda α Úkol 1a: Odvoďte rekurentní relaci y k+1 =f(y k ) přímou aplikací.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 1 Příklad 1: Výpočet π podle Archiméda α Úkol 1a: Odvoďte rekurentní relaci y k+1 =f(y k ) přímou aplikací."— Transkript prezentace:

1 Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 1 Příklad 1: Výpočet π podle Archiméda α Úkol 1a: Odvoďte rekurentní relaci y k+1 =f(y k ) přímou aplikací vzorce pro sinus polovičního úhlu. Je výsledek vhodný pro numerický výpočet? N=4

2 Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 2 Výsledek: Úkol 1b: Naprogramujte výpočet posloupnosti y k pomocí: prvního vzorce (y k ) )– citlivého na ztrátu přesnosti druhého vzorce (y k ’)– stabilního Vypište do souboru tabulku s řádky obsahující k,y k,y k ’, pro k=1,2,3,… Pozorujte konvergenci čísel k číslu π a zdůvodněte (i kvantitativně) ztrátu přesnosti. Z tabulky odhadněte řád konvergence posloupnosti (lineární, kvadratická, kubická, …)

3 Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 3 Zefektivnění vzorce:

4 Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 4 Urychlení konvergence: Úkol 2a: Využijte odhadu chyby y k =π+c4 -k k urychlení konvergence. Richardsonova extrapolace:

5 Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 5 Zobecnění do vyšších řádů (Romberg): Úkol 2b: Naprogramujte výpočet posloupnosti y k ≡y k (0) a z této posloupnosti vypočtěte zpřesněné hodnoty y k (m). Sestavte hodnoty do následující tabulky (Rombergovo schéma) y 1 (0) y 2 (0) y 2 (1) y 3 (0) y 3 (1) y 3 (2) y 4 (0) y 4 (1) y 4 (2) y 4 (3) … Pozorujte urychlení konvergence

6 Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 6 Příklad 2: Keplerova rovnice a b E

7 Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 7 Keplerova rovnice Úkol 3: Přepište Keplerovu rovnici do tvaru vhodného pro řešení pomocí iterací a ověřte, že jde o kontrahující zobrazení. Navrhněte počáteční odhad pro nastartování iterací. Vypište do souboru tabulku i,E i,E * i, kde E i je i-tá iterace rovnice a E * i je posloupnost urychlená pomocí Aitkenovy-Stefensonovy metody. Jde o urychlení konvergence, nebo o urychlení řádu konvergence? Připomenutí: x n+1 =f(x n ) Aitken Aitken-Stefenson

8 Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 8 Keplerova rovnice Úkol 4: Porovnejte konvergenci Newtonovy metody a metody bisekce pro řešení Keplerovy rovnice. Navrhněte vhodný odhad počáteční hodnoty (pro Newtonovu metodu) a počátečního intervalu (pro bisekci). Připomenutí: Iterace Newtonovy metody pro řešení F(x)=0 probíhají podle: x n+1 =x n -F(x n )/F’(x n )


Stáhnout ppt "Cvičení 1: Iterace, chyby, nelineární rovnice 1 Příklad 1: Výpočet π podle Archiméda α Úkol 1a: Odvoďte rekurentní relaci y k+1 =f(y k ) přímou aplikací."

Podobné prezentace


Reklamy Google