Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Pravděpodobnost náhodného jevu VY_32_INOVACE_M4r0114 Mgr. Jakub Němec

Pravděpodobnost Při zjišťování pravděpodobnosti je nutné si uvědomit, že lze porovnávat pouze prvky množiny možných výsledků náhodného pokusu, tzn. známe všechny možnosti, jak pokus dopadne a těchto možností je konečný počet. V případě, že všechny prvky mají stejnou možnost, že se mohou stát, pak platí, že: má–li náhodný pokus m možných výsledků a jsou–li výsledky stejně možné, pak o každém z nich tvrdíme, že má pravděpodobnost 𝟏 𝒎 . např. při hodu kostkou je stejná pravděpodobnost pro všechna čísla, že budou hozena – každý prvek má tedy pravděpodobnost 1 6 .

Pravděpodobnost V případě, že prvky nemají stejnou možnost, že mohou nastat, je nutné zaměřit se na počet stejných prvků, které se opět budou vztahovat k množině všech prvků, které mohou nastat. Tedy: má-li náhodný pokus m možných výsledků, které však mají různou mocnost q (tedy některých prvků je více, jiných méně), pak o každém z nich tvrdíme, že jeho pravděpodobnost odpovídá 𝒒 𝒎 . Musí však platit, že 𝒒 𝟏 + 𝒒 𝟐 +…+ 𝒒 𝒏 =𝒎 pro 𝒏∈ℕ, tím pádem také platí, že 𝒒 𝟏 𝒎 + 𝒒 𝟐 𝒎 +…+ 𝒒 𝒏 𝒎 =𝟏. např. v sáčku je deset míčků, z nich jsou čtyři modré a šest červených. Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnu modrý a že vytáhnu červený? modrý 4 10 = 2 5 , červený 6 10 = 3 5 . Kontrola: 4 10 + 6 10 =1.

Pravděpodobnost – Definice Mějme náhodný pokus s množinou možných výsledků náhodného pokusu 𝜴. Pravděpodobnosti 𝒑(𝝎) těchto výsledků jsou nezáporná čísla, jejichž součet je roven jedné. Pravděpodobnost jednotlivých prvků lze snadno vyjádřit pomocí procent tak, že získanou pravděpodobnostní hodnotu vynásobíme 100. Poté platí, že součet všech pravděpodobností množiny možných výsledků náhodného pokusu je roven 100%. Je nutné uvést, že při praktické realizaci samotných pokusů vám nebude vycházet přesně vypočtená hodnota pravděpodobnosti, pouze se k ní bude přibližovat. S větším počtem pokusů bude hodnota stále více odpovídat vypočtené pravděpodobnosti.

𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎: 1 2 + 3 8 + 1 8 =1⟹50%+37,5%+12,5%=100% Při řešení tohoto příkladu využijeme čistě definice pravděpodobnosti. Určíme si mocnost každého prvku a porovnáme ji s celkovým počtem prvků. Můžeme převést i na procentuální hodnoty. Pro jistotu můžeme provést kontrolu. V krabici je 400 papírů. 200 jich je nepopsaných (A), 150 popsaných z jedné strany (B) a 50 popsaných z obou stran (C). Jaká je pravděpodobnost při náhodném vytažení pro každý druh? 𝑎) 200 400 = 1 2 =𝟎,𝟓⇒𝟓𝟎% 𝑏) 150 400 = 3 8 =𝟎,𝟑𝟕𝟓⟹𝟑𝟕,𝟓% 𝑐) 50 400 = 1 8 =𝟎,𝟏𝟐𝟓⟹𝟏𝟐,𝟓% 𝐾𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎: 1 2 + 3 8 + 1 8 =1⟹50%+37,5%+12,5%=100%

Pravděpodobnost jevu Při zjišťování pravděpodobnosti jevu se nezaměřujeme pouze na prvky množiny možných výsledků náhodného pokusu, ale vybíráme z této množiny všechny prvky, které jsou jevu příznivé. Proto je pravděpodobnost jevu A (značíme 𝑷(𝑨)) definována jako součet pravděpodobností všech prvků, které jsou příznivé jevu A. V pokusu, jehož výsledky jsou stejně pravděpodobné, je pravděpodobnost jevu určena vztahem 𝒑𝒐č𝒆𝒕 𝒑ří𝒛𝒏𝒊𝒗ý𝒄𝒉 𝒗ý𝒔𝒍𝒆𝒅𝒌ů 𝒑𝒐č𝒆𝒕 𝒗š𝒆𝒄𝒉 𝒎𝒐ž𝒏ý𝒄𝒉 𝒗ý𝒔𝒍𝒆𝒅𝒌ů .

Pravděpodobnost jevu – vlastnosti Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule, tedy 𝑃 ∅ =0⇒0%. Pravděpodobnost jistého jevu je roven jedné, tedy 𝑃 Ω =1⇒100%. Pravděpodobnost jakéhokoliv jevu množiny možných výsledků náhodného pokusu musí být mezi pravděpodobností jistého a nemožného jevu, tedy 𝑃 ∅ <𝑃 𝐴 <𝑃 Ω ⇒0%<𝑃 𝐴 <100%.

součet hodnot na kostkách vyšší než šest? Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma hracími kostkami (červené a černé) bude: součet hodnot na kostkách vyšší než šest? na červené kostce vyšší hodnota než na černé? na obou kostkách bude stejná hodnota? Tento příklad lze řešit pomocí variací s opakováním, čímž zjistíme počet prvků množiny možných výsledků náhodného pokusu. Pro větší názornost je lepší si tuto množinu vypsat a posléze vybrat vhodné prvky, které jsou příznivé danému jevu. Poté již dosadíme do vzorce a zjistíme pravděpodobnost. 𝑎) Ω= 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 2,6 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5 ; 3,6 ; 4,1 ; 4,2 ; 4,3 ; 4,4 ; 4,5 ; 4,6 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,5 ; 5,6 ; 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,5 ; 6,6 𝑎) 𝑃 𝐴 = 𝑚(𝐴) 𝑚 = 21 36 = 7 12 =𝟎,𝟓𝟖𝟑⟹𝟓𝟖,𝟑%

součet hodnot na kostkách vyšší než šest? Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma hracími kostkami (červené a černé) bude: součet hodnot na kostkách vyšší než šest? na červené kostce vyšší hodnota než na černé? na obou kostkách bude stejná hodnota? Určíme si množinu možných výsledků náhodného pokusu a vybereme vhodné prvky, které jsou příznivé danému jevu. Poté již dosadíme do vzorce a zjistíme pravděpodobnost. 𝑏) Ω= 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 2,6 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5 ; 3,6 ; 4,1 ; 4,2 ; 4,3 ; 4,4 ; 4,5 ; 4,6 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,5 ; 5,6 ; 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,5 ; 6,6 𝑏) 𝑃 𝐵 = 𝑚(𝐵) 𝑚 = 15 36 = 5 12 =𝟎,𝟒𝟏𝟕⟹𝟒𝟏,𝟕%

součet hodnot na kostkách vyšší než šest? Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma hracími kostkami (červené a černé) bude: součet hodnot na kostkách vyšší než šest? na červené kostce vyšší hodnota než na černé? na obou kostkách bude stejná hodnota? Určíme si množinu možných výsledků náhodného pokusu a vybereme vhodné prvky, které jsou příznivé danému jevu. Poté již dosadíme do vzorce a zjistíme pravděpodobnost. 𝑐) Ω= 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 2,6 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5 ; 3,6 ; 4,1 ; 4,2 ; 4,3 ; 4,4 ; 4,5 ; 4,6 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,5 ; 5,6 ; 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,5 ; 6,6 𝑐) 𝑃 𝐶 = 𝑚(𝐶) 𝑚 = 6 36 = 1 6 =𝟎,𝟏𝟔𝟕⟹𝟏𝟔,𝟕%

Při řešení příkladu je nutné si uvědomit, že musíme sečíst pravděpodobnosti tří možností – žádný vadný výrobek, jeden vadný výrobek a dva vadné výrobky. Získaný součet porovnáme se všemi možnostmi, jak vytáhnout deset výrobků ze čtyřiceti. Upravíme kombinační čísla. Získáme pravděpodobnost. V továrně se vyrobí 40 výrobků denně, z nich je vždy sedm vadných. Jaká je pravděpodobnost, že při namátkové kontrole deseti výrobků budou mezi vybranými nejvýše dva vadné výrobky? 𝑃 𝐴 = 7 0 ∙ 33 10 + 7 1 ∙ 33 9 + 7 2 ∙ 33 8 40 10 = = 1∙92561040+7∙38567100+21∙13884156 847660528 = = 654098016 847660528 = 9222 11951 =𝟎,𝟕𝟕𝟐⟹𝟕𝟕,𝟐%

Při řešení tohoto příkladu je nutné si uvědomit, že máme tři druhy minerálek, z nichž budeme vybírat. Z kombinatoriky již známe řešení podobné úlohy – musíme pomocí kombinatorického pravidla součinu určit počet možností pro každou minerálku zvlášť a poté je mezi sebou vynásobit. Celkový počet všech možností, jak vytáhnout čtyři minerálky, nám určí počet prvků množiny možných výsledků náhodného pokusu. Upravíme kombinační čísla. Určíme pravděpodobnost. V bedně s dvaceti láhvemi je šest hanáckých kyselek, deset matonek a čtyři magnesie. Jaká je pravděpodobnost při vytažení čtyř lahví, že vybereme dvě magnesie, jednu matonku a jednu hanáckou kyselku? 𝑃 𝐴 = 6 1 ∙ 10 1 ∙ 4 2 20 4 = = 6∙10∙6 4845 = 360 4845 = 24 323 =𝟎,𝟎𝟕𝟒⟹𝟕,𝟒%

Úkol závěrem 1) V krabici je pět modrých, tři červené a sedm žlutých míčků. Jaká je pravděpodobnost, že vytáhnu pět míčků, z nichž budou dva modré, jeden červený a dva žluté? 2) Filip vyrábí origami. Zjistil, že z každých 15 složenin jsou čtyři nepodařené. Jaká je pravděpodobnost, že když si mezi nimi náhodně vybere tři origami, takže nejvýše dvě budou špatné? 3) Házíme dvěma různými hracími kostkami. Určete pravděpodobnost jevu, když: a) součet hodnot na kostkách bude sedm. b) alespoň na jedné kostce bude číslo pět. c) na obou kostkách bude liché číslo.

Zdroje Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2.