ŘÍZENÍ RIZIK I Finanční deriváty Smlouvy, jimiž se neobchoduje s podkladovými aktivy, ale právy na ně. Smlouvy, jimiž se neobchoduje s podkladovými aktivy, ale právy na ně (=>„obchody s rizikem“). Hodnota vzniká zprostředkovaně přes hodnotu podkladového aktiva nebo ukazatele. Existence derivátů zvyšuje efektivitu trhů (větší likvidita, nižší transakční náklady); jsou výhodné k zajišťování rizik i ke spekulaci. Obchodují se prostřednictvím burz a brokerů (=>standardizace, vysoká likvidita) nebo tvoří na míru klientům (tzv. „OTC deriváty“=>mohou mít jakékoliv požadované charakteristiky).

ŘÍZENÍ RIZIK I Základní typy finančních derivátů Termínové obchody (a futures): Vypořádání nákupu či prodeje v budoucnosti za pevných podmínek. Swapy: Výměna určitého aktiva za jiné na pevně stanovenou dobu; zvláštním typem jsou tzv. repo operace - dohody o prodeji a zpětném nákupu (swap lze interpretovat jako kombinaci promptních a termínových obchodů). Opce: Právo jedné ze smluvních stran na budoucí uskutečnění obchodu za pevných podmínek.

ŘÍZENÍ RIZIK I Arbitráž a její role při oceňování Arbitráž je koupě aktiva na jednom trhu a jeho okamžitý prodej se ziskem na jiném trhu. Na efektivním trhu by to byl stroj na peníze, a proto záhy dojde působením nabídky a poptávky při arbitráži k nastolení jediné rovnovážné ceny. Jednou z aplikací je tzv. replikace - instrument s neznámou tržní cenou lze pro účely ocenění nahradit portfoliem peněžních toků se stejnou strukturou při všech možných stavech světa.

ŘÍZENÍ RIZIK I Příklad - replikace Chceme za rok obdržet 100 tisíc dolarů za pevnou cenu. Budoucí kurs neznáme, je znám aktuální kurs p USD/CZK = 25,00 a bezriz. roční výnosy r USD = 4%, r CZK = 3%. Budoucí cenu dolaru lze replikovat: Koupíme určitou částku již dnes, a to tak, abychom měli za rok 100 tis. $. Dolary můžeme investovat, dnes proto stačí koupit /(1,04) = $ za ×25 = Kč. Koruny nemáme, musíme si je tedy půjčit; za rok pak musíme splatit ×(1,03) = Kč. Za rok tedy obdržíme $ za Kč, což odpovídá kursu 24,76 (=25×1,03/1,04...úroková parita)

ŘÍZENÍ RIZIK I Termínové obchody Smlouva, na jejímž základě se obchod vypořádá v budoucnosti za pevně stanovených podmínek. Smlouva je dána typem a množstvím podklad. aktiva, termínem dodání a cenou při dodání. Futures jsou termínové obchody se standardními podmínkami, obchodované na finančních trzích. Protistranou je zde burza (to zvyšuje likviditu, snižuje riziko vypořádání) a zpravidla nedochází k fyzickému dodání aktiva (před vypořádáním se smlouva prodá nebo se její hodnota vyplatí v penězích).

ŘÍZENÍ RIZIK I Zobecnění - replikační ocenění TO Termínový obchod pro zhodnocující se aktivum (např. cizí měna, akciový index) Replikace = okamžitý obchod za cenu p + investice s výnosností y - náklad financování r 1 (jednotka aktiva) 1 / (1+y t ) současná hodnota p / (1+y t ) okamžitý nákup za cenu p budoucí hodnota F = p (1 + r t ) / (1 + y t ) = > F = p (1 + r) t / (1 + y) t = > (se spojitými mírami výnosů) F = p e rt / e yt = p e (r-y)t

ŘÍZENÍ RIZIK I Aktivum s jednorázovými příjmy Termínový obchod pro aktivum s jednorázovými příjmy (např. akcie, kupónové dluhopisy, náj. smlouvy) Termínová cena je nižší o budoucí hodnotu příjmu, který obdržel vlastník aktiva. 1 (jednotka aktiva) 1 / (1+y t ) současná hodnota p / (1+y t ) okamžitý nákup za cenu p budoucí hodnota F A = p (1 + r t ) / (1 + y t ) Y (příjem) budoucí hodnota F Y = Y (1 + r T-t ) = > F = p (1 + r) t / (1 + y) t - Y (1 + r) t-T = > F = p e (r-y)t - Y e r(t-T)

