Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Deterministický chaos, meteorologie a klima Aplikace matematiky pro učitele Aleš Raidl, Barbora Kliková, Hynek Bednář Katedra meteorologie a ochrany ovzduší.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Deterministický chaos, meteorologie a klima Aplikace matematiky pro učitele Aleš Raidl, Barbora Kliková, Hynek Bednář Katedra meteorologie a ochrany ovzduší."— Transkript prezentace:

1 Deterministický chaos, meteorologie a klima Aplikace matematiky pro učitele Aleš Raidl, Barbora Kliková, Hynek Bednář Katedra meteorologie a ochrany ovzduší Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova

2 O čem bude řeč Co je deterministický chaos? Historie a souvislosti Je možné chaos vyložit s minimem matematiky? Některé známé chaotické systémy Je chaotické chování předvídatelné? - Předpověď, kdy se chaos objeví - Předpověď v čase Hlavní aplikace v meteorologii Co znamená chaos pro klima?

3 Co je deterministický chaos? Co je třeba definovat Dynamický systém Determistický systém Deterministický chaos

4 Dynamický systém Formální definice: Dynamický systém zobrazení f f z R n ×R  R n s vlastnostmi: 1. f 0 (x)=x pro všechna x  R n (vývoj za nulový čas se nezmění) 2. f t je jednoznačné, spojité, a hladké (určitému stavu v současnosti přísluší určitý a jediný stav v libovolném okamžiku v budoucnosti i v minulosti) 3. f t  f s =f t+s, pro všechna t,s  R(skládání vývoje v čase = sčítání časů)

5 Dynamický systém xtxt xsxs f: x t  x s skládání x3x3 x1x1 x2x2 R 3 fázový (stavový) prostor

6 „Člověčí“ přiblížení Dynamický systém = vše co se vyvíjí Nevyvíjí se  dynamický systém ve stacionárním stavu Je smrt stacionární stavem? Je zánik vesmíru stacionární stavem?

7 Deterministický systém známe přesně: Řídící rovnice, Parametry systému, k Počáteční podmínky, x(t=0),  může přesně předpovědět budoucnost v PRINCIPU

8 Idea determinismu Atomisté: Démokritos ( př.n.l.), Leukippos ( př.n.l) – později materialismus, mechanismus Descartes ( ) Newtonovská fyzika (1643–1727) Laplaceův démon (1749–1827) –kdyby existovala nekonečná inteligence a kdyby měla k dispozici všechny informace, minulost i budoucnost by pro ní existovala stejně reálně jako současnost

9 Některé potíže s determinismem „vše“ se děje nutně: negace svobody, morálky, práva, svobodné vůle svobodná vůle se týká: –přeměna chtění  čin, ne: obsah chtění příklad: jestliže CHCI, MOHU majetek rozdat chudým X NEMOHU se ale PŘINUTIT k tomu, abych to chtěl potíže s Laplaceovým démonem: má-li „vypočítat” budoucnost, měl by započítat i sám sebe a svou budoucí předpověď  problém se zpětnou vazbou a rekurencí  démon by v kratší době musel vědět, co sám v budoucnu „vypočítá“; měnit stále vstupní parametry  zacyklení a nenalezení řešení v konečném čase Kvantová fyzika (Einstein: nevěřil, že Bůh hraje v kostky) –např. relace neurčitosti: nemožnost zároveň přesně změřit určité veličiny mikročástic (typicky poloha a hybnost ) –měření: měření stavu objektu vede ke změně jeho stavu

10 V současnosti neumíme démona sestrojit nebo si představit  nexistence démona Další praktické potíže s determinismem Někdy vlastně ani přesně zákonitosti přírody, kterými se reálný systém řídí, neznáme: - Fyzika a matematický popis je „jen“ modelem a aproximací – odpovídá stupni našeho poznání Často neznáme úplně přesně počáteční podmínky nebo + zaokrouhlovací chyby Během času se mohou měnit i řídící parametry systému (může se tedy měnit fyzika) Mohou se měnit i počáteční podmínky

11 Teorie DETERMINISTICKÉHO CHAOSU prostě determinismus předpokládá Praktická redukce teorie – zkoumá zvětšování chyb v počátečních podmínkách

