3. ŠTĚPNÁ ŘETĚZOVÁ REAKCE Úvod 3.1. Štěpení jader 3.1.1. Štěpné produkty 3.1.2. Energie štěpení 3.1.3. Okamžité a zpožděné neutrony 3.2. Neutronová bilance ve štěpné řetězové reakci s tepelnými neutrony 3.3. Koeficient násobení v nekonečné soustavě 3.4. Efektivní koeficient násobení 3.5. Kritická podmínka jaderného reaktoru 3.6. Časový průběh štěpné řetězové reakce 3.7. Řízení štěpné řetězové reakce 3.8. Vliv zpožděných neutronů

Úvod Jedním z nejdůležitějších jaderných procesů z hlediska teorie štěpných jaderných reaktorů je štěpení jader při tzv. štěpné řetězové reakci. Důležitost štěpné reakce spočívá ve dvou skutečnostech: při štěpení se uvolňuje poměrně značné množství energie, vznikají vedle štěpných produktů také neutrony. Vhodným uspořádáním soustavy lze dosáhnout toho, aby se proces samočinně udržoval a aby se plynule uvolňovala energie. Dříve, než začneme podrobněji rozebírat jednotlivé procesy při štěpné řetězové reakci, věnujme pozornost některým otázkám, které se týkají samotného štěpení jader.

3.1. Štěpení jader Proces štěpení spočívá v rozdělení jádra, např. 235U, na dva nebo více odštěpků s hmotnostmi i atomovými čísly podstatně menšími než u výchozího jádra. Pohlcením neutronu vzniká složené jádro, které může emitovat gama paprsky bez štěpení. K vytvoření poměrně stabilního izotopu 236U, který má poločas rozpadu 2,4. 107 let, přispívá 16% z celkového počtu zachycených neutronů a ostatní 84% pohlcených neutronů vyvolává štěpení. Typickým příkladem štěpení je rozpad podle schématu: Produkty štěpení (odštěpky) mají dvě důležité vlastnosti: jsou radioaktivní, mají kinetickou energii.

Obr. 3.1-a Štěpení jader

3.1.1. Štěpné produkty Štěpné produkty mají příliš vysoký poměr počtu neutronů k počtu protonů a jsou proto nestabilní. téměř všechny odštěpky jsou radioaktivní a emitují záporné částice beta s doprovodným gama zářením. Radioaktivní bývají i přímé produkty rozpadu odštěpků. Délka rozpadových řad bývá různá, v průměru odštěpek prochází třemi rozpadovými fázemi, než se utvoří stabilní jádro. zajímavá je rozpadová řada 140Xe, protože je velmi častá a také proto, že obsahuje prvky baryum a lanthan, které umožnily objev uranu. Schéma této rozpadové řady je následující:

Obr. 3. 1-b. Výtěžek produktů štěpení v závislosti na hmotnostním Obr.3.1-b Výtěžek produktů štěpení v závislosti na hmotnostním čísle pro 235U, 238U a 239Pu.

3.1.2. Energie štěpení Celková energie uvolňující se při štěpení jednoho jádra 235U činí asi 200 MeV (viz tab.3.1 na dalším snímku). Hodnotu energie štěpení můžeme vypočítat několika způsoby, např.: použitím hmotností štěpitelných izotopů a produktů štěpení, použitím vazebních energií jednotlivých komponent při štěpení. Nyní provedeme přibližné stanovení energie uvolněné při štěpení jádra 235U, které lze vyjádřit schématem:

Tab.3.1 Rozdělení energie uvolněné při štěpení 235U. Forma uvolněné energie  [MeV] 1 2 3 4 Kinetická energie štěpných produktů 162 167 165±15 167±5 Okamžité gama záření 6 7 5 6±1 Kinetická energie štěpných neutronů Záření při rozpadu štěpných produktů Gama záření Beta záření 8±2 Neutrino 11 12±2 Celková energie uvolněná při štěpení jednoho jádra 235U 195 201 197±15 204±11 1 - Glasstone-Edlund, 2 - Murray (doporučené hodnoty), 3 - Meghreblian, 4 - Weinberg-Wigner.