ŘÍZENÍ RIZIK I Příklady - Ocenění termín. obchodů Vždy bezriz. efekt. výnos r e = 3% vypoř. za 3 měsíce. Akcie Komerční banky při p = Kč. r Q = (r e +1) 0,25 -1= 0,74% => F = 3200(1+0,74%)= 3224 Kč r = ln(1+r e ) = 2,96% => F = 3200 e 2,96%×0,25 = Kč Táž akcie s dividendou Y = 100 Kč splat. za 1 měsíc F = p e rt – Y e r(t-T) = 3224 Kč e 2,96%(2/12) = Kč Cizí měna (jen) při p = 18,52/100 Kč; r y = 0,50% F = p e (r-y)t y = ln(1+r Y ) = 0,499% F = 18,52 e (2,96%-0,499%)×0,25 = 18,63/100 Kč

ŘÍZENÍ RIZIK I Ocenění termínových obchodů U termínových obchodů je snadná replikace; termínová cena závisí na okamžité ceně a nákladu držby aktiva (= oček. úrokové a jiné náklady - oček. příjmy z aktiva). Aktivum bez vlastních příjmů (např. krátkodobě držené akcie, drahé kovy) F = p e rt... nebo... F = p (1 + r e ) t Aktivum s průběžným zhodnocováním y (např. cizí měny, diskontované úvěry, indexy, komodity) F = p e (r-y)t... nebo... F = p (1 + r e ) t / (1 + y e ) t Aktivum s jednorázovými příjmy Y v čase T (akcie) F = p e rt – Y e r(t-T)... nebo... F = p(1 + r e ) t – Y(1 + r T-t ) (t-T)

ŘÍZENÍ RIZIK I Příklad - Ocenění pozice ve futures Obchodník koupil před třemi měsíci futures na prodej akc. indexu S&P 500 za 6 měsíců při ceně F = $. Dnešní hodnota indexu p S&P = $, bezriziková úroková sazba r $ = 5%, očekávaný roční výnos akc. trhu r S&P = 8%. Jaká je nyní hodnota těchto futures? Současná hodnota term.ceny F je rovna F/e 0,25×(5%-8%) = $.... (futures vyprší za 3 měsíce, tzn. 0,25 roku) Index ale dnes může prodat za $. Proto by při prodeji realizoval ztrátu V = = -181 $. Dlouhá pozice má tedy hodnotu V = p - Fe -t(r-y) = 181 $; (krátká pozice má hodnotu V = Fe -t(r-y) - p).

ŘÍZENÍ RIZIK I Příklad - Ocenění pozice ve futures Obchodník koupil před třemi měsíci futures na prodej akc. indexu S&P 500 za 6 měsíců při ceně F = $. Dnešní hodnota indexu p S&P = $, bezriziková úroková sazba r $ = 5%, očekávaný roční výnos akc. trhu r S&P = 8%. Jaká je nyní hodnota těchto futures? Současná hodnota term.ceny F je rovna F/e 0,25×(5%-8%) = $.... (futures vyprší za 3 měsíce, tzn. 0,25 roku) Index ale dnes může prodat za $. Proto by při prodeji realizoval ztrátu V = = -181 $. Dlouhá pozice má tedy hodnotu V = p - Fe -t(r-y) = 181 $; (krátká pozice má hodnotu V = Fe -t(r-y) - p).

ŘÍZENÍ RIZIK I Cenová citlivost termínových obchodů Termínový obchod má v okamžiku uzavření nulovou hodnotu. Citlivosti z pohledu kupujícího (tj. dlouhé pozice v podkl. akt.): rizikový faktor změna riz. faktoru změna hodnoty kontraktu cena podklad. aktiva růstrůst úroková sazba růstrůst výnos podkl. aktiva růstpokles p V r-y V