12 Alligood et al. (1997): A)Trajektorie (řešení) je v R n omezené B)Trajektorie není asymtoticky periodická C)Alespoň jeden Ljapunovův exponent je kladný A) Omezenost trajektorie – rozumný fyzikální předpoklad; zaručuje, že se s hodnotami proměnných nedostaneme do  B) Neperiodičnost - neopakovatelnost chování – nikdy (ani pro t  ) bychom se neměli dostat do stavu, ve kterém jsme již byli (potíž při měření – konečná přesnost měřících přístrojů, počítačové experimenty – konečná aritmetika; otázka: je tedy možné na počítači simulovat chaotické chování?) C) kladný Ljapunovův exponent – vyjadřuje citlivou závislost na volbu počátečních podmínek (efekt motýlích křídel); fundamentální atribut chaosu

13 Ad 3) Citlivá závislost na volbu počátečních podmínek: blízké trajektorie (řešení) se od sebe vzdalují – efekt motýlích křídel Lorenz (1972): Způsobí mávnutí motýlích křídel nad Brazílií tornádo v Texasu? (původně racek)  d(t)=  d 0 e t je největší Ljapunovův exponent

14 Ljapunovovy exponenty l i (t) je délka i-té hlavní poloosy elipsoidu v čase t pro chaos je nutné, aby  i > 0 disipativní systémy  i < 0

15 Další vlastnosti chaotických systémů: promíchávání (mísení):

16 Mísení v Lorenzově systému

17 stabilita ve velkých měřítkách - pro řadu počátečních podmínek se trajektorie pohybuje po témže objektu - atraktor STABILITA VELKÝCH MĚŘÍTEK × NESTABILITA MALÝCH MĚŘÍTEK

18 Stabilita ve velkých měřítkách v Lorenzově systému

19 Nestabilita v malých měřítkách

20 Zajímavost: Devaneyho (1991) definice: (hustá množina periodických bodů, mísení) citlivé závislosti na volbu počátečních podmínek – to je NADBYTEČNÉ

21 Jak si poradit s (t  ) v praxi ? (definice Ljapunovova exponentu, asymptotická neperiodicita) Rovnice řešit (tzn. systém sledovat) co možná nejdelší dobu - jak dlouho není předem dáno - chování může být: transientní (přechodové) + „finální“

22 Je pro chaos postačující citlivost na počáteční podmínky? NENÍ !! X  c X, kde c > 1 – tzn. lineární zobrazení: X n+1  c n X n počáteční chyba   chyba po n krocích c n 

23 Definice – 1) není omezená Je ale citlivá na volbu počátečních podmínek

24 Nutná podmínka chaotického chování: nelinearita zaváděna jako „negativně“ ve vztahu k linearitě: f (x) je lineární pokud splňuje - aditivitu: f (x+y) = f (x) + f (y) - homogenitu: f (  x) =  f (x) pokud f (x) není lineární říkáme, že je nelineární - pro nelineární systém neplatí princip superpozice: - známe 1. řešení, 2. řešení ALE kombinace 1. a 2. není řešením příklad: 1. svobodný muž  dostane od banky úvěr 2. svobodná žena  dostane úvěr vezmou se  společně NEdostanou úvěr

25 Jsou věci kolem nás lineární nebo nelineární? - učebnice, škola: lineární úlohy, které se dají řešit (typicky trojčlenka) - nelineární příroda je spíše pravidlem než výjimkou Příklad: 1 člověk – 6 hodiny 2 lidé – 3 hodiny, atd. ale 3 lidé – 2 a ½ hodiny, 4 lidé – 2 hodiny nelineární interakce: pletou se vzájemně do cesty všichni nepracují stejně intenzivně (dobře) každý může mít jiné pracovní podmínky Chaos v praxi: narůstání zpoždění – autobus (1 minuta), metro (10 minut), tramvaj (15 minut), Pendolino (6 hodin) – ale konečný (finální) stav je stejný – dostanu se na stejné místo (ale o 6 hodin později) – tento stav je atraktorem

