Stereometrie Odchylky přímek VY_32_INOVACE_M3r0114 Mgr. Jakub Němec

Odchylka dvou přímek v prostoru Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez toho, abychom uměli určit kolmost přímky a roviny. V této lekci se naučíme určovat odchylku dvou přímek v prostoru. K tomu potřebujeme znát dvě důležitá pravidla: Odchylkou dvou různoběžných přímek rozumíme velikost každého ostrého nebo pravého úhlu, které spolu přímky svírají. Odchylka dvou rovnoběžných přímek je 0°. Odchylkou dvou mimoběžných přímek rozumíme odchylku dvou různoběžných přímek vedených libovolným bodem prostoru rovnoběžnými s danými mimoběžkami. Při řešení příkladu je základem nalézt rovinu (dvě různoběžné přímky určují rovinu), v níž budeme schopni odchylku přímek určit a díky tomu vypočítat.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 6 cm urči odchylku přímek AC a BC.

Přímky AC a BC leží v jedné rovině a jsou různoběžné. Protínají se v bodě C, a proto je naše hledaná odchylka úhel 𝛼= ∢𝐴𝐶𝐵 . Z vlastností čtverce (stěna krychle) lze snadno odvodit, že úhel 𝛼=45°. Tento úhel lze také snadno spočítat díky goniometrickým funkcím.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm urči odchylku přímek BE a CE.

Přímky BE a CE jednoznačně určují rovinu, která určuje řez krychle BCHE.

Z vlastností krychle (popř Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana krychle a strana BE je úhlopříčka stěny krychle.

Přímky BE a CE se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel 𝛼= ∢𝐵𝐸𝐶 . Trojúhelník BCE je pravoúhlý, proto při výpočtu můžeme užít Pythagorovy věty a goniometrické funkce.

𝐵𝐸 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐸 2 𝑢 2 = 𝑎 2 + 𝑎 2 𝑢=𝑎 2 𝑢=𝟖 𝟐 𝒄𝒎 tan 𝛼= 𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐵𝐸 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐸 2 Strana BE je úhlopříčka ve stěně krychle, její výpočet by již neměl činit problém. Vzhledem k vlastnostem pravoúhlého trojúhelníku nám stačí znát dvě strany (BE, BC) k výpočtu úhlu. 𝑢 2 = 𝑎 2 + 𝑎 2 𝑢=𝑎 2 𝑢=𝟖 𝟐 𝒄𝒎 tan 𝛼= 𝐵𝐶 𝐵𝐸 tan 𝛼= 𝑎 𝑢 tan 𝛼= 8 8 2 = 1 2 = 2 2 𝛼≐𝟑𝟓°

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 3 cm urči odchylku přímek BG a CH.

Přímky BG a CH neleží v jedné rovině a nemají tak společný bod – jsou mimoběžné. Naším prvním úkolem je tedy najít rovnoběžku jedné z přímek tak, aby se protnula s druhou přímkou. Na obrázku je nalezena přímka BE, která protíná přímku BG a zároveň je rovnoběžná s přímkou CH. Samozřejmě by šlo hledat rovnoběžku k přímce BG, která by měla průsečík s přímkou CH – byla by to přímka AH.

Přímky BE a BG nám jednoznačně určují rovinu a tím také řez krychle BEG.

Z vlastností krychle vyplývá, že strany trojúhelníku jsou úhlopříčky stěn krychle, a proto víme, že trojúhelník BEG je rovnostranný.

Díky skutečnosti, že nalezený řez je rovnostranný trojúhelník, víme, že každý vnitřní úhel trojúhelníku je 60°, tedy i úhlu 𝛼= ∢𝐸𝐵𝐺 , který je odchylkou přímek BE a G. Příklad je vyřešen.

V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 12 cm urči odchylku přímek AT a SH, kde body S a T jsou po řadě středy hran BC a EH.

Přímky AT a SH jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku SG, která je rovnoběžná s přímkou AT a má společný bod s přímkou SH.

Přímky SH a SG nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.

Z vlastností krychle (popř Z vlastností krychle (popř. z vlastností hranolu v obecných případech) vyplývá, že řez VSGH je obdélník, kde strana VS (popř. GH) má rozměr stejný jako hrana krychle. Stranu SG je třeba vypočítat.

Přímky SG a SH se protínají v bodě S, a proto je naše hledaná odchylka úhel 𝛼= ∢𝐺𝑆𝐻 . Trojúhelník SGH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce.

