Aritmetické operace ve dvojkové soustavě, šestnáctkový součet Střední odborná škola Otrokovice Aritmetické operace ve dvojkové soustavě, šestnáctkový součet Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Miloš Zatloukal Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

Charakteristika DUM 2 Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /5 Autor Ing. Miloš Zatloukal Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-PE-CT/1-EL-4/2 Název DUM Aritmetické operace ve dvojkové soustavě, šestnáctkový součet Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 26-41-L/52 Obor vzdělávání Provozní elektrotechnika Vyučovací předmět Číslicová technika Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 15 – 16 let Anotace Výukový materiál je určený k frontální výuce s doplňujícím výkladem vyučujícího; náplň: aritmetické operace ve dvojkové soustavě, šestnáctkový součet Vybavení, pomůcky Dataprojektor Klíčová slova Aritmetický součet, rozdíl, součin, podíl, operace, operand, operátor, záporný, logický, OR, XOR, exkluzívní, přenos, bit, výpůjčka, doplněk, negace, přenos. Datum 2. 7. 2013

Aritmetické operace ve dvojkové soustavě, šestnáctkový součet Obsah tématu Aritmetické operace s dvojkovými čísly - součet - rozdíl - metoda s prvním doplňkem - metoda se druhým doplňkem - součin Aritmetické operace s šestnáctkovými čísly - součet

Aritmetické operace s dvojkovými čísly: - součet - rozdíl - součin - podíl Z důvodů co největšího zjednodušení matematických operací pro jejich vykonání počítačem (procesorem), půjde o převod jiných operací na aritmetický součet. Co je to operace? Je definována svým názvem a určuje co bude s jednotlivými čísly (říkáme jim operandy) provedeno. Znaménku mezi operandy se říká operátor (+, -, *, -x, /-:). Např. čísla přidáváme – zvětšení výsledku – součet čísla odebíráme – zmenšení výsledku – rozdíl

Aritmetické operace s dvojkovými čísly – pokračování A co zbylé 2 základní aritmetické operace? Součin – jde vlastně o opakované sčítání Podíl – jde vlastně o opakované odečítání Pozn. 1: Protože rozdíl dvou čísel je možné vyjádřit jako přičtení záporného čísla, můžeme tvrdit, že v případě rozdílu, součinu, podílu dvojkových čísel, půjde vždy o součet těchto dvou čísel. Pozn. 2: Jaký je rozdíl mezi logickým součtem (OR) a aritmetickým součtem pro 2 čísla (obecně proměnné – značeny např. A, B nebo a, b)? Jak je vidět z následující tabulky, liší se jen v posledním řádku, kdy pro 2 jedničky není výsledek 1 ale nula.

Součet dvojkových čísel Aritmetickému součtu je místo logické funkce OR bližší logická funkce XOR – ale je nutný přenos do následujícího (také vyššího) řádu. Číslice dvojkového čísla tvoří určitou skupinu – jednotlivé číslice (nuly a jedničky) označujeme jako bity. A B A+B A  B OR (logický) aritmetický XOR (exkluzivní) 1 0, přenos 1

Součet dvojkových čísel – pokračování Součet dvou bitů Až na součet dvou jedniček je to stejné jako v desítkové soustavě. 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (nula a přenos 1 do vyššího řádu 21 = 2) (10)2 = (2)10 Pokud jde o sčítání více bitů, taková potřeba nastává velmi často – např. už při součtu dvou vícebitových čísel (bit An + bit Bn + Cn (přenos) – viz hardwarové sčítačky), dále při metodě násobení realizované pomocí operace sčítání.

Součet dvojkových čísel – pokračování Součet dvou vícebitových čísel Příklad 1 – čtyřbitová čísla V tomto případě nastal přenos do vyššího řádu v každém bitu kromě nejvyššího. Příklad 2 – sedmibitová čísla 16 8 4 2 1 Desítkově Č 1 13 + Č 2 +11 Součet 24 128 64 32 16 8 4 2 1 Desítkově Č 1 87 + Č 2 +107 Součet 194

Rozdíl dvojkových čísel Rozdíl dvou bitů Až na rozdíl nula mínus jedna je to stejné jako v desítkové soustavě. 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 (a přenos 1 do nižšího řádu – tzv. výpůjčka) 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 Při praktickém řešení odečítání dvou dvojkových vícebitových čísel se používají 2 metody – jde také o jednodušší postup z hlediska hardwarové realizace metoda prvního doplňku metoda druhého doplňku Jde vlastně o přičtení záporného čísla (tzv. doplňku)

