Nerovnice s absolutní hodnotou Název projektu: Moderní škola Nerovnice s absolutní hodnotou Martin Krajíc   11.4.2013 matematika 1. ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Nerovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic: Nalezneme nulové body: jednotlivé výrazy v absolutní hodnotě položíme rovny nule. Vyznačíme nulové body na číselnou osu a rozdělíme si ji na dílčí intervaly. Vytvoříme tabulku, ve které v prvním řádku jsou intervaly, v prvním sloupci jednotlivé výrazy s absolutní hodnotou. Doplníme tabulku: vezmeme libovolné číslo z prvního intervalu a dosadíme ho za x do jednotlivých výrazů. Pokud vyjde kladné číslo, zapíšeme výrazy bez změny znaménka. Pokud vyjde záporné číslo, změníme znaménka u jednotlivých výrazů na opačná. Počítáme nerovnice zvlášť v každém z intervalů. Uděláme průnik výsledného intervalu s intervalem, ve kterém jsme počítali.

Nerovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů Př: Řešte nerovnici v R: |3x - 2| ˂ 5 + |x + 1| nulové body: 3x – 2 = 0 x + 1 = 0 x = x = -1 číselná osa: (-∞, -1˃ (-1, ˃ ( , ∞) -1 Nulový bod by měl vždy do jednoho z intervalů patřit.

Nerovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů tabulka: řešení: |3x - 2| ˂ 5 + |x + 1| a) (-∞, -1˃ (-3x + 2) ˂ 5 + (-x -1) -3x + 2 ˂ 5 - x -1 x ˃ -1 (-∞, -1˃ (-1, ˃ ( , ∞) |3x - 2| (-3x + 2) (3x – 2) |x + 1| (-x -1) (x + 1) Výsledkem nerovnice je interval ( -1 , ∞), počítali jsme v intervalu (-∞, -1˃ . Průnikem těchto dvou intervalů je prázdná množina, proto řešení je v tomto intervalu K = Ø. Nepoužívejte hraniční čísla z intervalů pro dosazení.

Nerovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů Výsledkem nerovnice je interval ( -1 , ∞), počítali jsme v intervalu (-1, 2/3˃ . Průnikem těchto dvou intervalů je množina K = (-1, 2/3˃. b) (-1, ˃ (-3x + 2) ˂ 5 + (x + 1) -3x + 2 ˂ 5 + x + 1 x ˃ -1 c) ( , ∞˃ (3x - 2) ˂ 5 + (x + 1) 3x - 2 ˂ 5 + x + 1 x ˂ 4 Sjednocením všech tří dílčích výsledků dostáváme výsledný interval K = (-1, 4). Výsledkem nerovnice je interval (-∞, 4), počítali jsme v intervalu (2/3, ∞) . Průnikem těchto dvou intervalů je množina K = (2/3, 4).

Nerovnice s absolutní hodnotou – ukázka ještě jednoho příkladu Př: Řešte v R nerovnici |x + 2| ˂ 8 nulové body: x + 2 = 0….x = -2 tabulka: řešení: a) (-∞, -2˃ b) (-2, ∞) (-x – 2) ˂ 8 (x + 2) ˂ 8 x ˃ -10 x ˂ 6 x ɛ (-10, ∞) ∩ (-∞, -2˃ = (-10, -2˃ x ɛ (-∞, 6) ∩ (-2, ∞) = (-2, 6) K = (-10, 6) (-∞, -2˃ (-2, ∞) |x + 2| (-x - 2) (x + 2)

Nerovnice s absolutní hodnotou – příklady Př: Řešte nerovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Albert Einstein: „…… je pro mysl člověka složitější než matematika, mnohdy s neřešitelnými příklady. 1) x ˃ |x + 1| a) B = (-1, 1), b) L = { }, c) S = {1, ∞} 2) |2x + 1| - |3 - x| ˂ x a) Á = (-2, 1), b) Í = (1 , ∞}, c) É = { } 3) 6 + |x + 1| ˂ 3x - 3 a) S = (5, ∞), b) L = (-5, ∞), c) S = (-∞, 5)

Nerovnice s absolutní hodnotou – příklady 4) |3x - 2| - 5 ≤ x + 1 a) B = (-1, 4), b) L = { }, c) K = ˂-1, 4˃ 5) 3x + 1 ˃ 2|1 – 2x| a) A = (1/7, 3), b) I = (-3, 1/7}, c) E = { }

Nerovnice s absolutní hodnotou – správné řešení Albert Einstein: „……….… je pro mysl člověka složitější než matematika, mnohdy s neřešitelnými příklady. LÁSKA

Nerovnice s absolutní hodnotou – použité zdroje MOTTAK. Svatební oznámení: Citáty. [online]. [cit. 2013-04-11]. Dostupné z: http://www.mottak.cz/citaty/matematika.php