Algebraické rovnice vyšších řádů 2. část Autor: Jana Buršová

V této části budou řešeny algebraické rovnice vyšších řádků s využitím Hornerova schematu pro rozklad polynomu na levé straně rovnice. Hornerovo schema

Hornerovo schema – 1. př. 𝒙 𝟑 +𝟓 𝒙 𝟐 +𝟐𝒙−𝟖=𝟎 Sestavíme tabulku, jejímž záhlavím jsou koeficienty členů polynomu uspořádaného sestupně: 1 5 2 -8 Podle dělitelů absolutního členu „zkoušíme“ kořeny polynomu. 1x1+5=6, 1x6+2=8, 1x8-8=0, vyjde-li v posledním sloupci nula, je „zkoušený“ dělitel 1 kořenem polynomu. Ve druhém řádku jsou od 2. sloupce koeficienty polynomu 2. stupně, tj. 𝑥 2 +6𝑥+8=0 Polynom na levé straně rovnice tedy rozložíme na: 𝑥−1 𝑥 2 +6𝑥+8 =0 Kořeny rovnice jsou: 𝒙 𝟏 =𝟏; 𝒙 𝟐,𝟑 =−𝟐;−𝟒 1 5 2 -8 6 8 Hornerovo schema – 1. př.

Hornerovo schema – 2.př. 𝑥 4 −10 𝑥 3 +37 𝑥 2 −60𝑥+36=0 Použitím Hornerova schematu zjistíme, že dělitelé 36: 1,-1,2,-2 nejsou kořeny daného polynomu 3 je dvojnásobným kořenem polynomu, vzniklé koeficienty patří polynomu: 𝑥 2 −4𝑥+4 Rozklad levé strany rovnice je: (𝑥−3) 2 ( 𝑥 2 −4𝑥+4)=0; (𝑥−3) 2 (𝑥−2) 2 =0 Kořeny rovnice jsou: 𝑥 1,2 =3; 𝑥 3,4 =2 1 -10 37 -60 36 3 -7 16 -12 -4 4 Hornerovo schema – 2.př.

Hornerovo schema – 3.př. 𝑥 5 −11 𝑥 4 +47 𝑥 3 −99 𝑥 2 +108𝑥−54=0 Použitím Hornerova schematu zjistíme, že 1,-1,2,-2 nejsou kořeny daného polynomu. U dalšího dělitele 54 – čísla 3 zjistíme, že je trojnásobným kořenem: Koeficienty na posledním řádku patří polynomu: 𝑥 2 −2𝑥+2 Rozklad levé strany je tedy: 𝑥−3 2 𝑥 2 −2𝑥+2 =0 Kořeny rovnice jsou: 𝑥 1,2,3 =3; 𝑥 4,5 =1±𝑖 1 -11 47 -99 108 -54 3 -8 23 -30 18 -5 8 -6 -2 2 Hornerovo schema – 3.př.

Hornerovo schema – příklady k procvičení – 4. 𝑥 5 −8 𝑥 3 − 𝑥 2 +12𝑥−4=0 Pozor: chybějící člen s 𝑥 4 má v záhlaví Hornerova schematu koeficient 0. Rozklad polynomu: 𝑥+2 2 (𝑥−3)( 𝑥 2 +3) Výsledek: 𝑥 1,2 =−2; 𝑥 3 =3; 𝑥 4.5 =±𝑖 3 Hornerovo schema – příklady k procvičení – 4.

Hornerovo schema – příklady k procvičení – 5. 𝑥 7 −2 𝑥 6 −4 𝑥 5 +6 𝑥 4 +7 𝑥 3 −4 𝑥 2 −4𝑥=0 𝑥( 𝑥 6 −2 𝑥 5 −4 𝑥 4 +6 𝑥 3 +7 𝑥 2 −4𝑥−4=0 Rozklad polynomu: 𝑥 𝑥+1 3 𝑥−1 𝑥−2 2 Výsledek: 𝑥 1 =0; 𝑥 2,3,4 =−1; 𝑥 5 =1; 𝑥 6,7 =2 Hornerovo schema – příklady k procvičení – 5.

Hornerovo schema – příklady k procvičení – 6. 𝑥 5 +2 𝑥 4 −11 𝑥 3 − 15𝑥 2 +18𝑥−27=0 Rozklad polynomu: (𝑥−3) 𝑥+3 2 𝑥 2 −𝑥+1 Výsledek: 𝑥 1 =3; 𝑥 2,3 =−3; 𝑥 4,5 = 1±𝑖 3 2 Hornerovo schema – příklady k procvičení – 6.