Označme symboly: EVS, EV1, EV2 - vazební energie připadající na jeden nukleon postupně pro štěpitelný izotop (složené jádro), první a druhý odštěpek, AS, A1 a A2 - hmotnostní čísla těchto komponent štěpení. Pak můžeme energii štěpení vyjádřit pomocí následujícího vztahu: kde jsme využili toho, že As = A1 + A2. Pro náš případ je: AS = 236 a EVS = 7,5 MeV, A1 = 142, A2 = 94, EV1 = 8,3 MeV, EV2 = 8,6 MeV. Po dosazení obdržíme přibližnou hodnotu energie štěpení jednoho jádra 235U Skutečně uvolněná energie při štěpení v jaderném reaktoru je statistickým průměrem asi 30 různých druhů štěpení.

3.1.3. Okamžité a zpožděné neutrony Štěpné produkty jsou nestabilní, protože mají nadbytek neutronů. Do stabilního stavu se mohou dostat vysláním jednoho nebo více neutronů, nebo konverzí neutronů v proton a vysláním záporné beta částice. Téměř 99% z celkového počtu neutronů vznikajících při štěpení uvolňují ve velmi krátkém časovém intervalu, asi 10-14 s po štěpení se nazývají okamžité neutrony. Jejich energie je v rozmezí od více než 10 MeV až do energie tepelné (0,0253 eV). Energetické spektrum  okamžitých neutronů lze popsat tímto empirickým vztahem kde je počet štěpných neutronů v jednotkovém intervalu energie.

Distribuční funkce je sestavena z experimentálních údajů až do energie 13 MeV s maximální odchylkou 15%. Funkce je normována na jeden neutron, tj. integrál =1, takže konstanta . Pravděpodobnost, že štěpný neutron bude mít energii v intervalu od E do E+dE je pak Střední hodnota energie neutronů štěpení je a jejich průměrná rychlost je 1,96.107 m/s.

Tab. 3.2 Charakteristické vlastnosti zpožděných neutronů Izotop Číslo skupiny Poločas rozpadu Ti [s] Rozpadová konstanta li [s-1] Relativní výtěžek bi/b Celkový podíl b Průměrná doba zpoždění lz [s] 235U 1 2 3 4 5 6 54,51 21,84 6,00 2,23 0,496 0,179 0,0127 0,0317 0,115 0,311 1,40 3,87 0,038 0,213 0,188 0,407 0,128 0,026 0,0065 0,0829 238U 52,38 21,58 5,00 1,93 0,490 0,172 0,0132 0,0321 0,139 0,358 1,41 4,02 0,013 0,137 0,162 0,388 0,225 0,075 0,0157 0,1203 233U 55,11 20,74 5,30 2,29 0,546 0,221 0,0126 0,0334 0,131 0,302 1,27 3,13 0,086 0,274 0,227 0,317 0,073 0,023 0,0026 0,0465 239Pu 53,75 22,29 5,19 2,09 0,549 0,216 0,0129 0,0311 0,134 0,331 1,26 3,21 0,280 0,328 0,103 0,035 0,0021 0,0306 232Th 56,03 20,75 5,74 2,16 0,571 0,211 0,0124 0,121 0,321 1,21 3,29 0,034 0,150 0,155 0,446 0,043 0,022 0,22

Obr.3.2 Závislost v na energii opadajícího neutronu pro 235U Počet neutronů uvolněných při štěpení roven nule nebo celému číslu a je tedy statistickou veličinou. Průměrný počet neutronů připadající na jedno štěpení, který se obvykle označuje symbolem v, není celé číslo.

Na obr.3.2 je znázorněn průběh veličiny v pro 235U, který byl získán proložením přímky experimentálně stanovenými hodnotami metodou nejmenších čtverců. Veličina v je závislá na terčovém jádru a zvětšuje se zvyšováním energie dopadajícího neutronu. Tato závislost je zřejmá z tab.3.3, kde jsou shrnuty výsledky některých experimentů, které se týkají štěpení 235U, 238U a 239Pu. Hodnoty v označené hvězdičkou znamenají údaje pro danou energii získané z jiného pramene.

