Základy statistiky Autor: Jana Buršová

Statistický soubor Statistický soubor – konečná neprázdná množina 𝑀 Rozsah statistického souboru – počet prvků množiny 𝑀 – 𝑛 – počet statistických jednotek Statistický soubor

Kvantitativní znak – funkce 𝑥: 𝑀→𝑅, hodnoty znaku pak označujeme 𝑥 𝑖 − , … výška, věk, počet sourozenců Kvalitativní znak – barva vlasů, pohlaví, bydliště, … Statistické znaky

Absolutní četnost (četnost) – počet statistických jednotek s určitou hodnotou znaku - 𝑛 𝑖 Relativní četnost - 𝑛 𝑖 𝑛 .100 % Součet relativních četností je roven 1 Četnosti

Grafy rozložení četností Vodorovná osa – hodnoty znaku Svislá osa – četnosti Typy grafů: Spojnicový – polygon četnosti Sloupcový – histogram Kruhový, výsečový, … Grafy rozložení četností

Aritmetický a vážený průměr 𝒙 = 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙 𝒊 𝒙 = 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙 𝒊 . 𝒏 𝒊 Aritmetický a vážený průměr

Modus a medián Modus – nejčastěji se vyskytující hodnota znaku – 𝑀𝑜𝑑x Medián – střední hodnota znaku při uspořádání hodnot znaku vzestupně - 𝑀𝑒𝑑x Při sudém počtu hodnot určíme medián jako průměr dvou středních hodnot Modus a medián

Směrodatná odchylka a rozptyl s= 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 - směrodatná odchylka 𝑠 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 - rozptyl Čím je číslo s menší, tím menší jsou rozdíly 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 , tím blíže jsou čísla 𝑥 𝑖 rozptýlena kolem aritmetického průměru 𝑥 . Interval 𝑥 −3𝑠; 𝑥 +3𝑠 obsahuje aspoň 8 9 hodnot statistického znaku. Směrodatná odchylka a rozptyl

Koeficient korelace (vyjadřuje závislost dvou znaků) 𝑟= 𝑘 𝑠 1 . 𝑠 2 , 𝑘𝑑𝑒 𝑘= 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 .( 𝑦 𝑖 − 𝑦 ) Koeficient korelace

U statistického souboru 25 žáků jedné třídy byly zjištěny tyto známky z matematiky: 4,2,1,2,4,5,3,2,2,3,3,4,3,1,3,4,3,3,2,1,2, 4,3,3,3 Příklad 1

Příklad 1 - úkoly Uspořádejte známky do přehledné tabulky Určete četnosti a relativní četnosti Sestrojte spojnicový a sloupcový diagram, případně další diagramy. Určete aritmetický průměr sledovaného znaku – průměrná známka z matematiky Vypočtěte rozptyl a směrodatnou odchylku Určete modus a medián Příklad 1 - úkoly

Příklad 1 - řešení Aritmetický průměr. 𝒙 = 𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙 𝒊 . 𝒏 𝒊 = 3.1+6.2+10.3+5.4+1.5 25 =2,8 Směrodatná odchylka: s= 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 − 𝑥 2 = 3.3,24+6.0,64+10.0,04+5.1,44+1.4,84 25 =1,02 Rozptyl: 𝑠 2 =1,04 Řešení viz přiložená složka/1. příklad Příklad 1 - řešení

Příklad 2 Při měření výšky 63 chlapců byly zjištěny tyto údaje. Určete: Relativní četnosti Modus Medián Směrodatnou odchylku a rozptyl Interval výskytu aspoň 8 9 výšek Příklad 2

Příklad 2 - řešení Mod(x)=173cm Med(x)=171cm Aritmetický průměr 𝑥 =170,81 Směrodatná odchylka 𝑠=4,68 Rozptyl 𝑠 2 =21,87 Interval pro aspoň 8 9 hodnot: (156,77; 184,85) V něm se vyskytují všechny hodnoty výšky. Řešení viz přiložená složka/2. příklad Příklad 2 - řešení

Příklad 3 U 10 žáků byla změřena výška a hmotnost. Zjištěné údaje jsou uvedeny v tabulce. U obou znaků určete: Relativní četnosti, aritmetický průměr, směrodatnou odchylku, rozptyl, Koeficient korelace Řešení viz přiložená složka/3. příklad Příklad 3

V tabulce je uveden přehled známek z A a N. ve třídě 3. B ve 2. pol V tabulce je uveden přehled známek z A a N ve třídě 3.B ve 2. pol. škol. roku: A N 2 1 4 3 Příklad 4

Sestavte tabulku s přehledem četnosti dvojic se stejnými známkami Sestavte tabulku s přehledem známek v A a N pro výpočet směrodatných odchylek a koeficientu korelace Nakreslete spojnicový a sloupcový graf pro rozložení četností známek v A a výsečový graf pro rozložení četností v N Určete průměrný prospěch z A a N Určete směrodatnou odchylku z A a N Určete koeficient korelace obou známek Řešení viz přiložená složka/4. příklad Příklad 4 - úkoly

Tabulka s přehledem počtu dvojic známek: A/N 1 2 3 4 6 Příklad 4

Seznam použitých zdrojů Použitá literatura: ŠEDIVÝ, Jaroslav, Dr., Matematika pro III. ročník gymnázií, 1. vyd., SPN,1986, ISBN 54-00-03/1 PETÁKOVÁ, Jindra, RNDr. Příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, 1. vyd. Prometheus,1998, ISBN 80-7196-099-3 Seznam použitých zdrojů