Les, stromy a kostry Kružnice: sled, který začíná a končí ve stejném vrcholu, ostatní vrcholy jsou různé Souvislý graf: mezi každými dvěma vrcholy existuje alespoň jedna cesta Podgraf grafu (V,E) je graf V‘, E’, kde V’je podmnožina V, E’ je podmnožina E a E’spojuje pouze vrcholy z V‘

Les Graf bez kružnic

Strom Souvislý graf bez kružnic

Alternativní definice stromu Graf bez kružnic a počet hran = počet vrcholů – 1 Souvislý graf a počet hran = počet vrcholů – 1 Mezi každými dvěma vrcholy existuje právě jedna cesta Graf je souvislý a po odstranění libovolné hrany přestane být souvislý –Graf je bez kružnic a po přidání libovolné hrany vznikne kružnice.

Kostra grafu G Podgraf Je to strom

Příklad kostry Toto je graf

Toto je jeho kostra

Toto je jiná kostra Toto je graf

Kolik má prasátko koster? Musím vynechat 2 hrany Buď jednu ze dvou na čumáčku a pak jednu ze 4 na těle, tj. 8 možností Nebo krk a jednu z 5ti na zbývající kružnici, 5 možností Celkem 13koster

Existují grafy, které nemají kostru?

Kolik koster má strom?

Kolik koster má kružnice C n ?

C n má n koster

Kolik koster má úplný graf K n ?

K n má n n-2 koster

Minimální kostra Jsou-li hrany ohodnoceny aditivní veličinou, lze mluvit o délce (ceně) kostry a o minimální kostře.

Borůvkův algorimus pro hledání minimální kostry Seřaď hrany do posloupnosti podle vzrůstající délky. Postupně probírej hrany a pokud neuzavírají kružnici, zařaď je do kostry. Pokračuj, dokud není v kostře n-1 hran. Uzavření kružnice je možné testovat z obrázku, nebo pomocí číslování vznikých komponent.

Příklad na použití Borůvkova algoritmu ABCDEFGHI A B C D E F G H I

Ke každému vrcholu napíšu označení prvního vrcholu v jeho komponentě ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BB CC DD EE FF GG HH II

Hranu G-H zařadím do kostry ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BB CC DD EE FF GG HG II

Hranu A-F zařadím do kostry ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BB CC DD EE FA GG HG II

Hranu G-I zařadím do kostry ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BB CC DD EE FA GG HG IG

Hranu A-B zařadím do kostry ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BA CC DD EE FA GG HG IG

Hranu D-F zařadím do kostry ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BA CC DA EE FA GG HG IG

Hranu D-I zařadím do kostry ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BA CC DA EE FA GA HA IA

Hranu A-C zařadím do kostry ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BA CA DA EE FA GA HA IA

Hranu B-F nezařadím do kostry, neboť by se uzavřela kružnice ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BA CA DA EE FA GA HA IA

Hranu C-D nezařadím do kostry ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BA CA DA EE FA GA HA IA

Hranu D-E zařadím do kostry, v kostře je 8 hran, je hotová, její cena je 46 ABCDEFGHI A B C D E F G H I AA BA CA DA EA FA GA HA IA