Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 IX Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru lekce (IX - XI)

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Téma 5 Metody řešení desek, metoda sítí.
Advertisements

Geometrický parametr reaktoru různého tvaru
Shrnutí z minula vazebné a nevazebné příspěvky výpočetní problém PBC
3. PRINCIP MAXIMÁLNÍ VĚROHODNOSTI
5.1 Vlnová funkce 5 Úvod do kvantové mechaniky 5.2 Operátory
Základy mechaniky tekutin a turbulence
Studium dynamiky jádro-jaderných srážek pomocí korelační femtoskopie na experimentu STAR Jindřich Lidrych.
6 Kvantové řešení atomu vodíku a atomů vodíkového typu
Konstanty Gravitační konstanta Avogadrova konstanta
Každý z nábojů na povrchu tvoří uzavřenou proudovou smyčku.
Jan Čebiš Vývoj modelu atomu.
Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 X Klasická-kvantová korespondence ve fázovém prostoru lekce (X)
Modely atomů.
Elementární částice Leptony Baryony Bosony Kvarkový model
Relace neurčitosti Jak pozorujeme makroskopické objekty?
Základy vlnové mechaniky - vlnění
1 Registrovaná (detekovaná) intenzita Polarizační faktor  22  z =  /2-2   y =  /2 x z Nepolarizované záření.
TMF045 letní semestr 2005/2006 II Časová propagace vlnové funkce na mřížce I. (práce s momentovou reprezentací) (Lekce II)
Předmět: Počítačová grafika 1 (PGRF1) Přednáška č
Vypracovala: Bc. SLEZÁKOVÁ Gabriela Predmet: HE18 Diplomový seminár
VII. Neutronová interferometrie II. cvičení KOTLÁŘSKÁ 7. DUBNA 2010 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr
Harmonická analýza Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T má periodu T perioda základní frekvence vyšší.
Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 IV Časová propagace vlnové funkce na mřížce III. (propagační metody) (Lekce IV)
Fázové rovnováhy Fáze je homogenní část soustavy oddělená od ostatních fází rozhraním, v němž se vlastnosti mění nespojitě – skokem. Soustavy s dvěma fázemi:
IX. Vibrace molekul a skleníkový jev KOTLÁŘSKÁ 23.DUBNA 2008 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr
Jak vyučovat kvantové mechanice?
Fyzikální systémy hamiltonovské Celková energie systému je vyjádřená Hamiltonovou funkcí H – hamiltoniánem Energie hamiltonovského systému je funkcí zobecněné.
R OVNICE A NEROVNICE Soustava lineárních rovnic o více neznámých II. VY_32_INOVACE_M1r0114 Mgr. Jakub Němec.
Jak pozorujeme mikroskopické objekty?
Shrnutí z minula Heisenbergův princip neurčitosti
Zpomalování v nekonečném prostředí s absorpcí
Elektron v periodickém potenciálovém poli - 1D
Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 III Časová propagace vlnové funkce na mřížce II. (propagační metody) (Lekce III)
INTERFERENCE VLNĚNÍ.
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Teorém E. Noetherové v teorii pole
II. Analýza poptávky Přehled témat
Kvantová čísla Dále uvedené vztahy se týkají situací se sféricky symetrickým potenciálem (Coulombův potenciálV těchto situacích lze současně měřit energii,
2. Vybrané základní pojmy matematické statistiky
Derivace funkce Derivací funkce f je funkce f ´ která udává sklon (strmost) funkce f v každém jejím bodě Kladná hodnota derivace  rostoucí funkce Záporná.
Kvantová fyzika: Vlny a částice Atomy Pevné látky Jaderná fyzika.
5.4. Účinné průřezy tepelných neutronů
IX. Vibrace molekul a skleníkový jev cvičení
1/L ROZVOJE v PT symetrické kvantové mechanice M. Znojil plus F. Gemperle (Praha) a O. Mustafa (Famagusta)
KMITÁNÍ A VLNĚNÍ, AKUSTIKA
Str. 1 TMF045 letní semestr 2006 V Časová propagace vlnové funkce na mřížce IV. - metoda (t,t’) pro časově závislý Hamiltonián - odchozí okrajová podmínka:
Aproximace parciálních diferenciálních rovnic – Galerkinova metoda
str. 1 TMF045 letní semestr 2006 VI a VII Vlastní řešení Hamiltoniánu s komplexní energií metoda komplexního škálování.
4.2. Aplikace elementární difúzní teorie
Základy kvantové mechaniky
6.1. Fermiho teorie stárnutí
IV. KVAZISTACIONÁRNÍ STAVY a RELACE E.t   TUNELOVÁNÍ Z RESONANČNÍCH STAVŮ (-ROZPAD)
KVAZISTACIONÁRNÍ STAVY a RELACE  E.  t   WIGNER—WEISSKOPFŮV ROZPAD (Abstraktní Andersonův Hamiltonián) III.
VIII. Vibrace víceatomových molekul cvičení
VI. Neutronová interferometrie cvičení KOTLÁŘSKÁ 11. DUBNA 2012 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr
6 Kvantové řešení atomu vodíku a atomů vodíkového typu 6.2 Kvantově-mechanické řešení vodíkového atomu … Interpretace vlnové funkce vodíkového atomu.
Paul Adrien Maurice Dirac 3. Impulsní charakteristika
5.4 Časově nezávislá Schrödingerova rovnice 5.5 Vlastnosti stacionární vlnové funkce 5.6 Řešení Schrödingerovy rovnice v jednoduchých případech Fyzika.
5.6 Řešení Schrödingerovy rovnice v jednoduchých případech … Částice v jednorozměrné nekonečně hluboké pravoúhlé potenciální jámě Částice v.
Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY DIFERENCIÁLNÍ POČET VE FYZICE.
Úvod do databázových systémů
Harmonická analýza Součet periodických funkcí s periodami T, T/2, T/3,... je periodická funkce s periodu T má periodu T perioda základní frekvence vyšší.
Osnova Matematika pro porozumění i praxi I a II – stručná charakteristika Matematika pro porozumění i praxi III – komentovaný obsah Podrobněji k problematice.
Elektronový obal atomu
Monte Carlo Typy MC simulací
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
Metoda molekulární dynamiky
V. KVAZISTACIONÁRNÍ STAVY a RELACE E.t   TUNELOVÁNÍ Z RESONANČNÍCH STAVŮ (GREENOVY FUNKCE)
Plánování přesnosti měření v IG Úvod – základní nástroje TCHAVP
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT
Transkript prezentace:

str. 1 TMF045 letní semestr 2006 IX Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru lekce (IX - XI)

str. 2 TMF045 letní semestr 2006 IX Obsah: Cohenova třída distribucí Význam Wignerovy distribuce jako pravděpodobnosti Interference a snaha o jejich odstranění Evoluční rovnice a operátory pro Wignerovu distibuci Stacionární Schrödingerova rovnice ve fázovém prostoru Zpětná transformace z Wignerova prostoru k vlnové funkci WKB teorie z Wignerova prostoru Wignerova metoda Metoda difúzní Monte Carlo ve fázovém prostoru

str. 3 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí představa: pokoušíme se změřit pravděpodobnost, že kvantový systém má polohu q a hybnost p. kvantová neurčitost [q,p]: operátory q a p nekomutují, takže obě veličiny v principu nelze měřit současně. „smysluplné měření“ – např. měření q a p v rámci minimální neurčitosti  konkrétní definice takového měření určuje výsledné asociační pravidlo dané distribuce ve fázovém prostoru. nejpoužívanější asociační pravidla: – Weylovo … Wignerova distribuce – antinormální … Husimiho distribuce – normální – standardní a antistandardní

str. 4 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí Weylovo asociační pravidlo je dáno pomocí posuvného operátoru D: asociační pravidla distribucí Cohenovy třídy jsou obecně dána pomocí dvou posuvných operátorů: Wignerova distr.

str. 5 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí konkrétní definice: P00Qantistanda rdní 0QP0standardn í normální Husimihoantinormá lní 00PQWignerov a Weylovo PBPB QBQB PAPA QAQA DistribuceAsociační pravidlo

str. 6 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí transformační relace mezi operátory pro asociační pravidla (ty přímo souvisejí s transformačními relacemi mezi distribucemi) – každá distribuce je dána také charakteristickou funkcí f, kde platí: – odvození transformačních relací pomocí charakteristické funkce : výchozí vztah:

str. 7 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí integrální transformace: – dosazení

str. 8 TMF045 letní semestr 2006 IX Cohenova třída distribucí diferenciální transformace – z toho vyplývá:

str. 9 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce odvození běžné definice Wignerovy distribuce z formalismu pro Cohenovu třídu distribucí –úprava Weylova operátoru –využijeme identity: –dosazení do předchozí definice: –operace posuvným operátorem:

str. 10 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –Wignerova distribuce z Weylova operátoru symetrická definice v p-reprezentaci pozn.: symetrická definice v p-reprezentaci

str. 11 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce fyzikální porozumění Wignerově distribuci: –pravděpodobnost ve fázovém prostoru související s minimální neurčitostí –přesněji: „kvazipravděpodobnost“, protože se vyskytují záporné hodnoty

str. 12 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce Aproximace Wignerovy distribuce 2. řádu: –pro pochopení významu definice Wignerovy distribuce rozvineme matici hustoty podle Q do II. řádu (např. pro Gaussiáln vyjadřující částici s minimální neurčitostí tento rozvoj platí přesně)

