Determnistický chaos ? Jakub Jura Engeneering Psychology 2008 Department of Instrumentation and Control Engineering, Faculty of Mechanical Engineering, CTU in Prague, Technicka 4, Prague 6 Chaos, deterministický chaos, deklinace, atomoi, apeiron, ananké, parenklisis, teorie katastrof obrázek -3 numerická metoda: „Euler“ matlab (fixní krok) dt = 0, c1

Chaos Chaos je neuspořádanost, nepředvídatelnost, nepořádek, neexistence řádu, nahodilé chování bez zjevných zákonitostí [6]. Vychází z řeckého slova „chaos“, které znamená směsici, prázdný prostor, či nekonečnost. [13]

Deterministický chaos je chaotické chování systému, u kterého je možné odůvodněně předpokládat chování striktně deterministické.

Determinismus Východisko – atomismus Existence atomů (atomoi). Malé konečné nedělitelné částečky bez vnitřní struktury. Atomy jsou neporušitelné a neměnné pro svou tvrdost. [A 1 Díogenés Laertios] Existence prázdnoty (apeiron). Prostředí, kde se mohou volně pohybovat atomy. Počátky všeho (arché) jsou atomy a prázdno. [A 1 Díogenés Leartios] Existence řádu nutnosti (ananké). Svět je řízen „řádem nutnosti“, či jak by řekl Platón „nerozumnou přírodou“. Ananké znamená i smyčku kolem krku otroka. Ani jedna věc se neděje bez příčiny, ale vše z nějakého důvodu (logos) a nutnosti (ananké). [B 2 - AeItius]

Parenklisis Deklinace (parenklisis). Možnost atomů se trochu odchýlit od „řádu nutnosti“. Atom se uchýlí od svislé dráhy Epikúros. [A 47 - Cicero]

Deterministicky-chaotické systémy Lorentzovy rovnice Rősslerův oscilátor Duffingův oscilátor

Rősslerovy rovnice

Rősslerův oscilátor Rösslerův oscilátor je příkladem systému, kterým se říká chemické hodiny. Lze si je představit jako baňku s látkami, kde periodicky dochází k oscilacím koncentrací jednotlivých složek. Vzhledem k tomu, že každá látka má nějakou barvu, tak se v závislosti na aktuálních koncentracích zúčastněných látek periodicky mění barva roztoku a laicky by se dalo říci, že baňka bliká. Na rozdíl od mechanického oscilátoru nejsou závislé tak jako pružina na počátečním rozkmitu.

Původ Rösslerových rovnic – kinetická chemie rychlost reakce je úměrná koncentracím látek (Čím je větší koncentrace, tím jsou častější srážky a tudíž dojde i k většímu množství reakcí. )

Model reakce A+X = B+ Y A a X jsou koncentrace složek A a X. k je součinitel úměrnosti závislý na teplotě, tlaku, ale také například na účasti katalyzátorů, či v biologických systémech enzymů. Bilance

c = 0,5 Pro parametr „c“ menší než jedna je výsledek řešení Rösslerových rovnic v souladu s jejich chemickou podstatou. Pro současné nastavení parametrů a = b = 0,2 nevede nastavení parametru „c“ na hodnotu nižší než je 0,4 k stabilnímu řešení c = 1 Pro toto nastavení parametru „c“ dochází k prolnutí křivek koncentrací a soustava je Ljapunovsky stabilní. Výchylky z rovnovážného stavu jsou neustále kompenzovány homeostatickými vlivy záporné zpětné vazby. Vzniká periodický pohyb, který ovšem nemá pevnou trajektorii. Systém udržuje stabilitu v daných výchylkách a nemá tendenci k neomezenému růstu.

c = 2 Při dalším zvyšování parametru „c“ dochází k rychlejšímu přechodu na mezní cyklus. Stále zde však není a nikdy nebude pevná trajektorie, ale v tomto a mnoha dalších případech se bude trajektorie náhodně měnit v „přijatelných“ mezích. Odchylky od trajektorie ideální (v tomto systému však reálně neexistující) jsou takové, že představa a rozpoznání ideální trajektorie je velmi dobře možné. Limitní cyklus vzniká v okolí singulárního bodu typu nestabilní ohnisko. c = 3 Poprvé zde dochází ke změně stavové trajektorie, která je pro Rösslerův oscilátor typická. V časovém záznamu jednotlivých proměnných (koncentrací) jsou zřetelné dvě různé pravidelně se střídající hodnoty amplitudy na přibližně stejné vlastní frekvenci. To se ve fázové trajektorii projeví jako dvě pravidelně se střídající smyčky. Přechod do tohoto stavu proběhl přes fázi, chaosu. Proužek (toleranční pásmo), v kterém se pohybuje stavová proměnná „x“ se výrazně rozšíří již při c = 2,2.