Tab. 3. 3. Průměrný počet neutronů na jedno štěpení pro 235U, 238U a Tab. 3.3 Průměrný počet neutronů na jedno štěpení pro 235U, 238U a 239Pu v závislosti na energii dopadajícího neutronu Izotop 235U 0,0 2,43 ± 0,02 238U 1,50 2,60 ± 0,09 0,7 2,48 ± 0,10 2,30 2,67 ± 0,08 1,0 2,791 ± 0,35 4,0 3,05 ± 0,10 1,25 2,604 ± 0,09 4,25 3,04 ± 0,40 1,5 2,605 ± 0,09 3,75 2,96 ± 0,10 1,90 2,99 ± 0,55 14,0 3,43 ± 0,15 2,0 2,80 ± 0,15 14,1 4,05 ± 0,25 2,50 2,64 ± 0,19 14,2 4,36 ± 0,35 4,00 3,05 ± 0,35 4,46 ± 0,15 * 2,95 ± 0,12 * 3,07 ± 0,31 239Pu 2,89 ± 0,03 4,5 3,19 ± 0,31 2,1 3,12 ± 0,15 4,8 3,14 ± 0,08 3,36 ± 0,11 5,0 3,175 ± 0,35 3,59 ± 0,40 4,43 ± 0,32 4,12 ± 0,15 4,05 ± 0,24 * 4,41 ± 0,32 * 14,8 4,7 ± 0,50 4,65 ± 0,40 15,0 4,419 ± 0,19 4,61 ± 0,20

Tab.3.4 Hodnoty veličin vtep a dv/dE pro štěpitelné materiály Energetickou závislost středního počtu neutronů uvolněných při jednom štěpení pro různé štěpitelné izotopy lze vyjádřit vztahem kde vtep je střední počet neutronů uvolněných při jednom štěpení vyvolaném tepelnými neutrony. Tab.3.4 Hodnoty veličin vtep a dv/dE pro štěpitelné materiály Izotop vtep dv/dE [MeV -1] 233U 2,500 0,115 235U 2,43 0,13346 238U 2,409 0,1385 239Pu 2,868 0,1106 232Th 2,047 0,153

3.2. Neutronová bilance ve štěpné řetězové reakci s tepelnými neutrony V současné době se používá jako paliva tepelných jaderných reaktorů 235U, 233U a 239Pu, protože jsou štěpitelné převážně tepelnými neutrony. První z těchto izotopů se nachází v přírodním uranu spolu s 238U. 239Pu a 233U jsou izotopy, které se v přírodě nevyskytují, ale dají se vyrobit jadernou reakcí (n,γ) z 238U a 232Th. Izotopy 238U a 232Th jsou štěpitelné převážně rychlými neutrony s En > 1 MeV. Izotopické složení přírodního uranu: Izotop Složení [%] 234U 0,006 235U 0,712 238U 99,282

3.3. Koeficient násobení v nekonečné soustavě Aby se štěpná řetězová reakce udržela, musí vzniknout na každý zachycený tepelný neutron vyvolávající štěpení alespoň jeden nový neutron, který způsobí štěpení dalšího jádra. Tato podmínka se dá vyjádřit pomocí veličiny, kterou nazýváme koeficient násobení (koeficient rozmnožení nebo též multiplikační koeficient). Je definován jako poměr počtu neutronů určité generace ni k počtu neutronů předcházející generace ni-1. Veličina k se rovná počtu neutronů, který získáme na konci doby života jedné generace na každý neutron, který existuje na začátku. Za jednu generaci je možné získat k ‑ 1 neutronů.

Podle hodnoty koeficientu násobení rozeznáváme tři případy: k < 1 ‑ soustava podkritická, počet neutronů v řetězové reakci klesá, reakce se nemůže sama udržet; k = 1 ‑ soustava kritická, počet neutronů v reakci je ustálený, reakce se udržuje samočinně; k > 1 ‑ soustava nadkritická, reakce je divergentní, počet neutronů lavinovitě roste.

