Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_64 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:3.E/ třetí ročník Datum vytvoření:

Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Komplexní čísla Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Početní operace s komplexními čísly Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje potřebnou teoretickou část, ale také řešené i neřešené příklady s výsledky, včetně názorného postupu. Klíčová slova:Početní úkony s komplexními čísly: Rovnost komplexních čísel; Součet a rozdíl komplexních čísel; Součin a podíl komplexních čísel; Mocniny imaginární jednotky Druh učebního materiálu:prezentace

Početní operace (úkony) s KČ: rovnost KČ součin KČ a čísla reálného součet KČ rozdíl KČ součin KČ ( včetně mocnin imaginární jednotky ) podíl KČ

Početní operace definujeme pro: dvě komplexní čísla a = a 1 + a 2 i, b = b 1 + b 2 i (a, b  C) reálné číslo k (k  R)

I) Rovnost KČ a = b  a 1 = b 1  a 2 = b 2 (rovnají se příslušné části KČ) Příklad: Určete x, y  R tak, aby platilo a 1 = b 1 a 2 = b 2 a) +

b) c) d) e) f)

II) Součin čísla reálného a KČ k. a = k. (a 1 + a 2 i ) = ka 1 + ka 2 i Příklad: Určete k. a, je-li a = 1 – 2i,.... KČ opačné k danému  výsledkem je opět KČ reálná částimaginární část

III) Součet KČ a + b = (a 1 + a 2 i ) + (b 1 + b 2 i ) = = (a 1 + b 1 ) + (a 2 i + b 2 i ) = = (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) i  výsledkem je opět KČ reálná částimaginární část

IV) Rozdíl KČ KČ opačné k danému – a = – a 1 – a 2 i rozdíl KČ lze vnímat jako součet KČ a – b = a + ( – b ) = = (a 1 + a 2 i ) + (– b 1 – b 2 i ) = = (a 1 – b 1 ) + (a 2 i – b 2 i ) = = (a 1 – b 1 ) + (a 2 – b 2 ) i  výsledkem je opět KČ reálná částimaginární část

Příklad: Je-li a = 1 – 2i, b = – 3 + i, c = – 5 – 4i, d = – 3i, e = 7, vypočtěte: a + b = a + c + d = a – b = b – a = c – a + d – e = a + e – d – c = (1 – 2i) + (– 3 + i)= – 2 – i (1 – 2i) + (– 5 – 4i) + (– 3i)= – 4 – 9i (1 – 2i) – (– 3 + i)= 1 – 2i + 3 – i= 4 – 3i (–3 + i) – (1 – 2i) = –3 + i –1 + 2i= –4 + 3i (– 5 – 4i) – (1 – 2i) + (– 3i) – 7 = = – 5 – 4i – 1 + 2i – 3i – 7= – 13 – 5i (1 – 2i) + 7 – (– 3i) – (– 5 – 4i) = = 1 – 2i i i = i

V) Součin KČ a. b = (a 1 + a 2 i ). (b 1 + b 2 i ) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i + a 2 b 2 i 2 = = a 1 b 1 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i + a 2 b 2. ( – 1) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i – a 2 b 2 = = (a 1 b 1 – a 2 b 2 ) + (a 1 b 2 i + a 2 b 1 i ) = = (a 1 b 1 – a 2 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i  výsledkem je opět KČ reálná částimaginární část

Příklad: Je-li a = 1 – 2i, b = – 3 + i, c = – 5 – 4i, d = – 3i, e = 7, vypočtěte: a. b = a. c. d = a. b – e. c = (1 – 2i)(– 3 + i) +2 (1 – 2i)(– 5 – 4i)(– 3i) = (1 – 2i)(– 3 + i) – 7(– 5 – 4i) = = – 3 + i + 6i – 2i 2 = – 1 + 7i = (1 – 2i)(15i + 12i 2 ) – 12 = 15i – 12 – 30i i +30 = i = – 3 + i + 6i – 2i i= i +2

Mocniny imaginárního KČ Užíváme algebraické vzorce známé již ze ZŠ Příklad: Vypočtěte –9 –6+i+i

Příklad: Vypočtěte (zapište v AT).

Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

Mocniny imaginární jednotky Mocniny imaginární jednotky nabývají pouze čtyři různé hodnoty, které se opakují stále ve stejném pořadí: + 1, + i, –1, – i. Pro úpravu lze užít dva postupy. Zvažte, který je pro vás jednodušší a ten si zapište.

1. způsob:a)c) b) d)

2. způsob:a)c) b) d)

i 123 =i 217 = i 85 =i 323 = i 140 =i 196 = i 254 =i 286 = i 60 =i 405 = i 135 =i 27 = i 99 =i 132 = i 182 =i 180 = i 77 =i 65 = i 200 =i 18 = – i+ i + i– i+ 1 – 1– i – i – i + 1 – i + 1 – 1 Příklad: Určete mocniny.

= – i + i – i + i – i i 3 + i 13 + i 23 + i 33 + i 43 = i. i 2. i 3. i 4. i 5 = i + i 2 + i i 99 + i 100 = Příklad: Vypočtěte. i 15 = ( i + i 2 + i 3 + i 4 ) + ( i 5 + i 6 + i 7 + i 8 ) (i 97 + i 98 + i 99 + i 100 ) = = – i = 25. ( i + i 2 + i 3 + i 4 )= 25. 0= 0

VI) Podíl KČ POZOR!!! Aby se jednalo o podíl KČ, musí být KČ (imag. jednotka) ve jmenovateli zlomku Vyřešit podíl KČ znamená „odstranit imaginární jednotku ze jmenovatele zlomku“ – obdobná úprava jako u usměrňování zlomků (učivo 1. ročníku)  Výsledkem je opět KČ

Příklad: Vydělte KČ (zapište KČ v AT).  dělíme-li KČ ryze imaginárním 1 1 1

( )  dělíme-li KČ imaginárním (a + b).(a – b) = a 2 – b 2 ( ) 1  dělíme-li KČ imaginárním ( ) (a – b).(a + b) = a 2 – b 2 ( ) –10

Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

Použitá literatura: PETRÁNEK, O.; CALDA, E.; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 9–47 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 11–46