Výroková logika

Výstavba matematické teorie Definice – zavedení nového matematického pojmu Věta – pravdivý výrok, který lze dokázat Důkaz – logické odvození věty

Výroky Číslo 6 je sudé. Je 1 prvočíslo? Vydělte číslo 157 číslem 14! Číslo 6 je prvočíslo.

Pravdivostní hodnota výroků Pravdivý výrok p(V) = 1 Nepravdivý výrok p(V) = 0

Negace

Příklady x = 5 x  3 Číslo 6 je sudé. Písmo má velikost 12b. x  5 Číslo 6 není sudé. Číslo 6 je liché. Písmo nemá velikost 12b.

Logické spojky A a NEBO A B AB AB 1 1 1 1 1

EKVIVALENCE a IMPLIKACE B AB AB 1 1 1 1 1 1

Součin je záporný právě tehdy když jeden činitel je kladný a druhý záporný

Jestliže vynásobím dvě kladná čísla, pak součin je kladný

Tautologie (kontradikce) A(B (AB)) 1 1 1 1 1 1 1 1

Negace konjunkce (A  B)  (A  B) Deset je dělitelné dvěma a pěti. Deset není dělitelné dvěma nebo není dělitelné pěti.

Negace konjunkce (A  B)  (A  B)

Negace disjunkce (A  B)  (A  B) Deset je dělitelné dvěma nebo pěti. Deset není dělitelné dvěma a není dělitelné pěti.

Negace implikace (A  B)  (A  B) Jestliže je deset dělitelné dvěma pak je dělitelné pěti. Deset je dělitelné dvěma a není dělitelné pěti.

Negace ekvivalence (A  B)  ((A  B)  (A  B)) Deset je dělitelné dvěma právě tehdy, když je dělitelné pěti. Deset je dělitelné dvěma a není dělitelné pěti nebo deset není dělitelné dvěma a je dělitelné pěti.

Uveďte nutné a postačující podmínky pro to, aby číslo bylo dělitelné 12. Číslo je sudé Číslo je dělitelné 4 Číslo je dělitelné 3 a 4 Postačující Číslo je dělitelné 24 Číslo je dělitelné 3 a 4 Číslo je dělitelné 120

Podmínka nutná a postačující P  T je pravdivá Jestliže je celé číslo dělitelné 6, pak je toto číslo sudé. P je podmínka postačující pro T T je podmínka nutná pro P

Matematická věta tvaru implikace P  T Jestliže je celé číslo dělitelné 6, pak je toto číslo sudé. Obměněná: T  P Jestliže celé číslo není sudé, pak toto číslo není dělitelné 6. Obrácená: T  P Jestliže je celé číslo sudé, pak je toto číslo dělitelné 6.

Výrokové formy přirozené číslo x je prvočíslo x2 – y2 > 4 (x, y  R) Číslo x je dělitelné třemi (x  N) Číslo x dělí číslo y (x  N) x2 – y2 (x, y  R)

Přirozené číslo x je prvočíslo Výroková forma  výrok Přirozené číslo x je prvočíslo Dosazením konstanty z příslušné množiny za proměnnou Použitím kvantifikátoru (udáme počet konstant, pro které výrok platí)

Kvantifikátory každé přirozené číslo x je prvočíslo právě jedno přirozené číslo x je prvočíslo alespoň jedno přirozené číslo x je prvočíslo nejvýše jedno přirozené číslo x je prvočíslo nejvýše čtyři přirozená čísla x jsou prvočísla

Obecný kvantifikátor  pro každý prvek z příslušné množiny Pro každé reálné číslo x platí x2 – 4x + 7 > 0 xR: x2 – 4x + 7 > 0

Existenční kvantifikátor Existuje aspoň jeden prvek z příslušné množiny  Existuje reálné číslo x, pro které platí x = 0 xR: x = 0

Negace obecného kvantifikátoru xR: x2  0 xR: x2 < 0

Negace existenčního kvantifikátoru xR: x2 = 0 xR: x2  0

Pro každé reálné číslo x platí x2 – 4x + 7 > 0. xR: x2 – 4x + 7 > 0 xR: x2 – 4x + 7  0

Existuje reálné číslo x, pro které platí x  = 0. xR: x  = 0 xR: x   0

Negace dalších kvantifikátorů žádný ne každý alespoň jeden alespoň jeden ne

Negujte výroky: Každé přirozené číslo x je prvočíslo. Žádné přirozené číslo x není prvočíslo. Alespoň jedno přirozené číslo x není prvočíslo. Alespoň jedno přirozené číslo x je prvočíslo.

Negace dalších kvantifikátorů nejvýše jeden alespoň tři právě tři alespoň dva nejvýše dva nejvýše dva nebo alespoň čtyři

Negujte výroky: Právě jedno přirozené číslo x je prvočíslo. Alespoň jedno přirozené číslo x je prvočíslo. Nejvýše jedno přirozené číslo x je prvočíslo. Žádné nebo alespoň dvě při-rozená čísla jsou prvočísla. Žádné přirozené číslo x není prvočíslo. Alespoň dvě přirozená čísla jsou prvočísla.

Definiční obor výrokové formy x  0 x  R 1/x > 0 x  R \ {0}

Obor pravdivosti výrokové formy x  0 x  R \ {0} 1/x > 0 x  (0,)