MATEMATIKA Obsah přednášky. - 2. Funkce. 3. Limita funkce 4. Derivace funkce 5. Průběh funkce 1 proměnné, motivační příklady 6. Lineární algebra Klasifikace u zkoušky: klasifikace: x je dosažené procento úspěšnosti: x < 55, známka 4 55  x < 65, známka 3 65  x < 70, známka 2- 70  x < 80, známka 2 80  x < 90, známka 1- x  90, známka 1

Literatura. Dostálková I. Matematika 0, BF JU, Č. Budějovice,1992. Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia. Základní poznatky, 2008 Charvát J., Zhouf J. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice, 2008 Hrubý D, Kubát J. Matematika pro gymnázia. Diferenciální a integrální počet, 2008 Kočandrle M., Boček L. Matematika pro gymnázia. Analytická geometrie, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Funkce, 2008 Odvárko O. Matematika pro gymnázia. Goniometrie, 2008 Internetové odkazy. http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/MI.html http://mathonline.fme.vutbr.cz/ http://www.mojeskola.cz/ http://www.ft.utb.cz/czech/um/studium/sbirka.htm http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika.alej http://maths.cz/mapa-webu/ss-matematika.html

OPAKOVÁNÍ toho, co byste měli umět. výroky, množiny operace s reálnými čísly absolutní hodnoty, relace mezi nimi Výroky, množiny. Výrok je sdělení, u něhož mohou nastat pouze 2 možnosti: pravda, nepravda. Množina je soubor prvků určité vlastnosti. Výroky. V1 je zataženo V2 prší Operace s výroky. je zataženo a současně prší  konjunkce  (V1  V2) = (V1 a V2) = (V1 and V2) je zataženo nebo prší  alternativa  (V1  V2) = (V1 nebo V2) = (V1 or V2) když je zataženo, prší  implikace  (V1  V2) zataženo je právě, když prší  ekvivalence  (V1  V2) neprší  negace  ( V1) = (V1’) = (not V1)

Tabulky pravdivostních hodnot. V1 … mléko obsahuje vápník V2 … mléko obsahuje chlorofyl V1 ˄ V2 …mléko obsahuje vápník a chlorofyl Výrok je nepravdivý. V1 ˅ V2 …mléko obsahuje vápník nebo chlorofyl Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje chlorofyl, pak obsahuje vápník. Výrok je pravdivý. Jestliže mléko obsahuje vápník, pak obsahuje chlorofyl. Výrok je nepravdivý.

Krávy létají jen tehdy, když kapr je savec. Výrok je pravdivý. ¬ V1 … mléko neobsahuje vápník Výrok je nepravdivý. ¬ V2 … mléko neobsahuje chlorofyl Výrok je pravdivý. Příklad. Negace konjunkce výroků V1 a V2. tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1/  V2 / )  (V1  V2)/ p n

Příklad. Negace implikace mezi výroky V1 a V2. tautologie V1 V2 V1  V2 (V1  V2)/ (V1 ˄ V2 / )  (V1  V2)/ p n Příklad. Negace ekvivalence mezi výroky V1 a V2.

Množiny. Způsoby definice množiny M: M = {0, 2, 4, 6, 12} konečná množina zadaná výčtem prvků M = {0, 1, 2, 3, ...} nekonečná množina M = {x splňující určité vlastnosti} množina zadaná vlastnostmi prvků x  M x patří do množiny M 0  {0, 2, 4, 6, 12} x  M x nepatří do množiny M 1  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A je podmnožinou množiny M {0, 2}  {0, 2, 4, 6, 12} A  M A není podmnožinou množiny M {1, 3} {0, 2, 4, 6, 12} Definice. Nechť A a B jsou množiny. Pak A  B právě, když pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Struktura definice. předpoklad (za jakých podmínek platí) závěr (čeho se definice týká)