Blokové schéma jedné generace neutronů

Význam jednotlivých bloků: 1 ‑ tepelné neutrony absorbované v palivu, 2 ‑ tepelné neutrony absorbované v palivu neštěpně, 3 ‑ tepelné neutrony absorbované v palivu a vyvolávající štěpení, 4 ‑ štěpení tepelnými neutrony, 5 ‑ rychlé neutrony uvolňované při štěpení tepelnými neutrony, 6 ‑ štěpení rychlými neutrony, 7 - rychlé neutrony uvolněné při štěpení tepelnými a rychlými neutrony, 8 ‑ neutrony, které unikly ze soustavy před dosažením rezonanční oblasti, 9 ‑ neutrony zpomalené do rezonanční oblasti, 10 - neutrony absorbované v rezonanční oblasti, 11 ‑ neutrony, které unikly rezonančnímu záchytu, 12 ‑ neutrony, které unikly  ze soustavy mezi rezonanční a tepelnou oblastí, 13 ‑ neutrony zpomalené na tepelné energie, 14 ‑ neutrony, které unikly ze soustavy během difúze, 15 ‑ tepelné neutrony absorbované v soustavě, 16 ‑ tepelné neutrony absorbované parazitně v jiných materiálech než je jaderné palivo.

Procesy ve štěpné řetězové reakci : 1. Štěpení tepelnými neutrony 2. Štěpení rychlými neutrony 3. Zpomalování rychlých neutronů 4. Rezonanční absorpce 5. Difúze neutronů 6. Absorpce tepelných neutronů

1. Štěpení tepelnými neutrony pf je pravděpodobnost, že dojde k štěpnému záchytu tepelných neutronů v palivu, určená vztahem Σf ‑ makroskopický účinný průřez pro štěpení tepelných neutronů v palivu,   Σa ‑ makroskopický účinný průřez pro absorpci tepelných neutronů v palivu. 

Regenerační faktor η Je střední počet rychlých neutronů uvolněný při štěpení zachycením jednoho tepelného neutronu ve štěpné látce. Můžeme ho vyjádřit vztahem Izotop sf.1028 [m2] 1/pf – 1 n h 233U 527,5 ± 2,4 0,092±0,003 2,48 ± 0,03 2,262 ± 0,024 235U 582,2 ± 2,2 0,171±0,003 2,43 ± 0,02 2,067 ± 0,005 239Pu 748,2 ± 4,9 0,377 ±0,11 2,87 ± 0,04 2,048 ± 0,027

2. Štěpení rychlými neutrony Při heterogenním uspořádání paliva a moderátoru některé rychlé neutrony s energií nad prahem štěpení 238U (~1 MeV), dříve než se zpomalí na tepelnou energii, mohou způsobit štěpení 238U. Tím dochází ke zvýšení celkového počtu rychlých neutronů. Koeficient násobení rychlými neutrony Je definován jako poměr úhrnného počtu rychlých neutronů vznikajících při štěpení neutrony všech energií (blok č.7) k počtu rychlých neutronů vznikajících při štěpení tepelnými neutrony (blok č.5). Hodnota tohoto koeficientu není velká, pro heterogenní grafitový nebo těžkovodní reaktor s přírodním uranem je ε ~ 1,03, pro lehkovodní reaktor s obohaceným palivem je ε ~ 1,15.

3. Zpomalování rychlých neutronů Zpomalování rychlých neutronů je dalším procesem, ke kterému dochází v soustavě palivo ‑ moderátor, tj. v tepelném reaktoru. Postupnými srážkami s jádry moderátoru se snižuje energie neutronů až na tepelnou. Během tohoto procesu dochází k rezonanční absorpci na jádrech 238U (blok č.10) a v konečné soustavě i k úniku zpomalovaných neutronů (blok č.8 a 12).

4. Rezonanční absorpce Když se neutrony dostanou při zpomalování do rezonanční oblasti 238U, ve které má účinný průřez pro absorpci velký počet rezonančních píků, je velká pravděpodobnost, že některé neutrony budou zachyceny. Podíl neutronů, které unikly rezonančnímu záchytu se vyjadřuje veličinou nazývanou pravděpodobnost úniku rezonančnímu záchytu a označuje se symbolem p. Potom počet neutronů, které se dostaly při zpomalování do oblasti označené blokem č.11, se dají vyjádřit součinem n.h.e.p.

