Matematika 8.ročník ZŠ Pythagorova věta Creation IP&RK

O B S A H : Úvod - Praktické příklady ze života Princip Pythagorovy věty, definice Řešené příklady na užití Pythagorovy věty Pythagorova věta – vzorce (shrnutí) Obrácená Pythagorova věta (+příklady)) Řešené příklady na užití PV v rovině i prostoru Pythagorejská čísla, Obecná Pythagorova věta Trocha historie Výuková videa

Nejprve několik praktických příkladů ze života ... K vyřešení nám pomůže Pythagorova věta.

Co vlastně budeme řešit ???? využití vět Vše se vlastně točí okolo trojúhelníka, lépe řečeno okolo pravoúhlého trojúhelníka … Co vlastně budeme řešit ???? využití vět Zjišťujeme, je-li daný trojúhelník pravoúhlý Vypočítáme velikost zbývající strany pravoúhlého trojúhelníka

  Co už známe Něco nového Pravoúhlý trojúhelník: dvě jeho strany jsou současně výškami výšky se protínají v jednom jeho vrcholu střed kružnice opsané tomuto trojúhelníku je středem jeho nejdelší strany Něco nového V pravoúhlém trojúhelníku si zavedeme pojmenování jeho stran … (nebo to už známe ??? )  

Pravoúhlý trojúhelník pravý úhel C odvěsna odvěsna a b A B c přepona

Pythagorova věta - odvození Sestroj pravoúhlý trojúhelník Sestroj čtverec nad odvěsnou a nad odvěsnou b nad přeponou c

c2 a2 . b2 Strany v trojúhelníku ABC si označíme a, b, c B c a c b a C

Z toho plyne, že součet a² + b² se rovná c² Čtverec o straně (a + b) můžeme složit dvěma způsoby: ze 4 shodných trojúhelníků a dvou čtverců o délkách stran a, b ze 4 shodných trojúhelníků a jednoho čtverce o straně c a² a a c² b² b b a b b a Z toho plyne, že součet a² + b² se rovná c²

Matematický zápis Pythagorovy věty:

A její slovní definice: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami.

A co takhle jiný „důkaz“ ?

c² = a² + b² c = Výpočet přepony c Příklad: a = 3 cm b = 6 cm c = ? cm

c² = a² + b² a = Výpočet odvěsny a Výpočet: a = Příklad: b = 3 cm a = 6,32 cm Příklad: b = 3 cm c = 7 cm a = ? cm

c² = a² + b² b = Výpočet odvěsny b Výpočet: b = Příklad: b = a = 3 cm c = 6 cm b = ? cm b = 5,2 cm b =

Shrnutí: c² = a² + b² c = a = b =

Obrácená Pythagorova věta Jsou-li a, b, c délky stran trojúhelníku a platí pro ně c² = a² + b², pak je trojúhelník pravoúhlý a c je délka jeho přepony.

Řešené příklady: Rozhodni, zda je trojúhelník se stranami daných délek pravoúhlý: a) 5 cm; 6 cm; 7 cm b) 10 m; 24 m; 26 m

Další příklady: Ověř, zda jsou trojúhelníky pravoúhlé. a) ∆ABC: a = 5 cm, b = 12 cm, c = 13 cm b) ∆EFG: e = 9 m, f = 12 m, g = 15 m c) ∆KLM: k = 8 dm, l = 9 dm, m = 10 dm

c b a Příklad 1: Jak vysoko je opřený žebřík, dlouhý 5 m, je-li pata žebříku vzdálena od kmene stromu 1,5 m? a c b Využijeme upravený vzorec b2 = c2 – a2 , kde: a = 1,5 m c = 5 m b = ? Stačí už jen dosadit a spočítat.  b = 4,8 m Žebřík je opřen ve výšce 4,8 m.

Využití věty v prostoru Využití věty v rovině Např. výpočet: úhlopříčky ve čtverci, obdélníku výšky v trojúhelníku, lichoběžníku tětivy v kruhu Využití věty v prostoru Např. výpočet: tělesové úhlopříčky v kvádru, krychli tělesové výšky v jehlanu, kuželi stěnové výšky v jehlanu strany kužele

c b a Příklad 2: Polem vede cesta, která se v jednom místě stáčí do pravého úhlu. Úseky mají délku 1500 m a 1700 m. O kolik m si jezdec zkrátí cestu, když pojede napříč polem? 1) c2 = 15002 + 17002 c2 = 5140000 c = 2267,2 (m) 2) 1500 + 1700 = 3200 (m) 3) x = 3200 – 2267,2 x = 932,8 (m) Jezdec si zkrátí cestu o 932,8 m. a c b