A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Příklad. A = B právě, když A je podmnožinou B a současně B je podmnožinou A. Z negace konjunkce plyne, že A ≠B právě, když (A není podmnožinou B) NEBO (B není podmnožinou A). Speciální množiny.  prázdná množina = množina neobsahující žádný prvek N množina přirozených čísel = {1, 2, 3, 4, ...} Z množina celých čísel = {...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Q množina racionálních čísel = {p/q, kde p Z, q  N } R množina reálných čísel = všechny “body přímky“. Kvantifikátory.  pro každý “pro každý prvek množiny A platí, že je prvkem množiny B.“  existuje “existuje (alespoň jedno) číslo, které nepatří do množiny N.“ Poznámky.  prázdná množina {} množina obsahující 1 prvek, prázdnou množinu {x}  R jednoprvková množina je podmnožinou množiny reálných čísel x  R prvek množiny reálných čísel

Operace s množinami. Nechť A a B jsou množiny. Pak Průnik množin: A  B = {x; x A a současně x B }. Jestliže A B = , množiny se nazývají disjunktní. Sjednocení množin: A  B = {x; x A nebo x B }. Doplněk množiny A’ = {x; x  A} Rozdíl množin: A - B = {x; x A a současně x  B} A B AB = (A-B)(B-A)(AB), při tom (A-B)  (B-A) =  a současně (A-B)  (AB) =  a současně (B-A)  (AB) = . Říká se tomu disjunktní rozklad AB A-B AB B-A

Příklad. M A B C AC D AD AB = CB = DB = , množiny A, C, D jsou disjunktní s B D  C, současně však C  D, proto D  C.

Operace s reálnými čísly. Nechť a, b, c  R. Sčítání a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a komutativní zákon asociativní zákon jednotkový prvek Násobení ab = ba (ab)c = a(bc) a.1 = a , a.(-1) = -a (a + b)c = ac + bc distributivní zákon Relace mezi reálnými čísly. ab > 0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x > -2)]  [(x < -1)  (x < -2)]  (x < -2)  (x > -1) ab < 0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] (x+1)(x+2)>0 [(x > -1)  (x < -2)]  [(x < -1)  (x > -2)]  -2 < x < -1 ab = 0  (a = 0)  (b = 0) (x+1)(x+2)= 0  (x = -2)  (x = -1) a / b > 0, b  0  [(a > 0)  (b > 0)]  [(a < 0)  (b < 0)] a / b < 0, b  0  [(a > 0)  (b < 0)]  [(a < 0)  (b > 0)] a / b = 0, b  0  (a = 0) a > 0  - a < 0.

Příklad. Pro která reálná r, s platí Příklad. Pro která reálná r, s platí

Intervaly. R = (-, + ) = {x; - < x < +  } (a, b) = {x  R; a < x < b } (a, b > = {x  R; a < x  b } Absolutní hodnoty. Nechť a  R. Absolutní hodnota čísla a je nezáporné číslo (| a |  0) definované takto: a, pro a  0 | a | = - a, pro a  0 Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Rovnice má 2 řešení: x = 2 a x = 6.

Příklad. Řešme rovnici | x – 4 | = 2 na množině <5, + ). Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Pro x > 4 je x – 4 > 0, tedy | x – 4 | = x – 4, | x – 4 | = x – 4 = 2  x = 6. Pro x < 4 je x – 4 < 0, tedy | x – 4 | = - x + 4, | x – 4 | = - x + 4 = 2  x = 2. Na množině <5, + ) má rovnice 1 řešení: x = 6. Příklad. Řešme nerovnici | x – 4 |  2. Určíme “nulové body“ všech absolutních hodnot x – 4 = 0  x = 4. Nulový bod rozdělí reálnou osu na 2 intervaly: (- , 4 >, < 4, + ). x – 4 ≤ 0 pro x  (- , 4>, tedy | x – 4 | = 4 – x  2  2  x. Tedy x  (- , 4>  < 2, + ) = < 2, 4>. x – 4 ≥ 0 pro x  <4, + ), tedy | x – 4 | = x - 4  2  x  6. Tedy x  (- , 6 >  <4 , + ) = <4, 6 >. Řešením nerovnice je tedy interval < 2, 4>  <4, 6 > = <2, 6>.