ŘÍZENÍ RIZIK I Deriváty vs. podkladová aktiva Známy termín. ceny ropy; F 3M = 60,74 $, F 6M = 63,62 $. Neznáme okamžitou cenu p ani náklad financování c. p = F 3M / e c×0,25 = F 6M / e c×0,5 c = ln(F 2 /F 1 )/(t 2 -t 1 ) = 18,53%; p = 57,99 $... (implicitně) Jaká je citlivost na změnu  p, koupím-li N termín. obch.?  V = N (V 1 -V 0 ) = N[(p 1 - Fe -t(r-y) ) - (p 0 - Fe -t(r-y) )] = N  p Stejné citlivosti dosáhneme koupí příslušného počtu kusů podkl. aktiva, ale musíme vynaložit kapitál V A0 = N p 0 (zatímco V F0 = 0). Pozn.: I koupě derivátů v praxi určitý kapitál vyžaduje - srov. zajišťovací (marginový) vklad (ŘR II).

ŘÍZENÍ RIZIK I Příklad - Repo operace Klient si chce od banky půjčit formou repooperace peníze na 3 měsíce proti zástavě pokladniční poukázky, splatné za 6 měsíců v nominální hodnotě 1 mil. Kč. Banka si účtuje repo sazbu i = 5,25% a chce mít úvěry plně kryté, i kdyby tržní výnosy vzrostly na r max = 10%. Cena zpětného nákupu (closing leg) R 3M = /e 10%×(0,5-0,25) = Kč. Pozn.: Je-li r = 3%, pak zajišťovací marže (haircut) oproti F 3M = /e 3%×(0,5-0,25) = Kč činí 1,77%. Cena počátečního prodeje (front leg) R 0 = /e 5,25%×0,25 = Kč.

ŘÍZENÍ RIZIK I Opce Smlouva, kde má jedna ze stran právo trvat na budoucím vypořádání obchodu za pevně stanovených podmínek. Podkladové aktivum (nebo podkl. ukazatel) Uplatňovací cena (S) Doba do uplatnění (t) Kupní opce (call) vs. prodejní (put) opce Vydavatel opce (short) vs. držitel opce (long) Evropská opce vs. americká opce; exotické opce Finanční opce; vestavěné opce; reálné opce

ŘÍZENÍ RIZIK I Příklad - opce Evropská kupní opce na akcii ČEZ s uplatňovací cenou S = Kč a dobou do uplatnění t = 0,25 (  90 dnů). Její držitel má právo, nikoliv povinnost, v den uplatnění převzít 1 kus akcie (podkladového aktiva) za cenu S, vydavatel má povinnost tento požadavek splnit. Lze předpokládat, že držitel své právo uplatní v případě, že v den uplatnění bude tržní cena akcie p>S, pak realizuje zisk p-S; v opačném případě opci neuplatní. Hodnota kupní opce při uplatnění je tedy V C =max{0; p-S}; pro prodejní opci platí V P = max{0; S-p} Opce (právo) má pro držitele vždy nezápornou hodnotu, danou časovou hodnotou opce.

ŘÍZENÍ RIZIK I Hodnota opce Z tržních cen obchodovaných opcí lze implicitně odhadnout volatilitu podkladového aktiva. p V Celková hodnota (kupní) opce Časová hodnota rizikový faktor  riz. faktoru kupní opce prodejní opce cena podklad. aktiva růstrůstpokles úroková sazba růstrůstpokles volatilita podkl. aktiva růstrůstrůst doba do uplatnění poklespoklespokles Vnitřní hodnota (kupní) opce p V S v penězích (in-the-money) bez peněz (out-of-the-money) na penězích (at-the-money)

ŘÍZENÍ RIZIK I Motýlek (butterfly) p V koupě VRR koupě kupní opce při S 1 prodej kupní opce při S 2 prodej VRR prodej kupní opce při S 2 koupě kupní opce při S 3 Opční strategie Opční strategie replikují peněžní toky při uplatnění opce. Steláž (straddle) p V koupě kupní opce koupě prodejní opce Škrtič (strangle) p V koupě kupní opce koupě prodejní opce Vertikální rozpětí na růst (vertical bull spread) p V koupě kupní opce prodej kupní opce

ŘÍZENÍ RIZIK I Parita kupní a prodejní opce Kupní opci lze replikovat pomocí prodejní opce a termínového obchodu: p V koupě term. kontraktu na podkladové aktivum koupě prodejní opce Výsledkem je kupní opce. Z replikace vyplývá, že V C = V P + V F, tzn. (pro aktiva neposkytující příjmy): V C = V P + p - S e -tr Pozn.: Stačí tedy ocenit (evropskou) kupní opci, cenu prodejní opce z ní pak lze odvodit.

