Relace, operace, struktury

K čemu slouží relace K evidenci nějaké množiny objektů popsané pomocí jejich vlastností (atributů), viz relační algebra a relační databáze K popisu vztahů mezi objekty jedné množiny

Definice relace Relace mezi množinami A1,A2,…,An je jakákoliv podmnožina kartézského součinu A1xA2x…xAn. n-nární relace na množině A je podmnožina kartézského součinu AxAx…xA. Unární relace – vlastnost prvku Binární relace – vztah mezi dvěma prvky

Vlastnosti relací Reflexivní relace: pro každé x z A platí x R x Symetrická relace: pro každá x,y z A platí: pokud x R y, pak y R x Tranzitivní relace: pro každá tři x,y,z z A platí: pokud x R y a y R z, pak x R z

„Negativní“ vlastnosti Nesymetrická relace: existuje alespoň jedna dvojice x,y z A taková, že x R y, ale nikoli y R x (opak symetričnosti) Antisymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y a y R x, pak x=y Asymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y, pak není y R x

Úplnost relací Úplná relace: pro každá dvě x,y z A je buď x R y, nebo y R x Slabě úplná relace: pro každá dvě různá x,y z A je buď x R y, nebo y R x

Ekvivalence Relace Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence Reflexivní Symetrická Tranzitivní Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence

Uspořádání Kvaziuspořádání (může obsahovat ekvivalentní i neporovnatelné prvky) Reflexivní Tranzitivní Částečné uspořádání (mohou existovat neporovnatelné prvky, ale ne ekvivalentní) antisymetrická

Uspořádání Slabé uspořádání (mohou existovat ekvivalentní prvky, ale ne neporovnatelné) Reflexivní Tranzitivní Úplná (úplné) uspořádání Antisymetrická

Uspořádání

Známka U konečných a spočetných množin lze uspořádání a slabé uspořádání vyjádřit číselnou známkou: X R y , právě když zn(x) ≤ zn(y) U kvaziuspořádání a částečného uspořádání to nelze, potřebujeme více známek. Některé preferenční relace nelze zařadit do žádné z kategorií uspořádání (například prahová nerozlišitelnost – není tranzitivní)

Ostrá uspořádání Ostré částečné uspořádání Ostré slabé uspořádání Ostré (úplné) uspořádání Není vyžadována reflexivita

Zaznamenání relace Výčtem prvků: {(orchidej, orchidej), (orchidej, růže), (orchidej, karafiát), (orchidej, tulipán), (orchidej, fialka), (orchidej, bodlák), (růže, růže), (růže, karafiát), (růže, tulipán), (růže, bodlál), (karafiát, karafiát), (karafiát, bodlák), (tulipán, tulipán), (tulipán, bodlák), (fialka, fialka), (fialka, bodlák), (bodlák, bodlák)}.

Zaznamenání relace tabulkou

Graf relace

Hasseho diagram Jen pro tranzitivní relace

Operace Předpis, který dvěma, nebo více prvkům dané množiny přiřadí výsledek n-nární operace na množině A je (n+1)-nární relace na množině, pro kterou platí, že pokud (x1,x2,…xn,y) je v relaci a (x1,x2,…,xn,z) je v relaci, pak y=z.

Četnost (arita) operací Nulární (konstanta) Unární (funkce) Binární (klasické operace) Ternální a vyšších řádů

Vlastnosti binárních operací Úplnost: pro každá x,y existuje x ⊕ y Komutativnost: x ⊕ y = y ⊕ x Asociativita: (x⊕ y) ⊕ z = x⊕ (y⊕ z) Neutrální prvek: existuje prvek ε, pro který x⊕ε = ε ⊕ x = x Inverzní prvek: pro každé x existuje y, pro které x⊕ y = ε

Algebra Množina Systém operací Systém vlastností (axiomů), které tyto operace splňují

Pologrupa, monoid Libovolná množina Operace ⊕ Pologrupa Monoid Úplná Asociativní Monoid S neutrálním prvkem

Grupa Operace ⊕ Abelova grupa Úplná Asocoativní S neutrálním prvkem S inverzními prvky Abelova grupa Navíc komutativní

Příklady grup Přirozená čísla a sčítání Nenulová reálná čísla a násobení Permutace konečné množiny Matice daného rozměru a sčítání Pohyby Rubikovy kostky

Okruh Množina se dvěma operacemi  a  Vůči operaci  se jedná o Abelovu grupu Operace  je úplná, komutativní, asociativní, má neutrální prvek Nemusí existovat inverzní prvky vzhledem k  Platí distributivní zákon: x (y  z)=(x y) ( y z) Například celá čísla s operacemi násobení a sčítání Zbytkové třídy celých čísel po dělení číslem n.

Obor integrity Okruh Navíc neexistují netriviální dělitelé nuly, tedy pokud x,y není rovno ε, pak x  y není rovno ε. Celá čísla jsou obor integrity. Zbytkové třídy po dělení prvočíslem p jsou obor integrity. Zbytkové třídy po dělení neprvočíslem n jsou okruh, ale ne obor integrity V Z6 platí 3.2=0

Těleso Množina T se dvěma operacemi  a  T a  tvoří Abelovu grupu s neutrálním prvkem ε T-{ε} a  tvoří Abelovu grupu Vůči okruhu se navíc požaduje existence inverzních prvků k  (tedy „možnost dělit“) Příklady: zlomky, reálná čísla, komplexní čísla, zbytkové třídy po dělení prvočíslem, logické spojky AND a OR.

Svaz Množina S se dvěma operacemi  (spojení) a  (průsek) Příklady  a  jsou komutativní a asociativní Platí distributivní zákony a  (b  c) = (a  b)  (a  c) a  (b  c) = (a  b)  (a  c) Absorbce: a (b  a)=a, a (b  a)=a Idenpotence a  a = a, a  a = a Příklady Výrokové formule a spojky AND a OR Podmnožiny dané množiny a operace sjednocení a průniku Prvky částečně uspořádané množiny a operace supremum a infimum.