Před výpočtem odchylky 𝛼 je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku SGH. Strana SG = y leží v boční stěně, kde bod S leží uprostřed hrany BC, tedy i uprostřed strany čtverce. K výpočtu velikosti úsečky |SG| využijeme Pythagorovy věty.

𝑆𝐺 2 = 𝑆𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 𝑦 2 = 𝑎 2 2 + 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 4 + 𝑎 2 𝑦 2 = 5𝑎 2 4 Výpočet úsečky |SG| je zde určen obecně a na závěr byl dosazen rozměr velikosti hrany krychle. 𝑆𝐺 2 = 𝑆𝐶 2 + 𝐶𝐺 2 𝑦 2 = 𝑎 2 2 + 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 4 + 𝑎 2 𝑦 2 = 5𝑎 2 4 𝑦= 𝑎 5 2 𝑦= 12 5 2 =𝟔 𝟓 cm

tan 𝛼= |𝐺𝐻| |𝑆𝐺| tan 𝛼 = 𝑎 𝑦 tan 𝛼= 12 6 5 = 2 5 = 2 5 5 𝛼≐𝟒𝟐° Nyní známe velikost úsečky |SG| a můžeme vypočítat úhel 𝛼 pomocí goniometrických funkce tangens. Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal i rozměr úsečky |SH| a využili tak i jiných goniometrických funkcí. tan 𝛼= |𝐺𝐻| |𝑆𝐺| tan 𝛼 = 𝑎 𝑦 tan 𝛼= 12 6 5 = 2 5 = 2 5 5 𝛼≐𝟒𝟐°

V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 8 cm, |BC|= 3 cm a |AE|= 6 cm urči odchylku přímek AD a CE.

Přímky AD a CE jsou mimoběžné, a proto musíme najít rovnoběžku jedné z nich tak, aby měla společný bod s druhou přímkou. Díky vlastnostem krychle jsme mohli najít přímku EH, která je rovnoběžná s přímkou AD a má společný bod s přímkou CE. Také je možné najít rovnoběžnou přímku BC, která má stejnou vlastnost.

Přímky EH a CE nám jednoznačně určují rovinu a tedy i řez krychle.

Z vlastností hranolu vyplývá, že řez BCHE je obdélník, kde strana BC je hrana kvádru. Stranu EB je třeba vypočítat.

Přímky CE a EH se protínají v bodě E, a proto je naše hledaná odchylka úhel 𝛼= ∢𝐶𝐸𝐻 . Trojúhelník CEH je pravoúhlý, proto můžeme při určování úhlu využít goniometrické funkce. Z obrázku je patrné, že úhel ∢𝐸𝐶𝐵 musí mít stejnou velikost, což vyplývá z vlastností pro úhly dvou rovnoběžek a jedné různoběžky (střídavé úhly).

Před výpočtem odchylky 𝛼 je ovšem nutné zjistit velikost ještě alespoň jedné strany v trojúhelníku CEH. K výpočtu velikosti úsečky |CH| využijeme Pythagorovy věty.

𝐶𝐻 2 = 𝐷𝐻 2 + 𝐶𝐷 2 𝑢 2 = 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑢 2 = 6 2 + 8 2 𝑢 2 =36+64 𝑢 2 =100 Výpočet úsečky |CH| je uveden zde. 𝐶𝐻 2 = 𝐷𝐻 2 + 𝐶𝐷 2 𝑢 2 = 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑢 2 = 6 2 + 8 2 𝑢 2 =36+64 𝑢 2 =100 𝑢= 100 𝑢=𝟏𝟎 𝒄𝒎

tan 𝛼= |𝐶𝐻| |𝐸𝐻| tan 𝛼 = 𝑢 𝑏 tan 𝛼= 10 3 𝛼≐𝟕𝟑° Nyní známe velikost úsečky |CH| a můžeme vypočítat úhel 𝛼 pomocí goniometrických funkce tangens. Nic však řešiteli nebrání v tom, aby si vypočítal rozměr tělesové úhlopříčky t =|CE| a využili tak i jiných goniometrických funkcí. tan 𝛼= |𝐶𝐻| |𝐸𝐻| tan 𝛼 = 𝑢 𝑏 tan 𝛼= 10 3 𝛼≐𝟕𝟑°

Úkol závěrem 1) V krychli ABCDEFGH s hranou |AB|= 7 cm urči odchylku přímek: a) AE a BH b) SF a TG, kde body S a T jsou po řadě středy hran AE a BF. c) BH a SE, kde bod S je střed hrany CG. 2) V kvádru ABCDEFGH s hranou |AB|= 4 cm, |BC|= 10 cm a |AE|= 12 cm urči odchylku přímek:

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.