Rozdíl dvojkových čísel – pokračování Co to je doplněk dvojkového čísla? Je to jeho negace – inverzní číslo, které vznikne prohozením nul a jedniček navzájem. Počet bitů doplňku se určuje podle bitů čísla k němuž doplněk tvoříme nebo raději podle dohody - tabulka Pozn. čísla 1 až 255 jsou v desítkové soustavě Příklad: Určete doplněk k číslu 1011 – negací získáme doplněk – označujeme ho jako tzv. první doplněk 0100 (D11) Čísla Počet bitů doplňku 1 až 15 4 16 až 255 8 Číslo 1 1. Doplněk – D11 +1 2. Doplněk – D21

Rozdíl dvojkových čísel – pokračování Z příkladu je vidět, že druhý doplněk k číslu vznikne přičtením jedničky k prvnímu doplňku zadaného čísla. Postup pro odečtení dvou dvojkových čísel (metoda s prvním doplňkem) Odečítání dvou čísel C1 – C2 = C1 + D11 + úprava = R C1 – první číslo (menšenec) C2 – druhé číslo (menšitel) D11 – doplněk k C1 R – rozdíl Zadání převedeme na rovnici C1 + D11 (k C1) a po úpravě tohoto dílčího součtu získáme požadovaný rozdíl. Úprava spočívá v přesunu nejvyššího bitu součtu o řádek níž na pozici nejnižšího bitu a jeho přičtení k předchozímu součtu. Příklad: Ve dvojkové soustavě odečtěte metodou s prvním doplňkem (D11) dvě desítková čísla 25 a 3.

Rozdíl dvojkových čísel – pokračování – metoda s prvním doplňkem Příklad: Ve dvojkové soustavě odečtěte metodou s prvním doplňkem (D11) dvě desítková čísla 25 a 3. 1) Převod 2) Úprava Č2 = sjednocení počtu bitů (u Č2 podle Č1), negace Č1 = D11 (1. doplněk) Soustava Č1 Č2 Desítková 25 3 Dvojková 11001 11 Č2 11 Doplněno nulami zleva 00011 D11 (negace) 11100

Rozdíl dvojkových čísel – pokračování – metoda s prvním doplňkem 3) Součet Č1 a D11 4) Úprava součtu = přesun a přičtení přesunutého bitu 25 – 3 = 22, ve dvojkové soustavě pak 11001 – 11 = 10110 Zkouška: (1 0 1 1 0)2 = 16 + 4 + 2 = 22, tedy (1 0 1 1 0)2 = (22)10 16 8 4 2 1 Č1 11001 + D11 11100 Součet 110101 Úprava 10101 Přesunutý bit +1 Výsledek 10110

Rozdíl dvojkových čísel – pokračování – metoda se druhým doplňkem Víme, že druhý doplněk k číslu vznikne přičtením jedničky k prvnímu doplňku zadaného čísla. Postup pro odečtení dvou dvojkových čísel (metoda se druhým doplňkem) Odečítání dvou čísel C1 – C2 = C1 + D21 + úprava = R C1 – první číslo (menšenec) C2 – druhé číslo (menšitel) D21 – druhý doplněk k C1, kde D21 = D11 + 1 R – rozdíl Příklad bude stejný jako minule: Ve dvojkové soustavě odečtěte metodou se druhým doplňkem (D21) dvě desítková čísla 25 a 3.

Rozdíl dvojkových čísel – pokračování – metoda se druhým doplňkem Příklad: Ve dvojkové soustavě odečtěte metodou se druhým doplňkem (D21) dvě desítková čísla 25 a 3. 1) Převod 2) Úprava Č2 = sjednocení počtu bitů (u Č2 podle Č1), negace Č2 = 1. doplněk (D11), přičtení jedničky = D21 = 2. doplněk (D21 = D11 + 1) Soustava Č1 Č2 Desítková 25 3 Dvojková 11001 11 Č2 11 Doplněno nulami zleva 00011 D11 (negace) 11100 D21 = D11 + 1 +1 D21 (druhý doplněk) 11101

Rozdíl dvojkových čísel – pokračování – metoda s druhým doplňkem 3) Součet Č1 a D21 4) Úprava součtu = škrtnutí nejvyššího bitu (jde vlastně o přenos, který se neuvažuje) 25 – 3 = 22, ve dvojkové soustavě pak 11001 – 11 = 10110 Zkouška: (1 0 1 1 0)2 = 16 + 4 + 2 = 22, tedy (1 0 1 1 0)2 = (22)10 16 8 4 2 1 Č1 11001 + D21 11101 Součet 110110 Úprava (škrtnutí nejvyšší jedničky) Výsledek 10110

