Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát … od brachistochrony k variační posloupnosti … Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU

Co je to matematická fyzika ? Richard P. Feynman …. Přírodní zákony mají obvykle matematickou podobu. Proč lze přírodní zákony vtělit do matematického tvaru, je záhada. O smyslu bytí. AURORA, 2000 Co je to matematická fyzika ?

Příroda zná variační princip Izoperimetrický problém (Archimédes, Aristoteles) Fermatův princip (17. stol.) α α S=max β L=konst Nejkratší spojnice bodů na kouli Brachistochrona (1696) A A g B B

Brachistochrona Galileo Galilei (1638) Johann Bernoulli (1696) Groningen – 14 x 12 x 7,5 metru chronos – čas brachys – krátký brachistos – nejkratší Galileo Galilei (1638) Johann Bernoulli (1696) Johann Bernoulli Jacob Bernoulli Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Guillaume l’Hospital Ehrenfried Tschirnhaus Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU

Brachistochrona - řešení Křivka, která spojuje dva dané body A a B v homogenním tíhovém poli tak aby volně puštěné těleso dorazilo z bodu A do bodu B v nejkratším čase. A x ds y B y y = y(x) … ? Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU

Variační problém Variační funkcionál Variační problém Zobrazení definované na množině M křivek (ploch,….) integrálem Variační problém Kritické body F(C) C C+δC Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU

Variační princip ve fyzice Variační princip klasické mechaniky Skutečnými trajektoriemi částic nebo jejich soustav jsou ty, podél nichž nabývá jistý integrál (variační funkcionál) zvaný akce stacionární hodnoty. Variační princip teorie pole – pohybové rovnice

Příklady Mechanika 1. řádu Teorie pole (mechanika kontinua) nevariačnost Mechanika 1. řádu Teorie pole (mechanika kontinua) x x(t) (u) (x)

Matematická formulace variačních teorií geometrická struktura podkladových prostorů geometrické objekty pro popis veličin variační ekvivalence triviální variační problém variačnost pohybových rovnic (inverzní problém) integrabilita lokálnost a globálnost

Podkladové prostory Fibrované variety a jejich prodloužení Jrγ(x) πr,1 J1Y … první prodloužení Y dim J1Y = n +m+nm {x} x Rm x Rnm … (fázový prostor) J1γ(x) π1,0 γ(x) Y … totální prostor dim Y = n +m, např. Y = Rn+m {x} x Rm … (konfigurační prostor) π Ω X … báze (prostor parametrů, čas) dim X = n, např. X = Rn x

Souřadnicové systémy Fibrované systémy na Y Asociované systémy na X Asociované fibrované systémy na JrY V _ V

Geometrické objekty – I vertikální Vektorová pole πr – projektabilní πr – vertikální ξ π γ ξ0 x Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU

Geometrické objekty - II Diferenciální formy (antisymetrická tenzorová pole na JrY ) horizontální kontaktní jednoznačný rozklad ξ3 ξ2 ξ1

Variační funkcionál Lagrangeova struktura r – tého řádu Akce, stacionární body γτ γ Ω

Obecné problémy variačnosti Triviální variační problém Najít jádro E-L zobrazení všechny lagrangiány r – tého řádu s identicky nulovými E-L výrazy (levé strany pohybových rovnic) Klasické řešení v mechanice: Inverzní variační problém Kritéria, zda dané pohybové rovnice vzešly z variační úlohy „variační“ zobecněné síly, podmínky pro „hmotnosti“, lagrangián

Variační ekvivalence Variační irelevance kontaktní formy E-L zobrazení, irelevance vnější derivace kontaktní formy, Lepageův ekvivalent Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU

Variační ekvivalence forem Ekvivalence q-forem – fyzikální motivace Zobecnění ekvivalence

Exaktní posloupnosti Exaktní posloupnosti: homomorfismy abelovských grup De Rhamův komplex d 2=0 Faktorizace podle normální podgrupy hj hj+1 Im hj=Ker hj+1 Gj Gj+1 Gj+2 d d d d d

Variační posloupnost   ...   /   /   /  ... ... F F F E d d r  r  d 1 ... P 2 P+1 N 1  r  / F 2  r  / F P  r  / F d 1  r ... 2 P ... E P 2 1 P- 1

„Fyzikální“ část VP Ε: λ → Ελ Η: E → HE dynamical forms E-L forms H-S forms trivial Lagrangians Lagrangians n-forms (n+1)-forms (n+2)-forms Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU

Aplikace – variační síly Odvoditelnost pohybových rovnic z variačního principu  podmínky kladené na koeficienty rovnic. Aplikace – variační síly Klasická částice Variační síla „lorentzovského typu“ zahrnuje Lorentzovu sílu i všechny typy setrvačných sil a splňuje Maxwellovy rovnice. Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU

Vlastní výzkum Reprezentace variační posloupnosti formami I. Anderson Reprezentace variační posloupnosti v teorii pole (dim X > 1) na nekonečných jetech D. Krupka, J. Musilová, M. Krbek, J. Kašparová, J. Volná Reprezentace VP v mechanice (dim X = 1) na konečných jetech (vhodné pro fyziku) M. Krbek, J. Musilová Kompletní řešení problému reprezentace v teorii pole vyššího řádu na konečných jetech D. Krupka, J. Volná Alternativní řešení pro speciální případy

Závěr – perspektivy PV Richard P. Feynman Takové principy fascinují a vždy stojí za to poznat, do jaké míry jsou obecné. Přednášky z fyziky 2. FRAGMENT, 2001 Příroda respektuje variační princip Hezké fyzikální teorie jsou variační. Proto má smysl rozvíjet pro ně matematický aparát.