Kvadratické nerovnice Řešení nerovnic Kvadratické nerovnice Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Řešení nerovnic: Řešit kvadratickou nerovnici s jednou neznámou znamená určit všechny hodnoty x  R, pro které platí zadaný vztah. Zkouška není nutnou součástí řešení, pokud použijeme pouze ekvivalentních úprav. Zkoušku dosazením všech kořenů do dané nerovnice nelze provést, neboť jich je zpravidla nekonečně mnoho. Dosazením náhodně vybraného čísla nemusíme zjistit případnou chybu při řešení.

Princip řešení nerovnic ‒ hledání kořenů nerovnice: Hledání kořenů nerovnice je stejně jako u rovnic opět proces, při kterém místo dané nerovnice píšeme novou nerovnici, většinou takovou, která má stejné řešení, jako původní nerovnice. O takové nové nerovnici řekneme, že je s tou naší původní nerovnicí ekvivalentní. Úpravy, které provádíme s příslušnou nerovnicí se nazývají ekvivalentní úpravy. Jsou to takové úpravy nerovnice, při nichž žádný kořen neztratíme, a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc. Množiny kořenů původní nerovnice a nové nerovnice jsou si rovny.

Ekvivalentní úpravy využívané při řešení nerovnic: 1. Vzájemná výměna obou stran nerovnice se současnou záměnou znaku nerovnosti. 2. Přičtení čísla nebo výrazu k oběma stranám nerovnice. 3. Vynásobení obou stran nerovnic stejným kladným číslem nebo výrazem. 4. Vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem či výrazem se záměnou znaku nerovnosti. 5. Umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jen když jsou obě strany rovnice kladné. 6. Odmocnění obou stran nerovnice přirozeným odmocnitelem, jen když jsou obě strany kladné.

POZOR! Zásadní změnou při řešení nerovnic na rozdíl od řešení rovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot. MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAK NEROVNOSTI V OPAČNÝ!

Kvadratická nerovnice Kvadratickou nerovnicí s neznámou x nazveme každou nerovnici, kterou je možné ekvivalentními úpravami převést na jeden z těchto tvarů: Těmto tvarům říkáme základní tvar kvadratické nerovnice a je vhodné při řešení kvadratických nerovnic tyto do tohoto tvaru vždy upravit. kde koeficienty a, b, c ∈ R a a ≠ 0. Jejím řešením je podmnožina množiny R, kterou lze zapsat například pomocí intervalu.

Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Nutnou podmínkou pro řešení nerovnic touto metodou je znalost řešení kvadratických rovnic, rozložení kvadratického trojčlenu na součin a také znalost řešení nerovnic v součinovém tvaru.

Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Nutnou podmínkou pro řešení nerovnic touto metodou je znalost řešení kvadratických rovnic, rozložení kvadratického trojčlenu na součin a také v neposlední řadě znalost řešení nerovnic v součinovém tvaru. Kvadratický trojčlen ax2 + bx + c kvadratické nerovnice v základním tvaru, kde a ≠ 0, rozložíme na součin lineárních dvojčlenů a . ( x − x1 ) . ( x − x2 ). To lze udělat jen pokud diskriminant D příslušné kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 je nezáporný. !!! Nerovnici před dalším postupem upravíme tak, aby a>0 (případným vynásobením nerovnice číslem -1 s otočením znaku nerovnosti) !!!!

Jde-li, upravíme nerovnici pomocí ekvivalentních úprav . Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Jde-li, upravíme nerovnici pomocí ekvivalentních úprav .

Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Abychom mohli kvadratický trojčlen rozložit na součin lineárních dvojčlenů, potřebujeme vypočítat kořeny příslušné kvadratické rovnice…

Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Nulové body – jsou z řešení kvadratické rovnice: (-;-3) -3 (-3;1) 1 (1;) x-1 - + x+3

Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Nejdříve kvadratickou nerovnici upravíme na základní tvar. Tak tedy celý postup ještě jednou.

Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Abychom mohli kvadratický trojčlen rozložit na součin lineárních dvojčlenů, potřebujeme vypočítat kořeny příslušné kvadratické rovnice…

Diskriminant větší než nula, což znamená dva kořeny… Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Diskriminant větší než nula, což znamená dva kořeny…

Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Nulové body – jsou z řešení kvadratické rovnice: (-;-1) -1 (-1;2) 2 (2;) x-2 - + x+1

Nejdříve kvadratickou nerovnici upravíme na základní tvar. Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Nejdříve kvadratickou nerovnici upravíme na základní tvar. Tak ještě jednou krok za krokem.

Diskriminant roven nule, což znamená jeden dvojnásobný kořeny… Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Abychom mohli kvadratický trojčlen rozložit na součin lineárních dvojčlenů, potřebujeme vypočítat kořeny příslušné kvadratické rovnice… Diskriminant roven nule, což znamená jeden dvojnásobný kořeny…

Jeden dvojnásobný kořen, tzn. jeden nulový bod. Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Jeden dvojnásobný kořen, tzn. jeden nulový bod.

z dalších úvah můžeme bez obav vynechat. Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Činitel ve tvaru kladného čísla na to, zda bude výsledný součin kladný, záporný či nulový, nemá žádný vliv, a proto jej z dalších úvah můžeme bez obav vynechat.

Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Nulový bod – je z řešení kvadratické rovnice: (-; -½) -½ (-½; ) x + ½ - +

varianta, která nás může při řešení potkat. Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Tak a ještě jedna varianta, která nás může při řešení potkat.

Diskriminant záporný, což znamená, že kvadratická rovnice nemá řešení. Řešení kvadratických nerovnic pomocí rozkladu na součin Řešme v R nerovnici: Co z toho, že kvadratická rovnice nemá řešení, plyne pro řešení kvadratické nerovnice? Že mohou nastat dvě možnosti: Nerovnice nemá řešení. Nerovnice má nekonečně mnoho řešení. Diskriminant záporný, což znamená, že kvadratická rovnice nemá řešení. Která možnost platí, zjistíme dosazením libovolného čísla z oboru řešení nerovnice.

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici:

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici:

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici:

Příklady k procvičení Řešte v R nerovnici: - +

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>

Citace: MACHÁŇOVÁ, Šárka. Kvadratické nerovnice. Metodický portál : Digitální učební materiály [online]. 02. 08. 2011, [cit. 2012-07-08]. Dostupný z WWW: <http://dum.rvp.cz/materialy/kvadraticke-nerovnice.html>. ISSN 1802-4785.