5. Difúze neutronů Bude‑li možno systém považovat za nekonečně veliký, dostane se tento počet neutronů do oblasti tepelných energií. Potom budou neutrony v prostředí difundovat tak dlouho, dokud nebudou absorbovány (blok č.1 a 16).

6. Absorpce tepelných neutronů a) v palivu (blok č.1), b) v ostatních materiálech jako jsou moderátor, chladivo, konstrukční materiály (blok č.16). Koeficient využití tepelných neutronů. Je definován jako poměr počtu tepelných neutronů pohlcených v palivu k celkovému počtu pohlcených tepelných neutronů Na základě definice koeficientu násobení lze vyjádřit koeficient násobení v nekonečné soustavě vzorcem čtyř součinitelů

3.4. Efektivní koeficient násobení P  = P1 P2 ‑ celková pravděpodobnost, že neutrony neuniknou ze soustavy, P1 ‑ pravděpodobnost, že neutrony neuniknou ze soustavy během zpomalování, P2 ‑ pravděpodobnost, že neutrony neuniknou ze systému během difúze. 

3.5. Kritická podmínka jaderného reaktoru Rozměry reaktorové soustavy budou takové, že se štěpná řetězová reakce udrží samočinně, reaktor je kritický. Vztah je tedy podmínkou kritičnosti tepelného jaderného reaktoru. Stav reaktoru odpovídající této podmínce se nazývá stacionární.

3.6. Časový průběh štěpné řetězové reakce Přebytek koeficientu násobení je relativní přírůstek počtu neutronů, který způsobil jeden neutron za jednu generaci, Celkový přírůstek neutronů za jednu generaci bude nΔkef. Když l bude střední doba života neutronu, pak rychlost změny počtu neutronů v systému můžeme vyjádřit rovnicí a počet neutronů v čase t vztahem Protože platí Ф ~ n, bude se proto i hustota toku neutronů v soustavě měnit s časem podle stejného zákona,

Obr. 3. 4. Časová závislost hustoty toku neutronů v konečné Obr.3.4 Časová závislost hustoty toku neutronů v konečné násobící soustavě

Má-li soustava objem V, Ef je energie uvolněná při jednom štěpení a Σf je makroskopický účinný průřez pro štěpení paliva, bude pro Σf = konst. výkon uvolněný v tomto objemu v čase t dán vztahem kde je střední hodnota hustoty toku neutronů v soustavě v čase t. Z výše uvedeného vztahu je zřejmé, že výkon uvolňovaný v násobící soustavě je úměrný hustotě toku neutronů, takže pro jeho časový průběh bude platit vztah kde Po je výkon uvolňovaný ve stacionárním stavu.

3.8. Vliv zpožděných neutronů Nechť: ti - je průměrná doba života štěpného produktu, který vysílá zpožděné neutrony i‑té skupiny, βi - část z celkového počtu zpožděných neutronů, které se uvolňují při štěpení a patří do i‑té skupiny, βi ti - je průměrná doba zpoždění neutronů této skupiny. Průměrná doba zpoždění všech zpožděných neutronů je dána vztahem kde ai = βi /β , λi [s-1] je rozpadová konstanta a index i probíhá přes všechny skupiny.

Dále platí Zanedbáme-li doby zpomalení, obdržíme pro průměrnou dobu života jedné generace tento vztah Průměrná doba zpoždění pro 235U je 0,0829 s (viz tab.3.2), tj. přibližně 0,1 s. Protože průměrná doba života tepelného neutronu může nabývat hodnoty 10-3 s, lze tuto veličinu zanedbat proti době zpoždění, takže l se blíží hodnotě 0,1 s. Vzrůst hustoty toku neutronů je proto nyní určován výrazem Δkef / l. Aby se hustota toku zvýšila e‑krát při přebytku koeficientu násobení Δkef = 0,01, je s uvažováním zpožděných neutronů potřebná doba 10 sekund. Zpožděné neutrony tedy způsobují podstatné snížení rychlosti vzrůstu hustoty toku neutronů proti rychlosti, jaká by byla při okamžitém uvolňování neutronů.