Matematická fyzika: disciplina nebo nástroj?

(1) Matematika v přírodních zákonech Newton - první matematický fyzik dualismus „vlna - částice“ a kvantová mechanika příroda a variačnost (2) Perspektivy principu variačnosti variační síly variační posloupnost variační problém a vazby

Matematika v přírodních zákonech Richard P. Feynman …. Přírodní zákony mají obvykle matematickou podobu. Proč lze přírodní zákony vtělit do matematického tvaru, je záhada. O smyslu bytí. AURORA, 2000

První zákon - důležitost vztažné soustavy Interakce je okamžitá a dvoučásticová Interakce určují druhou derivaci polohy Teorie fluxí - základy diferenciálního a integrálního počtu. Newton - první matematický fyzik Sir Issac Newton ( ) Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae sieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Actioni contrariam semper & equalem esse reactionem: sive corpurum duorum actiones in se mutuo semper esse equales & in partes contrarias dirigi. Phil. nat. principia math. (1687)

Dualismus „vlna - částice“ a kvantová mechanika elektron jako částiceelektron jako vlna mechanický stavstav vlnění (r, p) = (poloha, hybnost) A exp (k r –  t) k =ħ p p = ħ k 

 Hilbertův prostor  prostor stavů Skalární součin  indukované struktury Separabilita Amplitudy pravděpodobnosti

 Hermiteovské operátory  fyzikální veličiny Lineární zobrazení Experiment vede ke zjištění vlastní hodnoty A 0 operátoru Â, systém je nalezen ve vlastním stavu φ 0. Vlastní hodnoty a vektory

 Východisko Nová matematická struktura - Gel‘fandův triplet.  Problém Fyzikálně významné operátory souřadnice a impulzu nemají vlastní vektory v Hilbertově prostoru. Hilbertův prostor nestačí  Fyzikálně významný příklad Hilbertova prostoru  Fyzikálně významné operátory  Problém Hermiteovský operátor  reálné vlastní hodnoty

Fermatův princip: Světlo se šíří tak, aby z bodu A do bodu B dospělo za nejkratší dobu. B B'   A sin  sin  = n Úloha o brachystochroně: Tvar hladké skluzavky, po níž tělísko sklouzne z bodu A do bodu B za nejkratší dobu. x y t 1 t 2 < t 1 t 2 A B Příroda a variačnost  Klasické příklady variačních problémů

 Variační funkcionál  Variační princip v mechanice a teorii pole  Některé otázky variační ekvivalence triviální lagrangiány variační rovnice lokálnost a globálnost

Perspektivy principu variačnosti Richard P. Feynman Takové principy fascinují a vždy stojí za to poznat, do jaké míry jsou obecné. Přednášky z fyziky 2. FRAGMENT, 2001

Variační síly  Variačnost Odvoditelnost pohybových rovnic z variačního principu  podmínky kladené na koeficienty rovnic. Nerelativistická částice Variační síla „lorentzovského typu“ zahrnuje Lorentzovu sílu i všechny typy setrvačných sil a splňuje Maxwellovy rovnice.

Variační posloupnost Obecná matematická teorie, zahrnující odpovědi na otázky spojené s variačním problémem jako dílčí výsledky.  Exaktní posloupnost h j h j+1 G j G j+2 G

 Souvislost s variačním problémem lagrangiány triviální lagrangiány n - formy (n +1) - formy E-L formy lagrangiány triviální lagrangiány n - formy (n +1) - formy(n +2) - formy dynamické formy E-L formy H-S formy

0  0 r  d 1  r d... dd P  r 2  r d  r P+1  r N... ddd 0  Variační posloupnost a její reprezentace 00 d 1  r d... dd 2  r P  r d  r 2  r / F  r 1  r / F P  r P  r / F P E 0 E P E 2 E 1 E P- 1

 Výsledky: 1998Musilová J., Krbek M.: A note to the representation of the variational sequence in mechanics. In: Proc. 7-th Internat. Conf. on DGA. Brno, August MU Brno, 1999, Krupka D., Musilová J.: Trivial lagrangians in field theory. Diff. Geom. Appl. 9 (1998), Musilová J.: Variational sequence in higher order mechanics. In: Proc. 6-th Internat. Conf. on DGA. Brno, Aug.-September MU Brno, 1996, Krbek M., Musilová J., Kašparová J.: Representation of the variational sequence in field theory. In: Steps in Differential Geometry. Proc. Colloq. Diff. Geometry, July 2000, Debrecen, Hungary. University of Debrecen, 2001, Krbek M., Musilová J.: Representation of the variational sequence by forms. Rep. Math. Phys. - v recenzním řízení.

Perspektivy  kvantová teorie gravitace  kvantová optika  strunová teorie Rozvíjet oblasti matematiky a matematické fyziky v návaznosti na řešená fyzikální témata s cílem korektní matematické formulace při studiu fyzikální problematiky. Koncepce ÚTFA v oblasti matematické fyziky:

 Variační posloupnost: Rekonstrukce tříd z reprezentantů, interpretace sloupců ve variační posloupnosti.  Neholonomní vazby: Konstrukce variační posloupnosti.  Teorie strun, extra-dimenze a brány: Gravitace ve strunové teorii... (9 + 1) - rozměrný prostoročas. Náš svět... (3 + 1) - rozměrný prostoročas (D3-brána). Elektromagnetická interakce... vázána na D3-bránu.  Souvislost s teorií vazeb??