ŘÍZENÍ RIZIK I Oceňování opcí Na základě binomického modelu rozhodovacího procesu v čase a jeho numerickým řešením: –Rekurzí => Coxův-Rossův-Rubinsteinův model –Simulací => Monte Carlo Analytickým řešením výsledku dynamického zajišťování => Blackův-Scholesův model a jeho varianty (Mertonův model, Blackův model, Garmanův-Kohlhagenův model). Binomický model je výpočetně náročnější, ale obecnější (na rozdíl od B-S umožňuje ocenit americké či exotické opce); konverguje k B-S.

ŘÍZENÍ RIZIK I Princip binomického modelu Kupní opce: S = 40 na aktivum s p = 32 Kč, které v čase t nabude hodnot d = 16 Kč nebo u = 64 Kč; r t = 2%. 1. Opce bez peněz nebude uplatněna, a tedy V d = 0 2. Opce v penězích, uplatněna, hodnota V u = = 24 Strukturu příjmů replikujeme N term. obch. na podkl. akt. Aby měly t.o. při ceně podkl. aktiva 16 Kč nulovou hodnotu, musely být vystaveny s term. cenou F = 16. Dnes tedy mají hodnotu V F = p - F/(1+r t ) = 16,31 Kč. Hodnota N term. obch. je při vypořádání obecně rovna V NF = N(F A - F). Protože chceme, aby při F A = u = 64  V NF = 24, musí být N = 24/(64-16) = 0,5. Opce tedy musí mít hodnotu V C = 0,5×16,31 = 8,16 Kč.

ŘÍZENÍ RIZIK I Příklad - binomický model Kupní opce S = 1 100; p = 1 000; r = 5%; 4 periodický model. F = 1 100; N = 1 V F = 1157, e -0,25×5% = 71,29 V C = N V F = 71,29 F = N = (u - S)/(u - d) = 2,50/102,5 = 0,0244 V F = e -0,25×5% = 62,42 V C = N V F = 1,52 N = 0 => V C = 0

ŘÍZENÍ RIZIK I Blackův-Scholesův model Předpokl.: Evropská opce, aktivum bez vl. příjmů, normální rozdělení logaritmických výnosů. V C = p N(d 1 ) - S e -rt N(d 2 ) d 1 = [ln(p/S) + (  2 /2) t] / (   t) d 2 = d 1 -   t Příkl.: p = 500 Kč; S = 510 Kč; r = 3%; t = 3 měs. (=0,25);  = 20% d 1 = [ln(500/510)+(0,04/2)×0,25]/(0,2×0,5) = -0,0730 d 2 = -0, ,2×0,5 = -0,1730 N(d 1 ) = N(-0,0730) = 0,4709; N(d 2 ) = N(-0,1730) = 0,4313 (distribuční funkce normovaného normálního rozdělení) V C = 500×0, ×e -20%×0,25 ×0,4313 = 17,12 Kč V P = V C - p + Se -rt = 17, ×e -3%×0,25 = 23,31 Kč

ŘÍZENÍ RIZIK I Varianty Blackova-Scholesova modelu Mertonova formulace pro aktiva s vlastními příjmy V C = p e -yt N(d 1 ) - S e -rt N(d 2 ) d 1 = [ln(p/S) + (r - y +  2 /2) t] / (   t) d 2 = d 1 -   t Př.: p $ = 25 Kč; S = 24 Kč; r = 3%; y = r $ = 5%; t = 0,5;  $ = 12% (aplikaci na cizí měny se říká Garmanův-Kohlhagenův model) d 1 = 0,4057; d 2 = 0,3208 N(d 1 ) = 0,6575; N(d 2 ) = 0,6258 V C = 25×e -5%×0,5 ×0, ×e -3%×0,5 ×0,3208 = 1,24 Kč V P = V C - p + Se -(r-y)t = 0,50 Kč... pozor, mění se hodnota term. o. Pozn.: Existují i analytické modely pro opce na termín. obchody (Blackův model) a pro jiná statist. rozdělení výnosů.