Mgr. Martin Krajíc 2.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Název projektu: Moderní škola Vzdálenost bodů Mgr. Martin Krajíc   2.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Vzdálenost bodů - úvod Vzdálenost dvou bodů můžeme zjistit: měřením - pomocí pravítka početně – pomocí souřadnic bodů

Vzdálenost bodů – v rovině Určení vzdálenosti dvou bodů v rovině početně: na určení vzdálenosti dvou bodů existuje vzorec, dokážeme si jeho platnost narýsujeme si v rovině kartézskou soustavu souřadnic, vyznačíme si v ní dva různé body X,Y vyznačené body mají souřadnice X[x1, x2], Y[y1, y2] body X,Y doplníme na pravoúhlý trojúhelník XYZ (přeponou je strana XY, odvěsny jsou rovnoběžné s osami x,y)

Vzdálenost bodů – v rovině y y2 Y x2 X Z[y1, x2] 0 x1 y1 x pro vzdálenosti stran XZ a YZ platí: |XZ| = |y1 – x1|, |YZ| = |y2 – x2| z Pythagorovy věty dostaneme: |XY|² = |XZ|² + |YZ|² |XY| =

Vzdálenost bodů – v prostoru Určení vzdálenosti dvou bodů v prostoru početně: na určení vzdálenosti dvou bodů v prostoru opět existuje vzorec, dokážeme si jeho platnost narýsujeme si v prostoru kartézskou soustavu souřadnic, vyznačíme si v ní dva různé body X,Y vyznačené body mají souřadnice X[x1, x2, x3], Y[y1, y2, y3] k těmto bodům sestrojíme v rovině os x,y body X´ a Y´, které mají souřadnice X´[x1, x2, 0], Y´[y1, y2, 0] body X,Y doplníme na pravoúhlý trojúhelník XYZ (s pravým úhlem u vrcholu Z) bod Z má souřadnice: Z[y1, y2, x3]

Vzdálenost bodů – v prostoru z Y X Z 0 y X´ x Y´

Vzdálenost bodů – v prostoru pro vzdálenosti stran XZ a YZ platí: |XZ| = |X´Y´|, |YZ| = |y3 – x3| z Pythagorovy věty dostaneme: |XY|² = |XZ|² + |YZ|² |XY|² = |X´Y´|² + |y3 – x3|² vzdálenost bodů X´Y´ vypočteme podle vzorce pro vzdálenost dvou bodů v rovině (leží v rovině os x,y): |X´Y´|² = (y1 – x1)² + (y3 – x3)² po dosazení: |XY|² = (y1 – x1)² + (y3 – x3)² + (y3 – x3)² vzorec: |XY| =

Vzdálenost bodů – příklady Př: Vypočti vzdálenost bodů M[3, -2, -4], N[-1, 0, -2]. |MN| =

Vzdálenost bodů – příklady Př: Urči číslo x tak, aby platilo |MN| = 3 . Souřadnice bodů M,N jsou M[3, x, 2], N[-1, 0, x]. |MN| = = 3 = 3 = 3 /² 16 + x² + x² - 4x + 4 = 9 . 2 2x² - 4x + 2 = 0 /:2 x² - 2x + 1 = 0 (x – 1)² = 0 x = 1

Vzdálenost bodů – příklady Př: Určete souřadnice bodu X, který leží na souřadnicové ose z. Bod X má od bodu K[4, -1, -5] třikrát větší vzdálenost než od bodu L[2, 1, 1]. |KX| = 3 |LX| = 3 /² 16 + 1 + x² + 10x + 25 = 9 (4 + 1 + x² - 2x + 1) 2x² - 7x + 3 = 0 Po dosazení do vzorců na výpočet kvadratické rovnice dostaneme kořeny x1 = 3, x2 = ½. Souřadnice bodu X jsou X[0, 0, 3] nebo X[0, 0, ½]. bod X má souřadnice X[0, 0, x]

Vzdálenost bodů – samostatná práce Př: Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): František Vymazal: „Mnohý žák prospívá špatně jen proto, že má ….. rozumu než učitel. 1) Vypočti vzdálenost bodů E[4, 3, 0], F[1, 5, 3]. a) V = b) M = 2) Vypočti vzdálenost bodů G[1, x, 2x], H[2x, 2, -2], kde x ɛ R. a) O = 2 b) Í = 3 3) Urči číslo x tak, aby platilo |MN| = . Souřadnice bodů M,N jsou M[2 + x, 2, 1], N[3, -x, 2]. a) C = {-2, 1} b) K = {-1, 2}

Vzdálenost bodů – správné řešení František Vymazal: „Mnohý žák prospívá špatně jen proto, že má …….. rozumu než učitel. VÍC

Vzdálenost bodů – použitá literatura KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-02-02].