26 Shrnutí Chaos je složité (neuspořádané) chování s citlivou závislostí na počáteční podmínky (to ale nestačí) Neoperiodičnost a omezenost je dána mj. dobou pozorování Ačkoliv se jeví jako neuspořádaný a nahodilý, řídí se přesnými a jednoznačnými pravidly Jen u nelineárních systémů Další charakteristiky: objevuje se i u jednoduchých systémů s malým počtem stupňů volnosti (stačí 3 proměnné, je-li čas spojitý, 1 proměnná, je-li čas diskrétní) stejný systém se může zároveň chovat chaoticky i pravidelně (různé řídící parametry – např. hubení škůdců, různé počáteční podmínky – mohou být nestabilní)

27 Příklady

28 Kulečník spustit program

29 Historická exkurze χάος – řeckého původu – Hésiodos (8. st. př. n. l.) –v antice: stav předtím než byl stvořen κόσμος (kosmos) – představuje stav, kdy ještě nebyla stvořena nebesa a Země; kosmos je pak chápán jako řád Běžný význam – zmatek, nepořádek, nepřítomnost řádu Odborný termín – viz předchozí výklad –Maxwell (1831–1879): kinetická teorie plynů – kolize molekul – malá výchylka (nepřesnost) způsobí odlišné chování jednotlivých molekul a výsledný stav se bude od původního značně lišit –H. Poincaré (1854–1912): pohyb 3 těles –J. Hadamard (1865–1963): trajektorie na povrchu s negativní křivostí je citlivý na počáteční podmínky –E. Borel (1871–1956): model pohybu molekuly plynu jako biliárové koule –G. Birkhoff (1884–1944): topologické práce

30 Zlatá éra chaosu – 60. léta 20. st. E.N. Lorenz (1917–2008): praktické hledisko – konvekce v tekutině s disipací – pohyb tekutiny se neustálil S. Smale (1930–): „čisté“ matematické práce navazující na Poincarého Y. Ueda (1936–): chaotický pohyb vynuceného oscilátoru v elektronickém obvodu Lorenz (1963): Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci., 20,

31 Edward Norton Lorenz 1917–2008 Lorenz (1963): Deterministic nonperiodic flow, Journal of Atmosperic Sciences, 20, 130–141 (45 let) Narození: 1917, West Hartford, Connecticut, USA Studia: matematika - Dartmouth College v New Hampshire - Harvard University v Cambridge Válka: - přeškolen na leteckého meteorologa pro americké letectvo Po válce: - studium meteorologie na MIT

32 nahodilý objev citlivosti na počáteční podmínky, zadání počátečních podmínek na menší počet desetinných míst Prof. Willem Malkus – chování disipativního systému se musí ustálit na stacionárním stavu Počítač Royal McBee LPG z roku 1959: CPU 120 kHz, 113 vakuových trubic, 1450 diod, 365 kg, $

33 Původní Lorenzův objev

34 Publikovaná práce: Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci., (1963), 320, 130–141 Horní hranice - nižší teplota Dolní hranice - vyšší teplota Rayleigh-Bénardova konvekce James Thomson 1882 (bratr lorda Kelvina) Bénard 1900 – experimentálně Rayleigh 1916 – teoreticky r > r c  chaotické chování

35 2 rozhodující fyzikální mechanismy 1)Archimédovské vztlakové síly 2)Vnitřní tření (viskozita) v tekutině ? který z mechanismů převáží, závisí na ? a) fyzikálních vlastnostech tekutiny b) okrajových podmínkách (volné hladiny, pevné hranice, kombinace) + tloušťka vrstvy c) rozdílu teplot mezi spodní a svrchní vrstvou

36 1)  T malé viskozita > vztlakové síly   teplo přenášeno pouze VEDENÍM (molekulární difuze) (tzn. stav bez konvekce, lineární pokles teploty s výškou) 2)  T větší vztlakové síly  viskozita   teplo přenášeno jak VEDENÍM, tak KONVEKCÍ (pravidelné konvektivní útvary) 3)  T veliké vztlakové síly > viskozita   teplo přenášeno především KONVEKCÍ (nepravidelné konvektivní útvary proměnné v čase)

37 Přechod k Saltzmanovým rovnicím Zavedeme: odchylka teploty od lineárního profilu (stav bez konvekce) proudová funkce kde  – koeficient objemové roztažnosti Saltzmanovy rovnice

38 Rayleigh (1916) Okrajové podmínky: spodní i dolní hranice jsou volné,  =  2  = 0 pro z = 0, z = H Řešení ve tvaru: když Rayleighovo číslo = množství tepla konvekcí / množství tepla vedením Kritické hodnoty: 2 volné Ra k =657,5 1 volná a 1 pevná Ra k = pevné Ra k =1 708 (nezávislé na materiálu)

