PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Úvod, kombinatorika RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-215, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056

Je zakončen zápočtem, za který jsou přiděleny 2 kredity. -------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 2/16 Předmět Pravděpodobnost a matematická statistika je vyučován v rozsahu 24 hodin: 6/7 přednášek a 6 cvičení, 24h samostatné práce (studium literatury, výpočty, domácí úlohy). Je zakončen zápočtem, za který jsou přiděleny 2 kredity. Základní literatura: Kropáč, J.: Úvod do počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky. S-2546. 2.vyd., Vojenská akademie v Brně, 2001. Mayerová, Š.: Probability and Statistics. S-3503. Brno: University of Defence, 2012. Lešovský, V.: Statistické tabulky. S-9064. 1. vyd. Brno: Univerzita obrany, 2005.

Doporučená literatura: -------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 3/16 Doporučená literatura: Likeš, J., Machek, J.: Počet pravděpodobnosti. S-2670/10. 1. vyd. Praha: SNTL, 1981. Likeš, J., Machek, J. Matematická statistika. S-2670/11. 1. vyd. Praha: SNTL, 1983. Další odkazy a materiály: http://mathonline.fme.vutbr.cz/Matematika-IV/sc-108-sr-1-a- 120/default.aspx http://www.unob.cz/fvt/struktura/k215/Stranky/RP-e- NM.aspx

Program přednášek a cvičení: -------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 4/16 Program přednášek a cvičení: Základní pojmy a modely pravděpodobnosti. Podmíněná pst, nezávislost jevů, vzorec úplné psti a Bayesův vzorec. Náhodná veličina. Diskrétní a spojité náhodné veličiny a jejich distribuční funkce a číselné charakteristiky. Nejdůležitější diskrétní a spojitá rozdělení. Zákon velkých čísel, centrální limitní věta. Náhodné vektory, kovariance a koeficient korelace. Statistika, základní zpracování datového souboru. Bodové a intervalové odhady parametrů. Testování statistických hypotéz.

Získání alespoň 50/100 bodů. Body lze získat za: -------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------- 5/16 Požadavky k zápočtu: Účast na cvičeních je povinná (jinak student předloží potvrzení o absencích od velitele či lékaře). Získání alespoň 50/100 bodů. Body lze získat za: písemnou práci + test z teorie mimo cvičení patrně ve dnech 25.-29.5. , 90‘, 5 příkladů á 14 b. + 10 otázek á 2 b. … max. 70+20 bodů …… max. 90 bodů domácí úlohy průběžně odevzdáv. na cvič., 20 úloh á 0,5 b. … max. 10 bodů V případě, že student nezíská alespoň 50 bodů do začátku zkouškového období, tj. do 29.5.2015, bude moci zápočet získat dodatečně, pokud úspěšně napíše opravnou písemnou práci a test z teorie.

Základy kombinatoriky -------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 6/16 Základy kombinatoriky Doporučená literatura: Potůček, R.: Vybrané partie ze středoškolské matematiky II. S-2161/2. I. vydání, UO Brno, 2004. 13. kapitola, s. 113-134. Potůček, R.: Sbírka řešených úloh ze středoškolské mate- matiky II. S-3655/II. I. vyd., UO Brno, 2006. 13. kap., s. 85-96. Z historie kombinatoriky Kombinatorika jako matematická disciplína vznikla v průběhu 17. století v souvislosti s loteriemi, karetními hrami a hrou v kostky. Zabývali se jí např. B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), J. Bernoulli (1654-1705) a L. Euler (1707-1783).

Základní kombinatorické principy -------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 7/16 Základní kombinatorické principy Kombinatorické pravidlo součinu: Počet všech uspořádaných 𝑘-tic, jejichž první člen lze vybrat 𝑛 1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu 𝑛 2 způsoby atd. až 𝑘-tý člen po výběru všech předcházejících členů 𝑛 𝑘 způsoby, je roven součinu 𝑛 1 ∙ 𝑛 2 ∙⋯∙ 𝑛 𝑘 . Kombinatorické pravidlo součtu: Jsou-li 𝐴 1 , 𝐴 2 , …, 𝐴 𝑛 konečné množiny, které mají po řadě 𝑝 1 , 𝑝 2 , …, 𝑝 𝑛 prvků, a jsou-li každé dvě z těchto množin disjunktní, pak počet prvků množiny 𝐴 1 ∪ 𝐴 2 ∪⋯∪ 𝐴 𝑛 je roven součtu 𝑝 1 + 𝑝 2 +⋯+ 𝑝 𝑛 .

-------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 8/16 Příklad: Určete počet všech dvojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se vyskytují různé číslice. Na místě desítek může být 9 číslic (1,2,…,9, ale nikoliv 0), na místě jednotek také 9 číslic (0,1,…,9, kromě číslice na pozici desítek). Podle kombinatorického pravidla součinu je tedy počet uvažovaných dvojciferných čísel 9· 9 = 81. Všechna dvojciferná čísla lze rozdělit do dvou disjunktních skupin. V první jsou čísla s různými číslicemi a ve druhé čísla se stejnými číslicemi – je to 9 čísel (11,22,…, 99). Všech dvojciferných čísel je 90 (10,11,…,19,20,21,…,29, …, 90,91,…,99). Podle kombinatorického pravidla součtu počet všech dvojciferných čísel s různými číslicemi je rozdíl 90 – 9 = 81.

