Soustava lineární a kvadratické rovnice Název projektu: Moderní škola Soustava lineární a kvadratické rovnice Mgr. Martin Krajíc   23.5.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Soustava lineární a kvadratické rovnice - úvod Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se nyní zaměříme na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, z nichž jedna bude lineární a druhá kvadratická. ax + by = c dx² + ey² = f x,y jsou neznámé a, b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla

Soustava lineární a kvadratické rovnice – postup řešení soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, z nichž jedna je lineární a druhá kvadratická, řešíme dosazovací metodou z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou vyjádřenou neznámou dosadíme do kvadratické rovnice řešíme kvadratickou rovnici o jedné neznámé (postup na zjištění kořenů volíme buď pomocí diskriminantu nebo pomocí Viétových vzorců) dosazením do vyjádření lineární rovnice dopočítáme druhou neznámou provedeme zkoušku a zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí Poznámka: podle počtu řešení kvadratické rovnice může mít soustava dvě řešení, jedno řešení nebo žádné řešení

Soustava lineární a kvadratické rovnice - příklad Použijeme vzorec (a – b)² = a² - 2ab + b² Př: Řešte soustavu rovnic x + y = 3 x² + y² = 5 z první rovnice si vyjádříme neznámou x: x = 3 – y dosadíme za ni do druhé rovnice: (3 - y)² + y² = 5 nyní již řešíme jednoduchou rovnici: 9 - 6y + y² + y² = 5 2 y² - 6y + 4 = 0 /:2 y² - 3y + 2 = 0 pomocí Viétových vzorců zjistíme kořeny rovnice: y1 = 1, y2 = 2 dopočítáme neznámé x dosazením: x1 = 3 – 1 = 2 x2 = 3 – 2 = 1 výsledek zapíšeme: [x1; y1] = [2; 1], [x2; y2] = [1; 2], zkoušku provedeme dosazením výsledků do obou rovnic

Soustava lineární a kvadratické rovnice - příklad Použijeme vzorec (a – b)² = a² - 2ab + b² Př: Řešte soustavu rovnic 2x + y = 2 -3x² + y² = -12 z první rovnice si vyjádříme neznámou y: y = 2 – 2x dosadíme za ni do druhé rovnice: -3x² + (2 – 2x)² = -12 nyní již řešíme jednoduchou rovnici: -3x² + 4 – 8x + 4x² = -12 x² - 8x + 16 = 0 diskriminant je roven nule, rovnice má pouze jeden kořen: x = 4 dopočítáme neznámou y dosazením: y = 2 – 2.4 = -6 výsledek zapíšeme: [x; y] = [4; -6] zkoušku provedeme dosazením výsledku do obou rovnic

Soustava lineární a kvadratické rovnice - příklad Použijeme vzorec (a – b)² = a² - 2ab + b² Př: Řešte soustavu rovnic 5x + y = 2 x² + 2y² = -2 z první rovnice si vyjádříme neznámou y: y = 2 – 5x dosadíme za ni do druhé rovnice: x² + 2(2 – 5x)² = -2 nyní již řešíme jednoduchou rovnici: x² + 2(4 – 20x + 25x²) = -2 x² + 8 – 40x + 50x² = -2 51x² - 40x + 10 = 0 vypočteme diskriminant: D = b² - 4ac = (-40)² - 4.51.10 = -440 diskriminant je záporný, soustava rovnic nemá řešení výsledek zapíšeme: [x; y] = Ø

Soustava lineární a kvadratické rovnice – složitější příklad Př: Řešte soustavu rovnic 2x - 5y = 7 x² + y² = 2 z první rovnice si vyjádříme neznámou x: x = (7 + 5y)/2 dosadíme za ni do druhé rovnice: ( )² + y² = 2 nyní již řešíme jednoduchou rovnici: + y² = 2 /.4 49 + 70y + 25y² + 4y² = 8 29y² + 70y + 41 = 0 vypočteme diskriminant: D = b² - 4ac = 70² - 4.29.41 = 144 dopočteme kořeny y1 = -1, y2 = -41/29 dosazením dopočteme x1 = 1, x2 = -1/29 výsledek zapíšeme: [x1; y1] = [1; -1], [x2; y2] = [-1/29; -41/29]

Soustava lineární a kvadratické rovnice – příklady Př: Řešte soustavy rovnic a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Leopold Kronecker: „Bůh vytvořil přirozená čísla, ….. ostatní je dílo člověka“. 1) 2x + y = 7 a) V = [x1;y1] = [3;1], [x2;y2] = [ ; ] x² + 2y² = 11 b) J = [x1;y1] = [3;1], [x2;y2] = [ 8 ; 5] 2) x - 4y = 1 a) Š = [x;y] = [-1;-0,5] x² - 12y² = 4y b) E = [x1;y1] = [-1;1], [x2;y2] = [0; 1] 3) 4x - 3y = 1 a) E = [x;y] = Ø x² - y² = 2 b) N = [x1;y1] = [-1;-1], [x2;y2] = [0,68;1,24]

Soustava lineární a kvadratické rovnice – správné řešení Leopold Kronecker: „Bůh vytvořil přirozená čísla, ……… ostatní je dílo člověka“. VŠE

Soustava lineární a kvadratické rovnice – použité zdroje Matematické citáty. [online]. [cit. 2013-05-23]. Dostupné z: elmartin.txt.cz/clanky/50290/matematicke-citaty/