Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.1 Lineární a jiné funkce Auto jede rychlostí 72 km/h a začne brzdit rychlostí 4m/s. Sestrojte graf uražené dráhy v závislosti na čase a určete zápis funkce. Za každou sekundu se rychlost auta sníží o 4 m/s. Jedná se o funkci, která bude vyjádřena rovnicí  y = 20 – 4x, protože 72 km/h je 20 m/s. Její graf bude mít klesající průběh. t (s) 1 2 3 4 5 s (m) 20 16 12 8 Autor: Mgr. Marie Makovská

55.2 Co už umíme Graf přímé úměrnosti (úměry): Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.2 Co už umíme Graf přímé úměrnosti (úměry): Př.: Automobil jede průměrnou rychlostí 60 km/h. Kolik kilometrů ujede za 1, 2, 3, 4, 5, 6 hodin? Graf nepřímé úměrnosti (úměry): Př.: Sestroj graf nepřímé úměrnosti y = 1 𝑥 Čas (hod.) 1 2 3 4 5 6 Dráha (km) 60 120 180 240 300 360 x -3 -2 -1 -0,5 0,5 1 2 3 y -0,33 0,33

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.3 Nové pojmy Funkcí f nazýváme přiřazení, které každému prvku dané množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množinu D nazýváme definiční obor funkce f. Funkce f je dána: vzorcem (rovnicí) tabulkou grafem Funkci zapisujeme: f: x y, x  D (čteme: prvku x množiny D je přiřazeno funkcí f reálné číslo y) nebo: y = f(x), x  D (čteme: prvku x množiny D je přiřazeno funkcí f reálné číslo y) proměnná x = nezávisle proměnná proměnná y = závisle proměnná množina D = definiční obor (množina všech reálných čísel - x, je dána s funkcí) množina H = množina hodnot funkce (množina všech reálných čísel - y, která jsou danou funkcí f přiřazena prvkům jejího D - x) Grafem funkce f: x y, x  D nazýváme množinu všech bodů roviny, které mají souřadnice [x, y]

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.4 Lineární funkce Def.: Lineární funkce je každá funkce daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel. Grafem lineární funkce je přímka. Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, jestliže a > 0. Lineární funkce y = ax + b je klesající, jestliže a < 0. Lineární funkce y = ax + b, kde a = 0, nazýváme konstantní funkce. Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b]. x y 5 3 2 1 4 -4 -3 -2 -1 -5 x 1 2 y = 3x – 2 4 x y 5 3 2 1 4 -4 -3 -2 -1 -5 x – 2 – 1 y = – 3x – 2 4 1 x -3 4 y = 2 2 y = 3x – 2 x y -1 y = 2 1 5 4 3 2 -2 -3 -4 y = – 3x – 2

55.5 Příklady na procvičení Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.5 Příklady na procvičení Zapiš alespoň deset hodnot funkcí: 𝑦= 1 𝑥 , 𝐷=𝑅 − 0 Vyber z uvedených tabulek ty, které mohou být zadáním funkce. 3) Sestroj grafy lineárních funkcí. Df = R. a) y = – x + 3 b) y = x + 3 c) y = 6x – 2 d) y = – 6x – 2 Řešení: x -2 -1 -0,5 -0,25 -0,1 0,1 0,25 1 2 4 y -4 -10 10 0,5 x 1 2 3 4 5 y 6 9 12 15 x 1 2 3 y 4 5 x 1 2 3 4 5 y Řešení: x y y = – x + 3 y = 6x – 2 y = – 6x – 2 y = x + 3 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 5 -5 je funkce není funkce (číslu 1 a 2 jsou přiřazeny dvě hodnoty) je funkce Řešení: y = – x + 3 y = x + 3 y = – 6x – 2 y = 6x – 2 x 1 3 y 2 x -3 y 3 x -1 y 4 -2 x 1 y -2 4

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.6 Kvadratická funkce Kvadratická funkce je taková funkce, která má v zápisu argument x ve „druhé mocnině“, tzn. jako základ mocniny s exponentem rovnajícím se číslu 2. Rovnice: f: y = a 𝑥 2 , kde a ≠0 Grafem funkce je křivka, které říkáme parabola. je-li a>0, potom má kvadratická funkce vždy minimum je-li a<0, potom má kvadratická funkce vždy maximum Příklad: Narýsuj graf funkce f: y = 𝑥 2 x -3 -2 -1 1 2 3 y 9 4 Vlastnosti funkce graf – parabola D(f) = R H(f) = 0;  vrchol paraboly v bodě V[0; 0] souměrná podle osy y klesající v D(f) = (-; 0 rostoucí v D(f) = 0;  x = 0 – nejmenší hodnota fce = minimum

55.7 CLIL – Linear Functions Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Mathematics 55.7 CLIL – Linear Functions linear function = a function of the type y = f(x) = ax + b because its graph is a straight line. bod - point doplnit - complete funkce - function graf - graph hodnota - value lineární - linear nakreslit - plot, draw proměnná - value příklad - example přímka - straight line sestavit - make spojit - connect typ - type Mathematical dictionary Example: Plot the graph of a linear function: f(x) = y = 2x + 7 a graph: a table: x -3.5 -2 -1 0.5 1 2 y 3 5 7 8 9 11

55.8 TEST – Lineární a jiné funkce Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.8 TEST – Lineární a jiné funkce Na obrázku je graf funkce daný rovnicí: y = -x y= x y = 2 y = 1 + x 2) Které tvrzení je pravdivé: Grafy všech lineárních funkcí jsou přímky. Graf funkce y = -4 je přímka rovnoběžná s osou y. Grafy všech přímých úměrností jsou navzájem rovnoběžné přímky. Pro každou lineární funkci y = ax + b platí, že je-li b>0, pak je funkce rostoucí. 3) Lineární funkce je funkce, která je daná rovnicí : y = a + xb y = 𝑎𝑥 𝑏 , přičemž a, b jsou záporná čísla y = 𝑎 𝑥 + b, a,b = reálná čísla y = ax + b, a,b = reálná čísla 4) Grafem konstantní (lineární) funkce je: přímka rovnoběžná s osou x přímka nerovnoběžná s žádnou osou hyperbola parabola 5) Lineární funkce je rostoucí, jestliže: a je větší než 0 a = 0 a je menší než nula a = b 6) Urči souřadnice lineární funkce v grafu, je-li dána rovnice y = 5x + 10. A[5;0], B[0;10] A[-2;0], B[0;10] A[5;10], B[10;5] A[1;2], B[3;4] Správné odpovědi: 1b 2a 3d 4a 5a 6b Test na známku

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.9 Použité zdroje, citace Zdroje: http://dum.rvp.cz/materialy/linearni-funkce-2.html http://dum.rvp.cz/materialy/funkce-uvod.html http://dum.rvp.cz/materialy/kvadraticka-funkce.html http://webvyukacontent.olportal.cz/w-funkce-060103/Uziti_funkci.htm http://auto2.lidovky.cz/clanek_lidovky.php?id_clanek=3263 http://www.zsdobrichovice.cz/ukoly/matika/testy/testy.php?go=m9_07 http://www.rpdp.net/mathdictionary/english/vmd/full/l/linearfunction.htm http://cs.gmu.edu/cne/modules/dau/calculus/graphing_funcs/glf_frm.html

55.10 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 55.10 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník 9. ročník Klíčová slova Funkce, lineární funkce, kvadratická funkce, graf Anotace Prezentace definuje lineární a jiné funkce, vlastnosti, sestavení rovnice, tabulky, sestrojení grafu