Permutace (bez opakování) -------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 9/16 Permutace (bez opakování) Permutace z 𝒏 prvků je uspořádaná 𝑛-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek je v ní právě jednou. Počet permutací z 𝑛 prvků je dán vztahem 𝑃 𝑛 =𝑛!, kde 𝑛-faktoriál je součin 𝑛!=1∙2∙3∙⋯∙ 𝑛−1 ∙𝑛. Příklad: Určete, kolika způsoby může nastoupit do řady šesti- členné volejbalové družstvo, jestliže hráči A a B nebudou stát vedle sebe. Počet řad, v nichž stojí hráči A, B vedle sebe tak, že A má B po pravici, takže oba hráče lze považovat za jediného, je 5!=5∙ 4∙3∙2∙1=120. K témuž výsledku dojdeme, má-li A hráče B po levici, takže počet řad, v nichž stojí A vedle B, je 2∙120= 240. Všech řad ze 6 hráčů je 6!=6∙5∙4∙3∙2∙1=720. Podle kombinatorického pravidla součtu je tedy 720−240= 480 řad, v nichž hráči A, B nestojí vedle sebe.

Variace (bez opakování) ------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 10/16 Variace (bez opakování) Uspořádaná 𝑘-tice sestavená z daných 𝑛 prvků tak, že každý je v ní nejvýše jednou, se nazývá variace 𝒌-té třídy z 𝒏 prvků nebo rovněž 𝒌-členná variace z 𝒏 prvků. Počet variací 𝑘-té třídy z 𝑛 prvků je dán součinem 𝑘 činitelů 𝑉 𝑘,𝑛 =𝑛 𝑛−1 𝑛−2 ⋯ 𝑛−𝑘+1 = 𝑛! 𝑛−𝑘 ! . Příklad: Určete, kolika způsoby lze ze 3 dívek a 6 chlapců sestavit taneční páry, tj. dvojice tvořené chlapcem a dívkou. Utvoříme-li z daných 6 chlapců všechny uspořádané trojice, dostaneme 3 taneční páry tak, že první chlapec z trojice bude tančit s dívkou D1, druhý s dívkou D2 a třetí s dívkou D3. Počet všech tanečních párů je tedy roven počtu uspořádaných trojic, sestavených z 6 chlapců, tj. číslu 𝑉 3,6 =6∙5∙4=120. .

Kombinace (bez opakování) ------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 11/16 Kombinace (bez opakování) Neuspořádaná 𝑘-tice sestavená z daných 𝑛 prvků tak, že každý je v ní nejvýše jednou, se nazývá kombinace 𝒌-té třídy z 𝒏 prvků nebo rovněž 𝒌-členná kombinace z 𝒏 prvků. Počet kombinací 𝑘-té třídy z 𝑛 prvků je dán kombinačním číslem 𝐾 𝑘,𝑛 = 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑛−𝑘 !𝑘! = 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)∙⋯∙(𝑛−𝑘+1) 𝑘! . Příklad: Určete, kolika způsoby lze z krabice s 20 součástkami, z nichž je 5 vadných, vybrat 4 součástky, mezi nimiž je nejvýš 1 vadná. Počet možných výběrů 4 součástek, mezi nimiž je 𝑖 vadných, označme 𝑝 𝑖 . Hledáme tedy součet 𝑝 0 + 𝑝 1 . Výběr s 1 vadnou součástkou dostaneme, když vybereme 1 vadnou součástku, což lze provést 5 1 způsoby, a k ní vybereme 3 součástky, což lze provést 15 3 způsoby, takže je 𝑝 1 = 5 1 ∙ 15 3 . Počet výběrů bez vadné součástky je 𝑝 0 = 15 4 . Hledaný počet výběrů je 15 4 + 5 1 ∙ 15 3 = 15∙14∙13∙12 4∙3∙2 + 5 1 ∙ 15∙14∙13 3∙2 = 1365+2275=3640.

