FI-08 Mechanika tekutin 28. 3. 2007

Hlavní body Úvod do mechaniky kapalin a plynů Hydrostatika ideálních kapalin Základní rovnice hydrostatiky. Pascalův zákon. Archimédův zákon. Exponenciální atmosféra. Hydrodynamika ideálních kapalin Popis proudící kapaliny Rovnice kontinuity Zachování hybnosti a energie – Bernoulliho rovnice 28. 3. 2007

Úvod do mechaniky tekutin Tekutiny je společný název pro kapaliny a plyny. Přitažlivé síly v nich jsou kohézního charakteru. Mají společný téměř nulový modul ve smyku. Díky tomu snadno mění tvar. Kromě toho se lehce rozdělují. Na rozdíl od plynů jsou kapaliny téměř nestlačitelné. V případě, že se neprojevují efekty, které souvisí s existencí atomové struktury, lze tekutiny, podobně jako pevné látky považovat za tak zvané kontinuum – spojité prostředí. 28. 3. 2007

Hydrostatika ideální kapaliny I Hydrostatika se zabývá kapalinami nebo plyny v rovnováze, bez ohledu na to, jak a za jak dlouho k ní dojde (např. smůla na stromě). Budeme nejprve uvažovat ideální a tedy dokonale nestlačitelnou kapalinu, navíc homogenní a izotropní. Je pohodlné charakterizovat kapalinu fyzikálními veličinami vztaženými na jednotku objemu, tedy hustotami fyzikálních veličin. 28. 3. 2007

Hydrostatika ideální kapaliny II Nejběžnější jsou : hustota  je hmotnost na jednotku objemu :  = m/V, [] = kg m-3 hustota působících sil , tedy síla na jednotku objemu : , [f] = N m-3 tlak p lze chápat jako hustotu tlakové energie : [p] = N/m2 = J/m3 28. 3. 2007

Základní rovnice hydrostatiky I Pro tenzor napětí u ideální kapaliny jednoduše platí : ij=-pij. ij je tzv. Croneckerovo delta. Nabývá dvou hodnot: ij=1 pro i=j nebo ij=0 pro ij. p = F/S [Pa] je tlak - normálové napětí. Budeme upravovat základní vztah pro rovnováhu kontinua : 28. 3. 2007

Základní rovnice hydrostatiky II Po dosazení za tenzor napětí platí : Síla působí ve směru největší změny tlaku nebo naopak největší změna tlaku je ve směru působící síly. Jde-li speciálně o sílu vytvořenou polem majícím potenciál 28. 3. 2007

Základní rovnice hydrostatiky III Tedy: A konečně po integraci obdržíme : Tuto rovnici lze iterpretovat tak, že místa stejného tlaku leží na ekvipotenciálních plochách a s poklesem potenciálu = růstem hloubky se tlak zvětšuje. 28. 3. 2007

Základní rovnice hydrostatiky IV Všechna rozhraní kapalin, samozřejmě včetně hladiny, která je rozhraním kapaliny a plynu, jsou ekvipotenciální plochy. Hladiny tedy nejsou ve skutečnosti vodorovné, ale kopírují zemský povrch a sledují i jemnějsí změny potenciálu v důsledku rotace Země, její nehomogenity i společné působení Měsícem a Slunce. 28. 3. 2007

Tlak v kapalině I Pascalův zákon V důsledku neexistence tečných napětí působí v každém bodě pouze tlak (napětí normálové) a je stejný ze všech směrů. Na tomto principu je založena hydraulika. Můžeme-li zanedbat vlastní tíhu kapaliny, je tlak v ní všude stejný a na různě velké plochy působí různě velká síla: F1/S1 = p1 = p2 = F2/S2 28. 3. 2007

Tlak v kapalině II Předpokládejme gravitační pole v blízkosti povrchu Země.  = gz svislá osa je z, její kladná část míří vzhůru. Obecně musíme připustit závislost hustoty na z, potom : 28. 3. 2007

Tlak v kapalině III U těžko stlačitelných kapalin lze hustotu považovat za konstantní a tedy : Integrací získáme pokles tlaku s výškou : Často uvažujeme naopak vzrůst s hloubkou pod hladinou: 28. 3. 2007