c = 4 Dalším zvyšování parametru „c“ dochází k narůstání chaotičnosti systému. Přibývají zde další zatím pravidelně se střídající amplitudy. To má za následek rozdělení původně jednotné trajektorie do několika proužků. To je další charakteristická vlastnost Rösslerova oscilátoru, která se nazývá páskování (banding). c = 5 Zde již původně dva pravidelně se střídající cykly splývají v oblast, v které se fázová trajektorie pohybuje zcela náhodně. Po prudkém nárůstu hodnoty koncentrace „z“ (výbuch) se systém vždy ustaluje, avšak vrací se zcela náhodně na vnější i vnitřní „oběžnou dráhu“ (s větším či menším poloměrem od singulárního bodu).

c = 6 Systém je stále velmi chaotický, ale začíná se zde objevovat nové uspořádání, které bude zcela zřetelné až při parametru c = 8. Po každé „explozy“ koncentrace látky „z“ se amplitudy koncentrací ostatních látek výrazně sníží a během tří period narůstají na hodnotu, při které dojde opět k výbuchu a snížení jejich koncentrace. c = 7 Zde dochází k plynulým změnám amplitud. Náhlá zvýšení koncentrace látky „z“ se stále zvyšují a tím pádem se i snižují vždy po této explozi hodnoty koncentrací látek „x“ a „y“. Systém se po výbuchu vždy navrací blíže singulárnímu bodu. Toto je trend, který bude systém provázet i dále.

c = 8 Při tomto nastavení parametru je dokonáno to, k čemu systém směřuje již od hodnoty parametru c = 4. Fázová trajektorie sice není úplně stálá, ale je stálá v jistých velmi úzkých mezích. Systém prošel oblastí zcela nepředvídatelného chaosu a zaujal nový stav. Fázová trajektorie se nyní neskládá z 2 smyček jak tomu bylo při hodnotě parametru c = 3, ale z pěti smyček. Systém zde vykazuje maximum pravidelnosti a jeho chování je předvídatelné. Koncentrace látek „x“ a „z“ procházejí po výbuchu blízkostí singulárního bodu. c = 9 Další zvýšení parametru „c“ vede na fázovou trajektorii podobnou té pro parametr „c“ například pět. Je tu však významný rozdíl. Výbuchy koncentrace látky „z“ jsou mnohem častější a hlavně mnohem silnější. Jejich síla roste s nárůstem parametru „c“.To má vždy za důsledek výrazné snížení hodnot koncentrací ostatních látek.

c = 20 Stále se zvyšuje chaotičnost, respektive nepředvídatelnost řešení soustavy. Pomalu se rozrušuje pravidelnost výbuchů a tudíž i následujících snížení koncentrací látek „x“ a „y“. Toto snížení začíná být vzhledem k rostoucímu zvyšování výbuchů „z“ stále menší, což je ve fázové trajektorii vidět jako zvětšující se prázdná kruh v okolí singulárního bodu. c = 40 Další pozorovatelný jev je prodlužování doby náběhu systému do limitního cyklu. Tento náběh se prodlužuje úměrně hodnotě parametru „c“ a u vyšších hodnot tohoto parametru je významnou překážkou numerického řešení. Tato v zásadě nevýznamná iniciační fáze neúměrně prodlužuje dobu výpočtu, obzvláště při krátkém kroku numerické metody.

c = 100 Již od hodnoty parametru c = 8, kdy se povýbuchová návratová smyčka vracela přibližně přes singulární bod dochází k neustálému posouvání bodu návratu na „oběžnou dráhu“ směrem doprava a dolů. Napojení přestává být plynulé a začíná vznikat další charakteristický rys Rösslerova systému – záhyb. c = 200 Plynule se zvyšováním parametru „c“ se zvětšuje průměr fázové trajektorie, respektive její části, která tvoří limitní cyklus. Tím se prodlužuje i doba iniciace, což již bylo zmíněno výše. V této fázi (a několika předchozích) se již v chaosu formuje nový řád. Systém s touto hodnotou parametru je velmi chaotický. c = 400 Při této hodnotě parametru z chaosu po několikáté vystoupí nové uspořádání. V tomto případě se zde ještě nacházejí dvě hlavní avšak pravidelně se střídající amplitudy „x“ a „y“. To má za následek dva pásky. Výše zmíněným posouváním místa napojení na „oběžnou dráhu“ směrem doprava a dolů vzniká několik záhybů. Systém však již netvoří více smyček, ale pouze jednu. Téměř doslovně platí, že kruh se uzavírá.

Numerické řešení

Různé numerické metody numerická metoda: „Adams/gear“ matlab 4.2.c1 numerická metoda: „Adams“ matlab 4.2.c1 numerická metoda: „Euler“ matlab (fixní krok) dt = 0, c1