39 Lorenz (1963) Jen první členy Foureirovy řady: X, Y, Z = f(t) X - intenzita konvekce Y - teplotní rozdíl mezi stoupající a klesající tekutinou Z - odchylka teploty od lineárního profilu  =  2 (1+a 2 )  t / H 2 bezrozměrný čas r=Ra/Ra k redukované Rayleighovo číslo  = /  Prandtlovo číslo b=4/(1+a 2 ) rozměr konvektvních útvarů (míra disipace)

40 Původně 8 rovnic, 5 proměnných se měnilo „málo“ Saltzmanovy rovnice přejdeme k bezrozměrným veličinám: x=Hx *, z=Hz *, t=(H 2 /  )t *  2 =(1/H 2 )  *2,  =  *  =(  /g  H 3 )  * Řešení ve tvaru Fourierovy řady:

41 r > 24,74: objevuje se „CHAOTICKÝ“ ATRAKTOR neustálená časově proměnná konvekce trvající i pro t  nečekané chování, před Lorenzem (B.C.): chování se vlivem disipace ustálí (Malkus) Lorenzova práce zapadla

42  d(t)=0,01 Smaleho (2000): 18 nejvýznamnějších nevyřešených problémů pro 21. století 14. problém  Je Lorenzův atraktor chaotický? řešení W. Tucker (2002) – tzn. po 39 letech Je to opravdu chaos? Ljapunovovy exponenty: 1 =0,905, 2 =0, 3 =-14,57

43 2 chaotické trajektorie v Lorenzově systému

44 Efekt motýlích křídel Lorenzovo žertovné přirovnání o tom, že mávnutí motýlích křídel nad Brazílií může způsobit tornádo nad Mexikem Důsledek chaosu pro předpovědi: Neznám-li přesně počáteční podmínky  nemohu provádět (úspěšně) „dlouhodobou“ předpověď Podobně i u přesnosti výpočtů Předpověď „krátkodobá“ je možná

45 Citlivá závislost na počáteční podmínky ve středověké říkance Neměl hřebík, neměl podkovu. Neměl podkovu, neměl koně. Neměl koně, neměl jezdce. Neměl jezdce, prohrál bitvu. Prohrál bitvu, přišel o království.

46 Ustálený režim bez transientního chování Co když r měníme rychle?

47 Mýty o deterministickém chaosu Deterministicky chaotické chování se nedá předpovídat Meteorologii a chaos bych nespojoval (autentická slova matfyzáka) versus Počasí se nedá předvídat Klimatické modely nemají smysl

48 Předpověď náhodný jev (nic si nepamatuje) „spořádaný“ proces (vše si nepamatuje) chaotický proces (pamatuje si jen část minulosti - zapomíná  generuje informaci)

49 Čas předpověditelnosti závisí na požadované přesnosti - Ljapunovův exponent  - počáteční nepřesnost (t=0) L – požadovaná přesnost čase T pred Předpověď mohu udělat kdykoliv – má ale smysl? - triviální tvrzení – nadcházejí zima bude chladnější než letošní léto - věštec, astrolog – vágní formulace

50 Úspěšnost předpovědi závisí na situaci a na tom, co předpovídám

51 Meteorologie Věda o atmosféře (v širším smyslu podle WMO zahrnuje i klimatologii) Počasí versus klima –Počasí: je stav atmosféry charakterizovaný souhrnem hodnot všech meteorologických prvků (např. T, r, p, v, sluneční svit) + atmosférickými jevy (mlha, déšť, bouřka, sněhová pokrývka apod.) v daném místě a čase –Klima:  „průměrné počasí“ za dostatečně dlouho dobu ( ), změna v čase pro dané místo ale i pro daný čas v různých místech. např. stejný roční množství srážek pro 2 místa: 1. srážky po celý rok, 2. srážky v létě během několika bouřek - střední hodnoty + proměnlivost, extrémy jevy - definice nejednotná závislá na účelu

52 Složení a členění atmosféry

53 atmosféra světový oceán pevný zemský povrch kryosféra biosféra Klimatický systém mnoho vzájemně propojených procesů různých prostorových, časových a energetických měřítek nelineární systém

