str. 1 TMF045 letní semestr 2006 IX Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru lekce (IX - XI)

str. 2 TMF045 letní semestr 2006 IX Obsah: Cohenova třída distribucí Význam Wignerovy distribuce jako pravděpodobnosti Interference a snaha o jejich odstranění Evoluční rovnice a operátory pro Wignerovu distibuci Stacionární Schrödingerova rovnice ve fázovém prostoru Zpětná transformace z Wignerova prostoru k vlnové funkci WKB teorie z Wignerova prostoru Wignerova metoda Metoda difúzní Monte Carlo ve fázovém prostoru

str. 3 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí představa: pokoušíme se změřit pravděpodobnost, že kvantový systém má polohu q a hybnost p. kvantová neurčitost [q,p]: operátory q a p nekomutují, takže obě veličiny v principu nelze měřit současně. „smysluplné měření“ – např. měření q a p v rámci minimální neurčitosti  konkrétní definice takového měření určuje výsledné asociační pravidlo dané distribuce ve fázovém prostoru. nejpoužívanější asociační pravidla: – Weylovo … Wignerova distribuce – antinormální … Husimiho distribuce – normální – standardní a antistandardní

str. 4 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí Weylovo asociační pravidlo je dáno pomocí posuvného operátoru D: asociační pravidla distribucí Cohenovy třídy jsou obecně dána pomocí dvou posuvných operátorů: Wignerova distr.

str. 5 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí konkrétní definice: P00Qantistanda rdní 0QP0standardn í normální Husimihoantinormá lní 00PQWignerov a Weylovo PBPB QBQB PAPA QAQA DistribuceAsociační pravidlo

str. 6 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí transformační relace mezi operátory pro asociační pravidla (ty přímo souvisejí s transformačními relacemi mezi distribucemi) – každá distribuce je dána také charakteristickou funkcí f, kde platí: – odvození transformačních relací pomocí charakteristické funkce : výchozí vztah:

str. 7 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí integrální transformace: – dosazení

str. 8 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí diferenciální transformace – z toho vyplývá:

str. 9 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce odvození běžné definice Wignerovy distribuce z formalismu pro Cohenovu třídu distribucí –úprava Weylova operátoru –využijeme identity: –dosazení do předchozí definice: –operace posuvným operátorem:

str. 10 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –Wignerova distribuce z Weylova operátoru symetrická definice v p-reprezentaci pozn.: symetrická definice v p-reprezentaci

str. 11 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce fyzikální porozumění Wignerově distribuci: –pravděpodobnost ve fázovém prostoru související s minimální neurčitostí –přesněji: „kvazipravděpodobnost“, protože se vyskytují záporné hodnoty

str. 12 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce Aproximace Wignerovy distribuce 2. řádu: –pro pochopení významu definice Wignerovy distribuce rozvineme matici hustoty podle Q do II. řádu (např. pro Gaussiáln vyjadřující částici s minimální neurčitostí tento rozvoj platí přesně)

str. 13 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –aproximativní Wignerova distribuce jako Fourierova transformace matice hustoty pro aproximaci II. řádu: –z naznačené aproximace vidíme, že Wignerova distribuce má význam jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru: –pravděpodobnost v q je dána amplitudou –pravděpodobnost v p je lokalizována v phi’, která má význam průměrné hybnosti (viz definice průtoku níže), přičemž šířka aproximované distribuce v p je dána minimální neurčitostí (srovnej případ Gaussiánu níže) –průměrný tok

str. 14 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –význam A’’ jako minimální neurčitost v p na příkladu Gaussiánu:

str. 15 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce oscilační vzor díky interferenci vzdálených částí: –rozvoj do II. řádu ukázal na význam pravděpodobnosti, nicméně po přidání vyšších řádů funkce nabývá také záporných hodnot (kvazi- pravděpodobnostní distribuce). –Wignerova distribuce bývá oscilační, přičemž důvodem je interference vzdálených obsazených částí klasického fázového prostoru pro případ čistého stavu (viz níže). –Pro případ teplotního rozdělení či ztráty koherence dojde ke zmizení záporných částí a Wignerova distribuce koresponduje s klasickou distribucí, přičemž zahrnuje také kvantovou neurčitost (viz příští lekce).

str. 16 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce interference dvou Gaussiánů –Příklad: zákl. stav dvojité jámy –jednoduchý případ dvou identických Gau. rozložených po obou stranách středu: –matice hustoty: –Wignerova distribuce je dána součtem W.d. obou Gaussiánů + interferenční člen (viz níže) x psi(x) -q 0 q0q0

str. 17 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –úprava cross-matice hustoty –FT matice hustoty... cross člen Wignerovy distr.

str. 18 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –nákres Wign. distribuce: –rychlejší oscilace pro větší q 0 –integrací přes p získáme téměř nulové hodnoty v místě cross-termu (tj. tento člen nemá význam pravděpodobnosti) –oscilace vždy kolmé k obsazeným částem prostoru: q p -q 0 q0q0 cross-term q p

str. 19 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce pozitívně definitní –má význam pravděpodobnosti –zahrnuje 2x větší neurčitost než Wignerova distribuce (tj. 2x větší než je minimální neurčitost) –její cross-termy jsou blízké nule odvození definice z asociačního pravidla pro antinormální rozdělení –definice: –identita:

str. 20 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce –úprava operátoru pro asociační pravidlo: –Husimiho distribuce:

str. 21 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce diskuse Husimiho distribuce –lokální Fourierova transformace (toho využijeme při jejím programování) –překryv s minimálním Gaussiánem, jehož střed [q,p] je dán souřadnicemi ve fázovém prostoru – to vysvětluje její pravděpodobnostní interpretaci jako pravděpodobnost výskytu ve fázovém prostoru

str. 22 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce vztahy mezi Wignerovou a Husimiho distribucí –odvodíme charakteristické funkce pro obě asociační pravidla: –odvodíme funkci g pro integrální transformaci:

str. 23 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce –transformace z Wignerovy distribuce k Husimiho distribuci: –diskuse: –Husimiho distribuce je dána vyhlazením Wignerovy distribuce –vyhlazení Gaussiánem o minimální neurčitosti způsobí vymizení oscilujících cross-termů na Wignerově distribuci, cross-termy mají u Husimiho distribuce zanedbatelnou velikost a jsou kladné –u Husimiho distribuce se zvětší neurčitost, čímž se zhorší „rozlišení“

str. 24 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce z Husimiho do Wignerovy distribuce: –principiálně je to možné, numericky většinou nikoliv díky omezené numerické přesnosti (vysvětlení: ztráta přesnosti pro cross-termy, které jsou u Husimiho distribuce téměř nulové)

str. 25 TMF045 letní semestr 2006 IX Kvantové střední hodnoty z distribucí nahrazení operátoru skalární funkcí ve fázovém prostoru: –důkaz pomocí rozvoje operátoru A do vyšších derivací posuvných operátorů –Distribuce Cohenovy třídy obsahují celou informaci o matici hustoty a tudíž je lze používat jako alternativní reprezentaci kvantové mechaniky (vedle matic hustoty nebo vlnových funkcí)

str. 26 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky Wignerova distribuce a reprezentace kvantové mechaniky Hamiltonián ve Wignerově reprezentaci –potenciál:

str. 27 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky –kinetický operátor Zpětná transformace (význam projekce) –zvlášť na tabuli.... Vývoj Wignerovy distribuce v čase

str. 28 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 29 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 30 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 31 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 32 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 33 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky