Geometrická posloupnost Příklady na využití

Název školy: Gymnázium Zlín - Lesní čtvrť Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0484 Název projektu: Rozvoj žákovských kompetencí pro 21. století Název šablony: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název DUM: Geometrická posloupnost Označení DUM: VY_32_INOVACE_02_2_19 Autor: Mgr. Jitka Mošťková Datum: 30. 3. 2013 Vzdělávací oblast: Člověk a příroda Vzdělávací obor: Matematika Tematický okruh: Posloupnosti a řady Ročník: 4. ročník Anotace: Praktické příklady k procvičení

Geometrická posloupnost Každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího – tento násobek se nazývá kvocient q Každý člen kromě prvního je průměrem sousedních členů Rekurentní zadání an+1 = an · q Vzorec pro n-tý člen an = a1 · qn-1 Vyjádření r-tého členu z s-tého ar = as · qr-s Součet prvních n členů sn = (a1 · qn – 1) / (q – 1)

Existuje legenda o vynálezci šachů – když předvedl svou novou hru císaři, císař se mu za ni chtěl odměnit. Vynálezce jej proto požádal, aby mu dal zrnka rýže – za první políčko na šachovnici jedno, za druhé políčko dvě, za třetí políčko čtyři, za čtvrté políčko osm… Císař byl překvapen vynálezcovou zdánlivou skromností a chtěl mu dát cennější odměnu. Spočítejte, kolik zrníček vynálezce dostal.

Počty zrníček rýže na políčcích 1, 2, 4, 8, 16, 32 … geometrická posloupnost a1 = 1, q = 2, n = 64 (tolik je na šachovnici políček) sn = (a1 · qn – 1) / (q – 1) = 1,8·1019 Vynálezce dostal 1,8·1019 zrnek rýže.

Během 4 let se počet obyvatel města zvýšil o 15% Během 4 let se počet obyvatel města zvýšil o 15%. Vypočítejte roční přírůstek.

Původně x Po 4 letech 1,15x Roční přírůstek q Po 1 roku x(1+q) Po 2 roku x(1+q)2 Po 3 roku x(1+q)3 Po 4 roku x(1+q)4 x(1+q)4 = 1,15x (1+q)4 = 1,15 q +1 = 1, 0356 q = 0, 0356 Roční přírůstek obyvatel byl asi 3,56 %.

Bakterie Escherichie coli se za příznivý podmínek dělí zhruba jedenkrát za hodinu. Kolik bakterií se namnoží za 2 dny?

Počty bakterií tvoří posloupnost 1, 2, 4, 8, 16, 32… a1 = 1, q = 2, n = 49 (první bakterie je totiž v po 0 hodinách) an = a1 · qn-1 = 1 · 248= 248 Po 2 dnech bude namnoženo 248 bakterií.

Světlo ztrácí při průchodu skleněnou deskou 5% své intenzity Světlo ztrácí při průchodu skleněnou deskou 5% své intenzity. Spočítejte, kolik desek je třeba dát na sebe, aby se intenzita snížila pod 75% původní hodnoty.

a1 = 1, q = 0,95 , n = ? Po průchodu 1. deskou 1 · 0,95 Po průchodu 2. deskou 1 · 0,952 Po průchodu 3. deskou 1 · 0,953 Po průchodu n-tou deskou 1 · 0,95n Musí platit 1 · 0,95n = 0,75 Logaritmováním spočítáme, že n = 5,6. Je třeba 6 desek, aby se intenzita snížila pod 75%.