Limita posloupnosti (1.část) VY_32_INOVACE_ 22-22 Limita posloupnosti (1.část)

Úloha 1 Vypišme několik prvních členů daných posloupností a tyto posloupnosti znázorněme graficky: Sledujme chování členů an v závislosti na rostoucím n.

Řešení úlohy 1 Graf posloupnosti S rostoucí hodnotou n se hodnoty členů an neomezeně blíží k číslu 1. Říkáme, že tato posloupnost má (vlastní) limitu rovnu číslu 1. Píšeme: 0,5 1 an 1,5 2 3 4 5 n 6 7

S rostoucí hodnotou n rostou hodnoty členů an Graf posloupnosti S rostoucí hodnotou n rostou hodnoty členů an nade všechny meze (do nekonečna). Říkáme, že tato posloupnost má nevlastní limitu. Poznámka: Limita této posloupnosti je nekonečno. Píšeme: ( je tzv. nevlastní číslo.) 2 1 an n 3 4 6 8

posloupnost nemá limitu (ani vlastní, ani nevlastní). Graf posloupnosti Hodnoty členů této posloupnosti se neblíží k žádnému (stejnému) reálnému číslu. Říkáme, že tato posloupnost nemá limitu (ani vlastní, ani nevlastní). 1 2 3 4 5 n -1 an

Budeme označovat D . Shrnutí poznatků z úlohy 1 konvergentní. Posloupnosti, které mají vlastní limitu, se nazývají konvergentní. Příkladem je posloupnost a). Budeme označovat K . Posloupnosti, které nejsou konvergentní, jsou divergentní. Patří sem posloupnosti, která mají nevlastní limitu, tj. (viz příklad b), posloupnosti, které nemají limitu (viz příklad c). Budeme označovat D .

Definice limity posloupnosti Reálné číslo a je limitou posloupnosti , právě když ke každému reálnému číslu existuje takové , že pro všechna přirozená čísla platí . Grafická interpretace: Ať zvolíme jakkoliv malý poloměr ε vyznačeného pásu, vždy lze najít takové (na obr. n0 = 3), že pro všechna leží obrazy členů an uvnitř pásu o hranicích a – ε , a + ε . a an a + ε 1 2 3 4 5 n 6 7 a – ε

Úloha 2 Je dána posloupnost Dokažme, že tato posloupnost je konvergentní a její limita je rovna 0. Pro najděme příslušné přirozené číslo n0 .

Řešení úlohy 2 Jedná se o tzv. harmonickou posloupnost Důkaz: 1 2 3 4 5 n 0,5 an 0,25 Důkaz: Tzn., že všechny členy an pro leží uvnitř pásu o poloměru .

Věty o limitách posloupností Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Každá konvergentní posloupnost je omezená. Jsou-li posloupnosti konvergentní, pak platí: Poznámka: , kde e je Eulerovo číslo (e  2,7).

Úloha 3 Rozhodněme o konvergenci a divergenci daných posloupností

Řešení úlohy 3 K D D

Autor DUM: RNDr. Ivana Janů Autor příkladů a grafů: RNDr. Ivana Janů Děkuji za pozornost. Autor DUM: RNDr. Ivana Janů Autor příkladů a grafů: RNDr. Ivana Janů