54 Parametrizace: ohřev atmosféry radiací, tření o zemský povrch, vznik srážek a oblačnosti, nediabatické děje, konvekce, procesy na zemském povrchu (výpar z rostlin), … Model ALADIN (ČMHÚ) Horizontální rozlišení rozlišení 9x9 km 43 vertikálních hladin Časový krok integrace 6 minut Předpověď na 54 hodin vpřed Výpočet 2x denně ze stavu v 00 a 12 h UTC

55 Integrační oblast Model ALADIN (ČHMÚ) Horizontální rozlišení 9x9 km –43 vertikálních hladin Časový krok integrace 6 minut Předpověď na 54 hodin vpřed Výpočet 2x denně ze stavu v 00 a 12 h UTC

56

57 Předpověd na úterý 12:00, T2 a srážky Model ALADIN (ČHMÚ)

58 Model MM5 (ÚI AVČR) Horizontální rozlišení 9x9 km –grid box: 67x79 Časový krok integrace 6 minut Předpověď na 54 hodin vpřed Výpočet 4x denně ze stavu v 00 a 12 h UTC

59 Hlavní praktická aplikace chaosu v meteorologii Ansámblové předpovědi: - odhad předpověditelnosti předpovědi (jak bude předpověď úspěšná) Integrace 1 týden

60 Izohypsy tlakové hladiny 500 hPa spojnice stejných výšek tlak. hladiny

61 1 den15 dní Přepověď na 15 dní

62 „Bodová“ předpověď (na 14 dní teplota v 850 hPa, srážky) kontrolní běh průměr ansámblů

63 „Bodová“ předpověď (teplota ve 2 m, rychlost větru v 10 m)

64 Úspěšnost předpovědi podle ČHMÚ

65 Jedno z pojetí typů předpověditelnosti: 1.druhu: předpověď sledu stavů atmosféry (např. ze dne na den, numerická předpověď počasí) 2.druhu: odhad pravděpodobnostních charakteristik po nějaké době (klimatické modely)

66 Klimatické modely analogická fyzika NPM odladěno na referenční období Scénáře emisí PROJEKCE klimatu Nejde o předpověď !!

67 Vliv člověka – emise skleníkových plynů a aerosolů Scénáře změny klimatu Scénáře popisují přijatelné alternativní stavy klimatu v budoucnosti (např. 2040–69, 2070–2100), které mohou za předpokládaných okolností nastat. Účelem scénářů je osvětlit nejistoty budoucího vývoje, pomoci najít rámec či meze budoucího vývoje. Předpokládané okolnosti – např. představa o růstu koncentrací skleníkových plynů a aerosolů v atmosféře Nejedná se o předpovědi budoucích klimatických podmínek ve stejném smyslu jako jsou předpovědi počasí Projekce budoucího klimatu odezva klimatického systému na určitý scénář emisí počítaná klimatickým modelem – tzn. odezva na vnesenou poruchu (analogie s r ) Scénář – využití informace z mnoha modelů

68 klimatické ansámbly: různé modely + různé scénáře emisí + různé počáteční podmínky + různá „fyzika“ téhož modelu (parametrizace) Grand ansámbl (ansámbl z ansámblů)

69

70

71 roč. obdobíteploty vzduchuúhrnu srážekrychlosti větru 85%15% AL 2585%15% AL 2585%15% AL jaro1,420,680,981,120,901,101,020,981,02 léto1,760,810,901,110,951,011,000,981,00 podzim1,510,961,231,121,021,041,030,990,98 zima2,140,500,901,121,050,911,030,990, jaro2,561,332,121,121,010,981,020,980,99 léto3,151,722,321,050,860,961,010,971,00 podzim2,901,842,041,180,951,131,010,971,01 zima3,671,991,441,181,080,881,040,990, jaro3,442,022,871,221,031,071,030,971,02 léto4,222,593,470,980,810,861,000,971,01 podzim4,532,643,041,221,011,061,010,97 zima4,833,182,291,241,070,941,050,960,97 Možné změny pro ČR Ansábl 12 RCM (85% a 15% kvantil), model ALADIN 25

72 Chaotický charakter klimatického systému ALE TAKÉ: Neurčitosti vstupních parametrů (složení atmosféry, solární aktivita, vulkanická činnost …) – viz emisní scénáře Neurčitosti dané nedostatečným rozlišením modelu Chyby a neurčitosti dané fyzikálními parametrizacemi Dodatečné chyby/neurčitosti vzniklé při následné lokalizaci výsledků Některé otazníky a neurčitosti Je klimatu v „přechodovém“ procesů ? – nebo už v limitním ? stále se mění parametry popisující klimatický systém Příčiny změny klimatu v minulosti ?  stejné příčiny v minulosti, současnosti a budoucnosti?