Permutace s opakováním ------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 12/16 Permutace s opakováním Permutace s opakováním z 𝒏 prvků je uspořádaná 𝑛-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek je v ní aspoň jednou. Počet permutací s opakováním z 𝑛 prvků, které se opakují 𝑘 1 , 𝑘 2 ,…, 𝑘 𝑛 -krát, je dán vztahem 𝑃′ 𝑘 1 , 𝑘 2 ,…, 𝑘 𝑛 = (𝑘 1 + 𝑘 2 +…+ 𝑘 𝑛 )! 𝑘 1 ! 𝑘 2 !⋯ 𝑘 𝑛 ! , kde 𝑘 1 + 𝑘 2 +…+ 𝑘 𝑛 =𝑛. Příklad: Určete, kolika způsoby lze sestavit rychlíkovou soupravu, která má 2 vozy 1. třídy, 4 vozy 2. třídy, 2 lehátkové vozy a 1 jídelní vůz. V kolika těchto soupravách nejsou všechny 4 vozy 2. třídy za sebou? Rychlíkovou soupravu lze sestavit 𝑃 ′ 2,4,2,1 = 2+4+2+1 ! 2!4!2!1! = 9! 4∙4! =3780 způsoby. Počet souprav, kde 4 vozy 2. třídy jsou seřazené za sebou, je počet permutací z 6 prvků. Podle kombinatorického pravidla součtu je tak počet souprav, v nichž 4 vozy 2. třídy nejsou seřazené za sebou, dán rozdílem 𝑃 ′ 2,4,2,1 −𝑃 6 =3780−720=3060.

------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 13/16 Variace s opakováním Uspořádaná 𝑘-tice sestavená z daných 𝑛 prvků tak, že každý je v ní nejvýše 𝑘-krát, se nazývá variace s opakováním 𝒌-té třídy z 𝒏 prvků nebo 𝒌-členná variace s opakováním z 𝒏 prvků. Počet variací s opakováním 𝑘-té třídy z 𝑛 prvků je dán vztahem 𝑉 ′ (𝑘,𝑛)= 𝑛 𝑘 . Příklad: Trezor má heslový zámek, který se otevře, když na každém ze 4 kotoučů nastavíme správné z 26 písmen. Jak nejdéle by trvalo otevření, bez znalosti hesla, trvá-li jedno nastavení 1s ? Počet všech možných nastavení zámku je počet variací s opaková- ním 4. třídy z 26 prvků, takže existuje 𝑉 ′ 4,26 = 26 4 =456976 nastavení. Protože 456976 3600=126,93 7 , trvalo by otevření trezoru bez znalosti hesla téměř 127 hodin, tj. asi 5 dnů a 7 hodin.

Kombinace s opakováním ------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 14/16 Kombinace s opakováním Neuspořádaná 𝑘-tice sestavená z daných 𝑛 prvků tak, že každý je v ní nejvýše 𝑘-krát, se nazývá kombinace s opakováním 𝒌-té třídy z 𝒏 prvků nebo rovněž 𝒌-členná kombinace s opakováním z 𝒏 prvků. Počet kombinací s opakováním 𝑘-té třídy z 𝑛 prvků je dán kombinačním číslem 𝐾′ 𝑘,𝑛 = 𝑛+𝑘−1 𝑘 . (Může být 𝑘>𝑛.) Příklad: Určete, kolika způsoby lze koupit 8 pohlednic, jestliže na stánku mají 4 druhy pohlednic (v dostatečném počtu). Každých 8 pohlednic tvoří skupinu, v níž nezáleží na pořadí a v níž je každý ze 4 druhů pohlednic zastoupen nejvýše osmkrát. Proto existuje 𝐾 ′ (8,4)= 4+8−1 8 = 11 8 = 11! 8!3! = 11∙10∙9 6 =162 možností koupě 8 pohlednic.

Vlastnosti kombinačních čísel, Pascalův ∆ -------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 15/16 Vlastnosti kombinačních čísel, Pascalův ∆ Kombinační čísla mají tyto základní vlastnosti: 𝑛 0 = 𝑛 𝑛 =1, 𝑛 1 =𝑛, 𝑛 𝑘 = 𝑛 𝑛−𝑘 , 𝑛 𝑘 + 𝑛 𝑘+1 = 𝑛+1 𝑘+1 . Z kombinačních čísel lze sestavit tzv. Pascalův trojúhelník:

-------- Pravděpodobnost a matematická statistika – úvod, kombinatorika ------ 16/16 Binomická věta Zobecněním známých vzorců pro druhou a třetí mocninu dvojčlenu (𝑎+𝑏) 2 = 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2 , (𝑎+𝑏) 3 = 𝑎 3 +3 𝑎 2 𝑏+3𝑎 𝑏 2 + 𝑏 3 je binomická věta. Koeficienty vzniklých polynomů přitom tvoří prvky v odpovídajícím řádku Pascalova trojúhelníku: Binomická věta: Pro libovolná čísla 𝑎,𝑏 a pro každé 𝑛∈ℕ platí: (𝑎+𝑏) 𝑛 = 𝑛 0 𝑎 𝑛 + 𝑛 1 𝑎 𝑛−1 𝑏+ 𝑛 2 𝑎 𝑛−2 𝑏 2 +⋯+ 𝑛 𝑛−1 𝑎 𝑏 𝑛−1 + 𝑛 𝑛 𝑏 𝑛 . Pravá strana rovnosti se nazývá binomický rozvoj a pro kombinační čísla, jakožto koeficienty, se užívá název binomické koeficienty. 𝑘-tý člen binomického rozvoje je tvaru 𝐴 𝑘 = 𝑛 𝑘−1 𝑎 𝑛−𝑘+1 𝑏 𝑘−1 .