Kruh, kružnice Matematika 8.ročník ZŠ I. část – Základní pojmy, obvod a obsah Creation IP&RK

O b s a h : 1. Kružnice - základní pojmy, definice 2. Kruh - základní pojmy, definice 3. Konstrukční úlohy 4. Délka kružnice a obvod kruhu 5. Příklady 6. Obsah kruhu 7. Příklady

S 1. Kružnice - základní pojmy, definice r d Platí: d = 2 . r r = ½ d Kružnicí rozumíme všechny body (množinu bodů) v rovině, které mají od daného pevného bodu (středu) S stejnou vzdálenost. k r d Kružnici k se středem S a poloměrem r = 4 cm budeme zapisovat: k(S,r = 4 cm) S Vzdálenost bodů na kružnici ke středu nazýváme poloměr kružnice. Poloměr značíme r. Platí: d = 2 . r r = ½ d Vzdálenost dvou bodů na kružnici, jejichž spojnice prochází středem, se nazývá průměr kružnice. Průměr značíme d.

Kružnice - souhrn k (S; r = 2,5 cm) M S ..... střed kružnice r C r k ..... kružnice S A B r ..... poloměr kružnice d D k d ..... průměr kružnice d = |AB| = 2.r A k C k B k D k r = d : 2 M k Kružnice k (S;r) – všechny takové body, které mají od středu S stejnou vzdálenost r.

Souměrnosti kružnice o1 o2 k A k A´ o3 S S B B´ o4 C C´ o5 . k A´ o3 S S B . B´ o4 . C C´ o5 o Každé 2 body kružnice jsou souměrně sdružené podle některé osy, procházející jejím středem. Kružnice je osově souměrná podle každé přímky, která prochází jejím středem.

S 2. Kruh - základní pojmy, definice r d Platí: d = 2 . r r = ½ d Kruhem rozumíme část roviny, která je omezená kružnicí. k Kruh k se středem S a poloměrem r = 4 cm budeme zapisovat: K(S,r = 4 cm) r d S Vzdálenost bodů na kruhu ke středu nazýváme poloměr kruhu. Poloměr značíme r. Platí: d = 2 . r r = ½ d Vzdálenost dvou bodů na kruhu, jejichž spojnice prochází středem se nazývá průměr kruhu. Průměr značíme d.

Kruh - souhrn K (S; r = 2,5 cm) M S ..... střed kruhu r C r K ..... kruh S A B r ..... poloměr kruhu d D k d ..... průměr kruhu d = |AB| = 2.r A k C k B k D k r = d : 2 M k Kruh K (S;r) – všechny takové body, které mají od středu S vzdálenost menší nebo rovnou poloměru r.

1.Konstrukční úloha Narýsuj kružnici k se středem S a poloměrem r = 4 cm. Zkráceně zapsáno k(S,r = 4 cm). Vyznač dva její průměry AB a EF. Které obrazce mohou vzniknout, narýsujeme-li úsečky AE, EB, BF, AF ? B F k S E A

2. Konstrukční úloha k C S B A k S B k C S Narýsuj kružnici k se středem a průměrem 7 cm. (Vypočítej: r = __mm.) Sestroj trojúhelník ABC tak, aby jeho vrcholy ležely na kružnici a dvě z jeho stran měřily a = 5 cm, b = 62 mm. k C S B A k S B Narýsuj kružnici k ( S, r = 35 mm) a na ní zvolím bod C. k C S 2. Z bodu C opíši oblouk t(C, r = 5 cm) a jeho průsečík s kružnicí k označím B. 3. Z bodu C opíši oblouk kružnice m(C, r = 62 mm) a jeho průsečík s kružnicí k označím A.

4. Narýsuji trojúhelník ABC – POSPOJUJ .

4. Délka kružnice a obvod kruhu Výpočet délky kružnice (obvodu kruhu) nebo plochy kruhu není složitý, nicméně není ani absolutně přesný. Je to dáno Ludolfovým číslem (označujeme:  čteme: „pí“) , jež se při výpočtech vyskytuje ve vzorcích a jehož desetinný rozvoj je neukončený a neperiodický.  – matematická konstanta udávající poměr obvodu kruhu k jeho průměru.  