73 Poučení: Teď máme v chaosu ještě větší chaos než před přednáškou Děkuji za pozornost

74 Odkazy na použité materiály: [1] Hilborn C.H. (2000): Chaos and Nonlinear Dynamics, An Introduction for Scientists and Engineers, 2. vyd, Oxford University Press, 650 str. [2] Alligood et al. (1996): Chaos, An Introduction to Dynamical Systems, Springer, 603 str. [3] Kugumtzis et al. (1994): Chaotic time series I: Estimation of invariant properties in state space, Modeling, Identification and Control, 15, 205 [4] Devaney R.L. (1992): A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Theory and Experiment, Perseus Books, 302 str. [5] Peitgen et al. (2004): Chaos and Fractals, new Frontiers of Science, 2 vyd., Springer, 864 str. [6] Lorenz E.N. (1993): The Essence of Chaos, University of Washington Press, 227 str. [7] Duda D.: Software “Kulecnik”, 2010 – zkouškový projekt, MFF UK [8] Gleick J. (2008): Chaos: making a New Science, Penguin, 384 str. (dostupné i v českém překladu) [9] Obr. Konvekce Mikšovský J. [10] Saltzmann B. (1992): Finate amplitude free convection as an initial value problem, J. Atmos. Sci., 19, 239 [11] Lorenz E. N. (1963) Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sci., 20, 130 [12] bifurkační diagram Lorenzova systému: J. Matoušek, zkouškový projekt [13] Strogatz S.H. (2001): Nonlinear Dynamics and Chaos With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Enginnering, Westview Press, 512 str. [14] Palmer T. (1989): A weather eye on unpredictability, New Scientist, 11 Nov., 56 [15] [16] [17] [17] WMO (2011): WMO Statement on the Sfile/50/wmo_climate_2010.pdftatus of Global Climate in 2010, WMO Report No. 1074, 20 str. [18] Metelka L, Tolasz R. (2009): Klimatické změny: fakta bez mýtů, Hainrich Boll Stiftung & Centrum pro otázky životního prostředí, Praha, 40 str. [19] Klimatická zněna 2007: Fyzikální základ - Shrnutí pro veřejné činitele (2007), WMO, UNEP IPCC, 18 str. [20] Kalová J. (2010) – autoři laskavě děkují za poskytnutích výsledků aktuálního výzkumu na KMOP MFF UK [21] video ukázky z filmu: Chaos: The theory which imposes order within disorder, ICA, Worlds Edge Film Production, dále autoři děkují i dalším autorům, které ve své chaotické roztržitosti opomněli citovat

75 Některá česky psaná literatura k problematice: Uvedení do problematiky: Pokorný P.: (2008): Deterministický chaos – plod počítačové fyziky, Čs. čas. fyz., 58, str. 328 – velice pěkný článek, který uvádí velmi názorným způsobem čtenáře do problematiky deterministického chaosu Nyklová H. (2009): Hraje Bůh v kostky? Argo, Dokořán,431 str. – překlad knihy Steward I. (2002): Does God Play Dice? The New Mathematics of Chaos, Wiley-Blackwall, 2. vyd., 416 str. Odbornější trilogie: Horák, J. Krlín L. (1996): Deterministický chaos a matematické modely turbulence, Academia, 444 str. Horák J., Krlín L., Raidl A. (2003) Deterministický chaos a jeho fyzikální aplikace, Academia, 437 str. Horák J., Krlín L., Raidl A. (1997): Deterministický chaos a podivná kinetika, Academia, 164 str.


Stáhnout ppt "Deterministický chaos, meteorologie a klima Aplikace matematiky pro učitele Aleš Raidl, Barbora Kliková, Hynek Bednář Katedra meteorologie a ochrany ovzduší."

Podobné prezentace


Reklamy Google