Příklad. Zjednodušte. Příklad. Řešte nerovnici. (- , -3> <-3, -2> <-2, 2> <2, 3> <3, + ) + -

 řešení neexistuje  řešení neexistuje  řešení neexistuje Úloha nemá řešení v oboru reálných čísel.

FUNKCE. Závislost délky vegetační sezóny na nadmořské výšce Přímka naznačuje, že závislost je lineární a čím větší je nadmořská výška, tím kratší je vegetační sezóna.

Definice funkce f. Nechť A, B  R. Předpis, kterým se každému x  A přiřadí nejvýše jedno y  B, y = f (x ) se nazývá reálná funkce f jedné reálné proměnné z množiny A do množiny B. D(f) = {x  R; existuje y  R tak, že y = f (x ) } je definiční obor funkce f. R(f) = H(f) = {y  R; existuje x  D(f) tak, že y = f (x ) } je obor hodnot funkce f. Poznámka. Nechť A, B  R. Kartézským součinem A x B rozumíme A x B = { [x, y], kde x  A a y  B}. Záleží na pořadí prvků ve dvojici!! Grafem funkce f rozumíme G(f) = { [x, y] A x B, kde y = f (x)}. Nechť [x, y], [m, n] A x B. [x, y] = [m, n] právě, když x = m a současně y = n.

Příklady. y2 Nejedná se o graf funkce. Existuje x takové, že k němu existují y1 a y2 tak, že y1 y2 . y1 1 [0,0] 1 x y1 Jedná se o graf funkce. Definiční obor funkce je D( f ) = R – (x1 , x2 ). 1 [0,0] x1 1 x2

Speciální typy funkcí. Nechť A, B  R. Funkce f je funkcí na množině A, jestliže D (f) = A. Funkce f je funkcí na množinu B, jestliže R (f) = B. Funkce f je funkce prostá na množině A, jestliže A  D (f) a současně pro každé dva body x1 , x2 A, x1  x2 platí f (x1)  f ( x2). Nechť f je funkce definovaná na množině A, g je funkce definovaná na množině B. Nechť f (A)  B  . Pak definujeme funkci h na množině A tak, že h( x ) = g(f( x )). f -1 se nazývá inverzní funkcí k funkci f na A  D (f), jestliže f je prostá na A  D (f) D(f -1 ) = f (A)  R( f ) a R(f -1 ) = A  D (f) [x, f(x)] = [f -1 (y), x] pro každé x  A  D (f). Poznámka. Speciálně funkce identita I ( x ) = x, x  A  R. Nechť f je funkce prostá na množině A  D (f). Označíme g = f -1. D(f -1 ) = f (A), R(f -1 ) = A. Odtud f (A)  D (g)  , g (A)  D (f)   a lze provést f -1 (f) = f (f -1) = I.

Příklad. f ( x ) = x ½, D( f ) = <0, +), R ( f ) = <0, +), g ( x ) = x 2 + 1, D( g ) = R, R ( g ) = <1, +). f ( g (x)) = (x 2 + 1)1/2 , pokud R ( g )  D( f ) . To je ale pravda. g (f (x)) = (x½)2 + 1 = x + 1, pokud R ( f )  D( g ) . To je ale pravda. Avšak f ( g (x))  g (f (x)) !!! Příklad. f ( x ) = x ½, D( f ) = <0, +), R ( f ) = <0, +), g ( x ) = - x 2 - 1, D( g ) = R, R ( g ) = (- , -1>. f ( g (x)) = ( - x 2 - 1)1/2 . R ( g )  D( f ) = (- , -1>  <0, +) = . Proto f ( g (x)) nelze provést !! g (f (x)) = - (x½)2 - 1 = - x – 1. R ( f )  D( g ) = <0, +)  R  . Proto f ( g (x)) lze provést !! Algebraické operace s funkcemi. (f + g )(x) = f ( x ) + g ( x ) , totéž pro odčítání, násobení a dělení. Při tom ale x  D ( f )  D( g ) !!!!!. f ( x ) = g ( x ) právě, když předpisy f a g se rovnají a současně D ( f ) = D( g ).

