Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/ Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Tento projekt je spolufinancován ESF a státním rozpočtem ČR. Byl uskutečněn z prostředků projektu OP VK. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá Autorskému zákonu. Materiál je publikován pod licencí Creative Commons – Uveďte autora - Neužívejte komerčně - Nezasahujte do díla 3.0 Česko. NÁZEV MATERIÁLU: Logaritmus, věty o logaritmech, logaritmické rovnice Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2013

Logaritmus, věty o logaritmování, logaritmické rovnice

Osnova a)pojem logaritmus b)věty o logaritmech c)logaritmická rovnice d)ukázkové příklady e)příklady na procvičení včetně řešení

Logaritmus logaritmus čísla r o základu a je takové číslo v, pro které platí a v = r, kde a R + - {1} tedy log a r = v a v = r pozn.: číslo a se nazývá základ; číslu r se říká hodnota logaritmu pozn.: máme dva speciální logaritmy -> dekadický (kde základem je a = 10) log 10 6 nebo jen log 6 -> přirozený (kde základem je a = e) e = Eulerovo číslo (2, ); log e 5 nebo ln 5

Ukázkové příklady: a) log 2 8 = x použijeme znalost o logaritmu: log a r = v a v = r 2 x = 8 dostaneme exponenciální rovnici 2 x = 2 3 x = 3 b) log 3 81 = x 3 x = 81 3 x = 3 4 x = 4

Příklady na procvičení př. 1: Vyřešte x? Řešení př. 2: Vyřešte x? Řešení př. 3: Vyřešte x? Řešení př. 4: Vyřešte x? Řešení přeskočit

Řešení příkladu č.1: nebo zpět

Řešení příkladu č.2: zpět

Řešení příkladu č.3: zpět

Řešení příkladu č.4: zpět

Věty o logaritmech log a r + log a v = log a (r. v) log a r – log a v = log a (r : v) s.log a r = log a r s pozn.: pozor na log a r s ≠ (log a r) s

Logaritmické rovnice rovnice s logaritmem, u kterých se při řešení využívají logaritmické věty a platí pro ně toto: x 1, x 2 R + platí: log a x 1 = log a x 2, pak x 1 = x 2 u logaritmický rovnic musíme provádět zkoušku

Ukázkové příklady: log x + log (x + 1) = 2.log x použijeme logaritmické věty k úpravě log [x.(x + 1)] = log x 2 na obou stranách máme jeden logaritmus; odlogaritmujeme x.(x + 1) = x 2 dostaneme rovnici (lineární, kvadratickou,...) x 2 + x = x 2 x = 0 zkouška: L: log 0 + log (0 + 1) = nemusíme dál pokračovat, protože ze znalosti víme, že hodnota x logaritmu musí být R + číslo

Ukázkové příklady: /. log (x + 7) zbavíme se zlomku log (x 2 + 7) = 2.log (x + 7) použijeme logaritmickou větu k úpravě log (x 2 + 7) = log (x + 7) 2 odlogaritmuje celou rovnici x = x x + 49 napravo použijeme vzorec (a + b) 2 -14x = 42 dořešíme rovnici (lineární, kvadratickou...) x = - 3 Zk: L: log [(-3) 2 + 7] = log (9 + 7) = log 16 musíme provést zkoušku P: 2.log (-3 + 7) = 2.log 4 = log 4 2 = log 16 L = P dle zkoušky vyplývá, že řešením je x = -3

Příklady na procvičení př. 1: Řešení př. 2: Řešení př. 3: Řešení přeskočit

Řešení příkladu č.1: /. (x – 3) Zk:L: log 12 ( ) – log 12 (5 – 3) = log 12 (14/2) = log 12 7 P: log 12 7 L=P x = 5 je řešením této rovnice zpět zpět

Řešení příkladu č.2: Zk:L 1 : log 3 (0 + 1) + log 3 (0 + 3) = log log 3 3 = log 3 (1.3) = log 3 3 P 1 : log 3 3 L 1 = P 1 x 1 = 0 je řešením této rovnice L 2 : log 3 (-4 + 1) + log 3 (-4 + 3) = log 3 (-3)...  nesmí být; x 2 ≠ - 4 zpět

Řešení příkladu č.3: /. log (x + 5) Zk:L 1 : log [2.(-2) + 13] = log ( ) = log 9 P 1 : 2.log (-2 + 5) = 2.log 3 = log 3 2 = log 9 L 1 = P 1 x 1 = - 2 je řešením této rovnice L 2 : log [2.(-6) + 13] = log ( ) = log 1 P 2 : 2.log (-6 + 5) = 2.log (-1)...  nesmí být; x 2 ≠ - 6 zpět

Shrnutí logaritmus - log a r = v a v = r zvláštní logaritmy - dekadický  základ a = 10 (píšeme jen log) přirozený  základ a = e (píšeme jen ln) věty o logaritmech - používáme při řešení logaritmických rovnic log a r + log a v = log a (r.v) log a r – log a v = log a (r/v) s.log a r = log a r s

Zdroje HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. 2. vydání. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r.o., Učebnice pro střední školy. ISBN