Součin dvojkových čísel Součin dvou bitů Je stejný jako v desítkové soustavě. 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 0 Podobně jako se v desítkové soustavě násobí pod sebou 2 čísla, děje se to i zde Komplikovanější je ale přenos do vyššího řádu, protože může jít o součet více jedniček (3 a více). 1+1 = 10 (2: nula, přenos jedna jednička) 1+1+1 = 11 (3: jedna, přenos jedna jednička) 1+1+1+1 = 100 (4: nula, přenos dvě jedničky = 10) 1+1+1+1+1 = 101 (5: jedna, přenos dvě jedničky = 10) 1+1+1+1+1+1 = 110 (6: nula, přenos tři jedničky = 11) 1+1+1+1+1+1+1 = 111 (7: jedna, přenos tři jedničky = 11)

Součin dvojkových čísel - pokračování Příklad: vynásobte ve dvojkové soustavě desítková čísla 7 * 5 Řešení: převod do dvojkové soustavy 7 * 5 = 111 * 101 Výsledek: (100011)2 = 32*1 + 2*1 + 1*1 = (35)10, tedy 111 * 101 = (100011)2 Pozor: násobíme zprava doleva (směrem k vyšším řádům), s každým dalším bitem posouváme dílčí součin (B, C) o 1 pozici doleva, v takto dvou vzniklých prázdných polích si představíme nuly (- = 0) Z příkladu je patrné, že jde o realizaci součinu pomocí sčítání. Č 1 = 7 1 Č2 = 5 * 1 * 111 = A 0 * 111 = B - 1 * 111 = C Součin = A+B+C 32 16 8 4 2

Součet šestnáctkových (hexadecimálních) čísel Je velmi podobný součtu čísel v desítkové soustavě, ale je nutné upozornit na několik skutečností: 1) Šestnáctková soustava kromě číslic 0 až 9 používá též znaky A až F, kde A = 10, B = 11 … F = 15 – píšeme písmena, ale počítáme s jejich číselnými hodnotami 2) Dílčí součet má tyto varianty Součet Příklad Výsledek <= 9 3+4 = 7 součet, přenos = 0 součet > = 10 a <= 15 3+9 = 12 písmeno ( 12 = C), přenos = 0 součet > = 16 3+E(14) = 17 17-1*16 = součet 1, přenos 1 součet mínus n*16, přenos = n, kde n = 1,2 …

Součet šestnáctkových (hexadecimálních) čísel – příklad Příklad: Sečtěte 2 šestnáctková čísla: Zadání: Řešení: D384 + EF35 = 1C2B9, vše jsou šestnáctková čísla Č1 D 3 8 4 Č2 E F 5 13(D) 3 8 4 14(E) 15(F) 5 1 C(12) 2 B 9 Popis P 1(P)+13+14=28 3+15=18 8+3=11, píšeme B 4+5=9 28-16 = 12, píšeme C, přenos (P) = 1 18-16 =2, přenos (P)1

Kontrolní otázky Aritmetickému součtu dvojice bitů je nejbližší logická funkce AND OR XOR 2. U které metody pro rozdíl dvou dvojkových čísel Č1 – Č2 pomocí doplňku čísla Č2 není nutná úprava mezivýsledku (součtu) U metody prvního doplňku (M1D) U metody druhého doplňku (M2D) U žádné, určitá úprava je nutná vždy 3. Součet více bitů 1+1+1+1 dává výsledek 11 (jedna, přenos jedna jednička) 100 (nula, přenos dvě jedničky) 101 (jedna, přenos dvě jedničky)

Kontrolní otázky – správné odpovědi – červeně Aritmetickému součtu dvojice bitů je nejbližší logická funkce AND OR XOR 2. U které metody pro rozdíl dvou dvojkových čísel Č1 – Č2 pomocí doplňku čísla Č2 není nutná úprava mezivýsledku (součtu) U metody prvního doplňku (M1D) U metody druhého doplňku (M2D) U žádné, určitá úprava je nutná vždy 3. Součet více bitů 1+1+1+1 dává výsledek 11 (jedna, přenos jedna jednička) 100 (nula, přenos dvě jedničky) 101 (jedna, přenos dvě jedničky)

Seznam obrázků:

Seznam použité literatury: [1] Matoušek, D.: Číslicová technika, BEN, Praha, 2001, ISBN 80-7232-206-0 [2] Blatný, J., Krištoufek, K., Pokorný, Z., Kolenička, J.: Číslicové počítače, SNTL, Praha, 1982 [3] Kesl, J.: Elektronika III – Číslicová technika, BEN, Praha, 2003, ISBN 80-7300-075-X

Děkuji za pozornost 