Tlak v kapalině IV Exponenciální atmosféra Předpokládejme izotermickou atmosféru, stlačitelnou podle Boyle-Marriotova zákona Potom : Diferenciální rovnici řešíme integrací po separaci proměnných a po odlogaritmování: 28. 3. 2007

Archimédův zákon I Těleso ponořené do kapaliny (nebo plynu) je nadlehčováno silou, která se rovná tíze kapaliny (nebo plynu) tělesem vytlačené. Nadlehčování je způsobeno tlakovými silami, které se snaží tekutinu vrátit, do míst, odkud byla tělesem vytlačena. Protože tlak roste s hloubkou, lze očekávat, že výslednice sil bude směřovat vzhůru. 28. 3. 2007

Archimédův zákon II Archimédův zákon úzce souvisí s růstem tlaku s hloubkou lze ilustrovat na tělese speciálního tvaru nebo dokázat obecně jako rovnováhu objemových a povrchových sil. Tento důkaz nevyužívá konstantní hustoty, čili nezávisí na možné stlačitelnosti tekutiny a platí tedy i pro plyny a tělesa, která mohou být v několika prostředích, např. neúplně ponořená. 28. 3. 2007

Archimédův zákon III Mějme rotační válec o výšce h a podstavě S v ideální kapalině o hustotě 0. Tlakové síly na plášť se v každé hloubce vyrovnají. Nevykompenzovaná zůstane pouze tlaková síla působící na spodní podstavu a tedy vzhůru, protože tato podstava je hlouběji o výšku válce než podstava horní: F = Sh0g. To je ale přesně tíha vytlačené kapaliny. 28. 3. 2007

Archimédův zákon IV V kapalině, která je v rovnováze si mysleme určitý objem libovolného tvaru. Tento objem musí mít svoji hmotnost, a tíha směřuje svisle dolů. Na povrch objemu působí tlakové síly. Protože je objem v rovnováze, musí jejich výslednice vykompenzovat tíhu, čili musí směřovat svisle vzhůru a její velikost se musí rovnat tíze myšleného objemu. 28. 3. 2007

Úvod do hydrodynamiky Popsat tekutiny v pohybu patří mezi nejobtížnější problémy, které ve fyzice existují. Pro jednoduchost vyjdeme ze zákonů zachování, které platí pro pomalé proudění neviskózní a nestlačitelné kapaliny. Později popíšeme chování nejjednodušší viskózní, tak zvané Newtonovské kapaliny 28. 3. 2007

Hydrokinematika I Proudící kapalinu lze popsat pomocí : Trajektorií, křivek, po nichž se částice pohybují v čase. Částicí se zde rozumí makroskopicky malý ale mikroskopicky velký objem kapaliny. Proudnic, křivek tečných v každém bodě k vektorům rychlosti. Proudnice tvoří proudové trubice, jejichž stěnami kapalina neprochází. Jejich vnitřek se nazývá proudová vlákna. 28. 3. 2007

Zákony zachování U ideálních kapalin lze jednoduše využít zákonů zachování. Zachovávají se : Množství – rovnice kontinuity Hybnost Energie –Bernoulliho rovnice 28. 3. 2007

Rovnice kontinuity Vteřinový objemový průtok Q kapaliny určitou proudovou trubicí se zachovává. Je-li u nestlačitelných kapalin v jednom jejím místě průřez S1 a v druhém S2, platí : S1v1 = Q1 = Q2 = S2v2 U stlačitelných tekutin je konstantní průtok hmotnostní a platí : S1v11 = S2v22 28. 3. 2007

Zachování hybnosti Ke změně směru proudové trubice může dojít jen v případě existuje-li impuls síly, který příslušnou změnu hybnosti umožní v čase : Proudnice musí zpravidla podpírat i síly tlakové 28. 3. 2007

Zachování energie Bernoulliho rovnice vyjadřuje zákon zachování (hustoty) energie : Lze ji vyjádřit několika způsoby... 28. 3. 2007