Monotonie funkcí. Nechť f je funkce definovaná na množině A. f je rostoucí na A  pro každé x, y A, x < y je f (x ) < f ( y ). f je klesající na A  pro každé x, y A, x < y je f (x ) > f ( y ). f je neklesající na A  pro každé x, y A, x < y je f (x )  f ( y ). f je nerostoucí na A  pro každé x, y A, x < y je f (x )  f ( y ).

Základní typy funkcí. Lineární funkce. y = ax + b a je směrnice přímky, určuje sklon přímky, b je posun po ose y.

Definiční obor i obor hodnot lineární funkce pro a 0 je R. Definiční obor lineární funkce pro a = 0 (konstantní funkce) je R. Obor hodnot je {b}. Grafem lineární funkce je přímka. Lineární funkce je rostoucí  a > 0 klesající  a < 0 nerostoucí  a  0 neklesající  a  0. K sestrojení grafu lineární funkce stačí určit 2 body: Pokud b ≠ 0, a ≠ 0 pak stačí určit x takové, že ax + b = 0, [0, b]. Pokud b = 0, a ≠ 0, pak [0, 0] [x, ax], kde x je libovolné různé od 0. Pokud a = 0, grafem je přímka rovnoběžná s osou x a procházející bodem [0, b].

Funkce absolutní hodnota. y = | ax + b | Pro ax + b > 0, a  0, je y = | ax + b | = ax + b, Pro ax + b < 0, a  0, je y = | ax + b | = - ax - b. y - ax - b ax + b x - b / a

Polynomy. y = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn Pokud an  0, jedná se o polynom n – tého řádu. Definiční obor polynomu je R. Polynom 0. řádu – konstantní funkce. y = a0 Polynom 1. řádu – lineární funkce. y = a0 + a1x Polynom 2. řádu – kvadratická funkce. y = a0 + a1x + a2 x2, a2  0 Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem v bodě x = - a1 / 2a2. Parabola je určena 3 body: [x , 0], [0 , y], [- a1 / 2a2, y], (pokud tyto body existují). Určit bod [x , 0] znamená vyřešit kvadratickou rovnici 0 = c + bx + a x2. Diskriminant D = b2 – 4ac. Reálné kořeny existují pouze pro D  0. x 1,2 = ( - b  D)/(2a)

Příklady.

Polynom 3. řádu. y = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3, a3  0 Příklady. Polynom stupně n může mít nejvýše n kořenů a (n – 1) vrcholů.

S rostoucím n pro pevné x: klesají hodnoty polynomu y = x n k hodnotě 0 na intervalu (0, 1). rostou hodnoty polynomu y = x n do +  na intervalu (1, +  ).

Lineární lomená funkce. y = (ax + b) / (cx + d), x  -d / c Grafem racionální funkce je hyperbola. Asymptoty hyperboly jsou x = - d / c, y = a / c

Mocninná funkce. y = x n Pro n  N se jedná o polynom. Pro – n  N se jedná o racionální lomenou funkci. n = p / q, například y = x ½.

S rostoucím n N pro pevné x: klesají hodnoty polynomu y = x - n k hodnotě 0 na intervalu (1, + ), rostou hodnoty polynomu y = x - n do +  na intervalu (0, 1).

Příklad. Přírůstek populace, který závisí na populační hustotě a který je touto populační hustotou limitován, se často popisuje funkcí r ( N ) = aN / ( N + k ), N ≥ 0. Jedná se o lineární lomenou funkci s asymptotami N = - k, r = a.

1. Rozhodněte, zda se jedná o funkce, nebo ne. a) b) Příklady k procvičení. 1. Rozhodněte, zda se jedná o funkce, nebo ne. a) b) c) , 2. Nakreslete grafy funkcí Definujte oblasti monotonie. 3. Jsou dány funkce f a g. Napište tvar funkcí h(x) = f(g(x)) a k(x)=g(f(x)). , a) f(x) = 1 – x2 g(x) = 2x b) f(x) = – x2