str. 13 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –aproximativní Wignerova distribuce jako Fourierova transformace matice hustoty pro aproximaci II. řádu: –z naznačené aproximace vidíme, že Wignerova distribuce má význam jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru: –pravděpodobnost v q je dána amplitudou –pravděpodobnost v p je lokalizována v phi’, která má význam průměrné hybnosti (viz definice průtoku níže), přičemž šířka aproximované distribuce v p je dána minimální neurčitostí (srovnej případ Gaussiánu níže) –průměrný tok

str. 14 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –význam A’’ jako minimální neurčitost v p na příkladu Gaussiánu:

str. 15 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce oscilační vzor díky interferenci vzdálených částí: –rozvoj do II. řádu ukázal na význam pravděpodobnosti, nicméně po přidání vyšších řádů funkce nabývá také záporných hodnot (kvazi- pravděpodobnostní distribuce). –Wignerova distribuce bývá oscilační, přičemž důvodem je interference vzdálených obsazených částí klasického fázového prostoru pro případ čistého stavu (viz níže). –Pro případ teplotního rozdělení či ztráty koherence dojde ke zmizení záporných částí a Wignerova distribuce koresponduje s klasickou distribucí, přičemž zahrnuje také kvantovou neurčitost (viz příští lekce).

str. 16 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce interference dvou Gaussiánů –Příklad: zákl. stav dvojité jámy –jednoduchý případ dvou identických Gau. rozložených po obou stranách středu: –matice hustoty: –Wignerova distribuce je dána součtem W.d. obou Gaussiánů + interferenční člen (viz níže) x psi(x) -q 0 q0q0

str. 17 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –úprava cross-matice hustoty –FT matice hustoty... cross člen Wignerovy distr.

str. 18 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova distribuce –nákres Wign. distribuce: –rychlejší oscilace pro větší q 0 –integrací přes p získáme téměř nulové hodnoty v místě cross-termu (tj. tento člen nemá význam pravděpodobnosti) –oscilace vždy kolmé k obsazeným částem prostoru: q p -q 0 q0q0 cross-term q p

str. 19 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce pozitívně definitní –má význam pravděpodobnosti –zahrnuje 2x větší neurčitost než Wignerova distribuce (tj. 2x větší než je minimální neurčitost) –její cross-termy jsou blízké nule odvození definice z asociačního pravidla pro antinormální rozdělení –definice: –identita:

str. 20 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce –úprava operátoru pro asociační pravidlo: –Husimiho distribuce:

str. 21 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce diskuse Husimiho distribuce –lokální Fourierova transformace (toho využijeme při jejím programování) –překryv s minimálním Gaussiánem, jehož střed [q,p] je dán souřadnicemi ve fázovém prostoru – to vysvětluje její pravděpodobnostní interpretaci jako pravděpodobnost výskytu ve fázovém prostoru

str. 22 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce vztahy mezi Wignerovou a Husimiho distribucí –odvodíme charakteristické funkce pro obě asociační pravidla: –odvodíme funkci g pro integrální transformaci:

str. 23 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce –transformace z Wignerovy distribuce k Husimiho distribuci: –diskuse: –Husimiho distribuce je dána vyhlazením Wignerovy distribuce –vyhlazení Gaussiánem o minimální neurčitosti způsobí vymizení oscilujících cross-termů na Wignerově distribuci, cross-termy mají u Husimiho distribuce zanedbatelnou velikost a jsou kladné –u Husimiho distribuce se zvětší neurčitost, čímž se zhorší „rozlišení“

str. 24 TMF045 letní semestr 2006 IX Husimiho (antinormální) distribuce z Husimiho do Wignerovy distribuce: –principiálně je to možné, numericky většinou nikoliv díky omezené numerické přesnosti (vysvětlení: ztráta přesnosti pro cross-termy, které jsou u Husimiho distribuce téměř nulové)

str. 25 TMF045 letní semestr 2006 IX Kvantové střední hodnoty z distribucí nahrazení operátoru skalární funkcí ve fázovém prostoru: –důkaz pomocí rozvoje operátoru A do vyšších derivací posuvných operátorů –Distribuce Cohenovy třídy obsahují celou informaci o matici hustoty a tudíž je lze používat jako alternativní reprezentaci kvantové mechaniky (vedle matic hustoty nebo vlnových funkcí)

str. 26 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky Wignerova distribuce a reprezentace kvantové mechaniky Hamiltonián ve Wignerově reprezentaci –potenciál:

str. 27 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky –kinetický operátor Zpětná transformace (význam projekce) –zvlášť na tabuli.... Vývoj Wignerovy distribuce v čase

str. 28 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 29 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 30 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 31 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 32 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky

str. 33 TMF045 letní semestr 2006 IX Wignerova reprezentace kvantové mechaniky