Aritmetická posloupnost RNDr.Luděk Šnirch Obchodní akademie a střední zemědělská škola Bruntál
Co je to aritmetická posloupnost ? Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro každé celé kladné číslo n platí: Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Je to rozdíl dvou po sobě jdoucích členů posloupnosti a je nezávislá na n.
Příklady – je posloupnost aritmetická ? 3,6,9,12,15,18,…. a1 = 3, an+1 = an+3 an+1 - an = (an+3) – an = 3 Ano, je aritmetická, d=3 a1 = 24/5, an+1 = an – 2 an+1 - an = (an-2) – an = -2 Ano, je aritmetická, d=-2
Zadání aritm.posl. vzorcem pro n-tý člen V aritmetické posloupnosti s diferenci d platí pro každé n N: V aritmetické posloupnosti s diferenci d platí pro každé r,s N: an = a1 + (n-1)d as = ar + (s-r)d
Vlastnosti aritmetické posloupnosti Aritmetická posloupnost s diferenci d>0 je rostoucí, zdola omezená, není shora omezená Aritmetická posloupnost s diferenci d<0 je klesající, shora omezená, není zdola omezená Aritmetická posloupnost s diferenci d=0 je omezená (zdola i shora)
Příklady Které z čísel 71 a 100 jsou členy aritmetické posloupnosti a1=-10, d=4,5 ? an=a1+(n-1)d 71=-10+(n-1)4,5 100=-10+(n-1)4,5 81=4,5n-4,5 110=4,5n-4,5 85,5=4,5n 114,5=4,5n 19=n 25,44=n 19. členem posloupnosti je číslo 71, číslo 100 není členem posloupnosti.
Příklad Najdi tisící v pořadí liché číslo dělitelné 3. Nejmenší liché přirozené dělitelné 3 je číslo 3. a1=3 Jaké je další ? a2=9 Jaká je diference ? d=6 Vzorec pro n-té číslo an=3+(n-1)6 Tisící liché číslo dělitelné 3 je: a1000=3+999*6=5997 Tisící v pořadí liché číslo dělitelné 3 je číslo 5 997.
Součet prvních n členů aritm. posloupnosti Pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti platí:
Příklad Sečti sudá trojciferná přirozená čísla. První trojciferné sudé číslo je : a1=100 Poslední trojciferné sudé číslo je an=998 Diference d=2. Kolik takových čísel je ? Jak spočíst ? Ze vzorce pro n-tý člen. 998=100+(n-1)2 n=450 A součet sn všech sudých trojciferných ? s450=0,5*450(100+998)=225*1098=247 050 Součet sudých trojciferných čísel je 247 050.