Spojení a průnik podprostorů

Podprostor vektorového prostoru V v1, v2, …, vm jsou vektory vektorového prostoru V  v1, v2, …, vm jsou generátory vektorového prostoru W W je podprostor V

Průnik dvou vektorových podprostorů U, W nazýváme množinu těch vektorů, které patří současně do U i do W U  W = {p  V: p  U  p  W }

Spojení dvou vektorových podprostorů U, W nazýváme množinu těch vektorů s, které se dají zapsat ve tvaru s = u + w, kde u  U  w  W U + W = {s  V: s = u + w, u  U  w  W }

U, W jsou podprostory vektorového prostoru V Potom průnik U  W a spojení U + W jsou také podprostory ve V dim (U + W) = dim U + dim W – dim (U  W)  

Příklad Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány podprostory W1 (generovaný vektory u1, u2) a W2 (generovaný vektory v1, v2), kde u1 = (1, 1, 1, 0), u2 = (2, 3, 2, 1), v1 = (2, 3, 2, 3), v2 = (1, 1, 1, 2). Nalezněte dimenzi a bázi podprostoru W1, resp. W2, resp. W1 + W2, resp. W1  W2.

dim W1 = 2 bází W1 jsou vektory u1, u2 dim W2 = 2 bází W2 jsou vektory v1, v2

dimenze a báze W1 + W2 (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) (2, 3, 2, 1) (0, 1, 0, 1) (0, 1, 0, 1) (2, 3, 2, 2) (0, 1, 0, 3) (0, 0, 0, 2) (1, 1, 1, 2) (0, 0, 0, 2) (0, 0, 0, 2) dim (W1 + W2) = 3 bází W1 + W2 jsou např. vektory u1, u2, v1

dim (W1  W2) = dim W1 + dim W2 – dim (W1 + W2) dimenze W1  W2 dim (W1  W2) = dim W1 + dim W2 – dim (W1 + W2) dim (W1  W2) = 2 + 2 – 3 = 1

x  W1  W2 libovolný, potom je: báze W1  W2 x  W1  W2 libovolný, potom je: x = a1u1 + a2u2 = a3v1 + a4v2 a1(1, 1, 1, 0) + a2(2, 3, 2, 1) = = a3(2, 3, 2, 2) + a4(1, 1, 1, 2)

volíme a4 = t x = (–t, –2t, –2t, –t) báze je např. (1, 2, 2, 1) a1(1, 1, 1, 0) + a2(2, 3, 2, 1) = = a3(2, 3, 2, 2) + a4(1, 1, 1, 2) a1 + 2a2 = 2a3 + a4 a1 + 3a2 = 3a3 + a4 a1 + 2a2 = 2a3 + a4 a2 = 2a3 + 2a4 volíme a4 = t x = (–t, –2t, –2t, –t) báze je např. (1, 2, 2, 1)

Vektorový prostor se skalárním součinem

Skalární součin vektorů u, v u = (u1, u2, ..., un) , v = (v1, v2, ..., vn) k = u1 v1 + u2 v2 + …. + un vn k  R

Vlastnosti skalárního součinu uu = 12 + 22 + (–1)2 + 02 uu  0 a uu = 0  u = o u = (1, 2, –1, 0), v = (2, –1, 0, 7) uv = 1.2 + 2.(–1) + (–1).0 + 0.7 = 0 Je-li uv = 0, nemusí být u = o nebo v = o

(uv)w  u(vw) u = (1, 2, 3) v = (1, 1, 1) w = (0, 1, 2)

Velikost vektoru v v = 1 jednotkový (normovaný) vektor

Spočítejte velikost vektoru udejte příklad vektoru dimenze 3, jehož velikost je 1

jednotkový vektor v0 u = (1, 1, 1) u = 3

u, v vektory aR a.v = a.v

Schwarzova nerovnost

v intervalu existuje jediné číslo  úhel vektorů u, v v intervalu existuje jediné číslo 

u a v jsou kolmé (ortogonální) u v  uv = 0 Nulový vektor je kolmý ke všem vektorům z vektorového prostoru se skalárním součinem (v.o = 0). Nenulový vektor nemůže být kolmý sám k sobě (uu > 0). Nulový vektor je jediný, který je kolmý sám k sobě.

Jsou zadané vektory ortogonální? Ano (2, 3, –2) a (1, –1, 3) Ne

ortogonální systém vektorů v1, v2, …, vn jsou vektory z vektorového prostoru se skalárním součinem vi  vj pro i  j, kde i, j = 1, 2, …, n tedy vi.vj = 0 pro všechna i  j

Tvoří vektory u1, u2, u3 ortogonální systém vektorů? (2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0 (2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0 (1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0

Nenulové vektory každého ortogonálního systému jsou lineárně nezávislé.

Ortogonální báze Ortogonální systém, který obsahuje n nenulových vektorů, tvoří bázi vektorového prostoru, jehož dimenze je n.

Příklady ortogonálních bází Dva vektory v rovině, které jsou na sebe kolmé (v geometrickém slova smyslu) Tři vektory v prostoru, které jsou navzájem kolmé Kanonická báze vektorového prostoru

Gram – Schmidtův ortogonalizační proces Z každé báze ve vektorovém prostoru se skalárním součinem V lze vytvořit ortogonální bázi.

Ortogonalizujte bázi v1 = (2, 1, –1), v2 = (5, 0, –2), v3 = (2, –4, 6) Jedná se skutečně o bázi? (2, 1, –1) (2, 1, –1) (2, 1, –1) (5, 0, –2)  (0, –5, 1)  (0, –5, 1) (2, –4, 6) (0, –5, 5) (0, 0, 4) Vektory v1, v2, v3 jsou lineárně nezávislé a tedy tvoří bázi třírozměrného vektorového prostoru.

Hledanou ortogonální bázi označíme u1, u2, u3 Položíme u1 = v1 tedy u1 = (2, 1, –1) u2 = a1u1 + v2 u2 u1 = a1u1 u1+ v2 u1 0 = 6a1 + 12 a1 = –2  u2 = (1, –2, 0)

u3 = b1u1 + b2u2 + v3 u3 u1 = b1u1 u1 + b2u2 u1 + v3 u1

Tvoří vektory u1, u2, u3 ortogonální bázi? (2, 1, –1) (2, 1, –1) (1, –2, 0)  (0, 5, –1) (2, 1, 5) (0, 0, 6) (2, 1, –1). (1, –2, 0) = 0 (2, 1, –1). (2, 1, 5) = 0 (1, –2, 0). (2, 1, 5) = 0

Ortonormální systém vektorů je ortogonální každý její vektor je normovaný

Ortonormální báze Ortonormální systém, který obsahuje n vektorů, tvoří bázi vektorového prostoru, jehož dimenze je n.

ortogonální množina  ortonormální báze každý vektor ui vydělíme jeho velikostí nulový vektor vynecháme

ortogonální množina může obsahovat nulový vektor ortonormální množina nemůže obsahovat nulový vektor ortogonální množina je lineárně nezávislá pouze tehdy, když neobsahuje nulový vektor ortonormální množina je vždy lineárně nezávislá

Ortonormální báze Kanonická báze Báze (2, 2, –1), (2, –1, 2), (–1, 2, 2) není ortonormální (je ortogonální) Ortonormální báze vznikne, jestliže každý vektor báze vydělíme jeho velikostí: ⅓(2, 2, –1), ⅓(2, –1, 2), ⅓(–1, 2, 2)