Vypočítej tělesovou úhlopříčku HB v kvádru ABCDEFGH. Příklad 3: Vypočítej tělesovou úhlopříčku HB v kvádru ABCDEFGH. Rozměry kvádru: IABI = 4 cm, IBCI= 3 cm, IBFI= 12 cm. Postup: H G 1.Vypočítej stěnovou úhlopříčku BD E F 2.Vypočítej tělesovou úhlopříčku BH 12 cm D C 3 cm A B 4 cm

Řešení: = 5² + 12² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 + 144 = 25 = 169 = 5 cm 1.Úhlopříčka BD 2.Úhlopříčka BH = 5² + 12² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 + 144 = 25 = 169 = 5 cm = 13 cm Tělesová úhlopříčka má velikost 13 cm.

Nejdelší lišta může mít délku 2,36 m. Příklad 4: Truhla má tvar kvádru s vnitřními rozměry 2 m, 1 m a 75 cm. Jakou délku může mít nejdelší lišta, která se vejde do truhly? Víko se musí dát zavřít. Kterému rozměru se rovná délka tyče? Tělesové úhlopříčce. Jak budeš postupovat? 1. Vypočítáme stěnovou úhlopříčku dna. 75cm 1m 2. Vypočítáme tělesovou úhlopříčku truhly. 2m Nejdelší lišta může mít délku 2,36 m.

Příklad 5: Brčko dlouhé 14 cm vyčnívá z krabicového džusu 3 cm. Kolik decilitrů džusu je v plné krabičce? Jak budeš postupovat? Vypočítáme stěnovou úhlopříčku podstavy. Vypočítáme výšku krabičky. V krabičce jsou přibližně 2 dl džusu.

Jedná se o trojice přirozených čísel a, b, c, Pythagorejská čísla Jedná se o trojice přirozených čísel a, b, c, která splňují rovnost c2 = a2 + b2. 3 4 5 12 13 7 24 15 8 17 9 40 41 11 60 61 20 99 101

Pro přemýšlivé Lze sestrojit nad stranami trojúhelníka jiné obrazce než čtverce, aby platilo: Obsah obrazce nad přeponou se rovná součtu obsahů obrazců nad odvěsnami?

Odpověď: Věta platí pro jakékoliv podobné útvary (šestiúhelníky, trojúhelníky, půlkruhy, atd.)

Zobecněná Pythagorova věta Obecně platí: Obsah pravidelného n-úhelníka sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů n-úhelníků nad jednotlivými odvěsnami.

Trocha historie nikoho nezabije …

Pythagoreismus Pythagoreismus je filosofická esoterní (tajná, přístupná pouze zasvěcencům) škola a významná tradice západního myšlení, kterou založil kolem roku 530 př.n.l. filosof Pythagoras. Vychází z úvah o významu čísel. Pythagorovi stoupenci a následovníci (pythagorejci, pythagorovci) ovšem původní témata bohatě rozvíjeli, a protože i své vlastní výsledky rádi připisovali svému mistrovi, překryla pythagorejská tradice Pythagoru samého. Z jeho spisů se nezachovalo téměř nic. Škola zanikla ve 4. století př.n.l.

Pythagoras asi 570 - asi 500 př. n. l. řecký matematik, filosof a astronom „otec čísel“ připisuje se mu zavedení pojmu filosofie: když ho žáci nazývali sofos („mudrc“), řekl jim, ať mu raději říkají „milovník moudrosti“ filosof (filein - „milovat“ a sofos - „moudrý“) jeho následovníci si tedy začali říkat filosofové připisuje se mu také výraz kosmos (od kosmeó, zdobit), protože prý ve Vesmíru obdivoval jeho úžasný řád

Pythagorova věta - zajímavost Staří Egypťané a Indové vytyčovali pravý úhel pomocí motouzu. Na motouzu je uvázáno ve stejných vzdálenostech 13 uzlů. Motouz se vypne tak, aby se uzly 1, 4, 8 staly vrcholy trojúhelníku (uzel 13 je upevněný v témže místě jako uzel 1). Platí: 32 + 42 = 52  9 + 16 = 25  trojúhelník je pravoúhlý 4 5 3 6 2 7 8 9 10 11 12 13 = 1

Pythagorova věta - videa Pythagorova věta - výuka 10 řešených příkladů na využití PV 7 výukových videopořadů na téma PV

K O N E C