Ludolfovo číslo (označujeme:  čteme: „pí“) , se při výpočtech vyskytuje ve vzorcích a jehož desetinný rozvoj je neukončený a neperiodický. Holandský matematik Ludolph van Ceulen (1540 − 1610) pomocí této metody spočítal  na 35 desetinných míst. Číslo  je vytesáno na jeho náhrobním kameni. Ludolph van Ceulen Egypťané udávali hodnotu  (čti „pí“) 3,1605 Archimédes vypočítal tuto hodnotu pomocí mnohoúhelníků vepsaných a opsaných kružnici.

Délka kružnice (obvod kruhu) Otevři si stránku ukrytou pod následujícím odkazem a můžeš se s postupem Ludolpha van Ceulena seznámit podrobněji: <http://www.walter-fendt.de/m14cz/piberechnung_cz.htm>

Číslo  1 2 3   4 d = 2r d d d d = 2r      = 3,141592653589…..

Délka kružnice a obvod kruhu Poměr délky kružnice a jejího průměru je pro všechny kružnice stejný (roven číslu ). d B S r k C A   Vzorce:   o =  · d o = 2 ·  · r K výpočtům používáme  = 3,14

Délka kružnice - příklad Příklad: Vypočítej délku kružnice, jestliže poloměr r = 6 cm. Výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa. A r = 6 cm o = 2  r r = 6 cm  = 3,14 o = ? (cm) S o = 2  r k o = 2·3,14·6 o = 37,68 cm Délka kružnice je 37,68 cm.

Obvod kruhu - příklad o = 2  r o = ? (dm) o = 2  r o = 2·3,14·7,4 Příklad: Vypočítej obvod kruhu, jestliže poloměr r = 7,4 dm. Výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa. A r = 7,4 dm r = 7,4 dm o = 2  r  = 3,14 o = ? (dm) S o = 2  r K o = 2·3,14·7,4 o = 46,472 46,47 dm = Obvod kruhu má délku 46,47 dm.

Výpočet poloměru kruhu - příklad Vypočítej poloměr kruhu, jestliže obvod o = 38,6 dm. Výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa. A o = 38,6 dm o = 2  r r =? o = 38,6 dm  = 3,14   S   K     = Obvod kruhu má délku 6,15 dm.

Výpočet průměru kružnice - příklad Vypočítej průměr kružnice, jestliže obvod o = 18,4 m. (Výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa.) o = 18,4 m o = 18,4 m o =  d  = 3,14 B A   d = ? S   k     = Průměr kružnice je 5,86 m.

6. Obsah kruhu Kruh rozdělíme na co nejmenší shodné trojúhelníky. Poskládáme je do jedné řady vedle sebe. Vzniklý útvar je „skoro“ shodný s rovnoběžníkem, jehož obsah umíme vypočítat: S = z . v (základna x výška). S =  r . r S =  . r2 Spodní strana je rovna polovině obvodu, výška je rovna poloměru.

Obsah kruhu vypočítáme, když druhou mocninu jeho poloměru vynásobíme číslem . S vědomím, že platí: d = 2 . r r = ½ d pak :

1. Příklad - obsah kruhu a) Vypočítejte obsah kruhu, je-li jeho poloměr 42 cm. b) Vypočítejte obsah kruhu, je-li jeho průměr 8 dm. a) r = 42 cm b) d = 8 dm S = r2 S = /4  d2 S = 3,14422 S = 3,14 / 4  82 S = 5538,96 cm2 Obsah kruhu je 5538,96 cm2. S = 50,24 dm2 Obsah kruhu je 50,24 dm2.

r = 8,6 m 2. Příklad – výpočet poloměru z obsahu kruhu r2 = S : p Trocha teorie → S = p . r2 r2 = S : p Obsah kruhu je 232 m2. Vypočítejte poloměr tohoto kruhu. r = 8,6 m

3. Příklad - obsah kruhu, známe-li obvod Vypočítejte obsah kruhu, je-li jeho obvod 35mm.   b) Výpočet obsahu S = r2 S = 3,145,572 S = 97,42 mm2 Obsah kruhu je 97,42 mm2.

4. Příklad - Vypočítejte obsah kruhu, který je opsán čtverci o straně a = 5cm.   B C S x A D d 5cm r   Obsah kruhu je 39,35 cm2.

5. Příklad - obsah kruhu Vypočítej obsah kruhové podložky s kruhovým výřezem. Poloměr podložky je 30 mm a výřezu 12 mm. S2 S1 Obsah kruhové podložky je 2375,04 mm2 .

5. Příklad - obsah mezikruží Vypočítej obsah vybarvené části (mezikruží). Obsah mezikruží je 4 219,16 cm2 .

Konec I. části.