1.1. Množinová symbolika, číselné množiny, komplexní čísla. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-215, FVT UO, KŠ 5B/11, Radovan.Potucek@unob.cz, tel. 443056

---------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (1) ------------------- 2/22 Množinou rozumíme skupinu (soubor) určitých prvků. Množiny obvykle je značíme velkými písmeny. Zápisem 𝑥∈𝐴 zapisujeme skutečnost, že prvek 𝑥 patří do množiny 𝐴. Množinu neobsahující žádný prvek – prázdnou množinu – označujeme ∅. Množiny zapisujeme pomocí složených závorek – např. 𝐴= 𝑥,𝑦,𝑧 , 𝐵= 4,8,12,…,88 , 𝐶= 5,10,15,… . Číselné množiny standardně značíme takto: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ. Nejobecnější formou zápisu množiny je užití její vlastnosti: 𝐷= 𝑥∈𝐸;𝑉(𝑥) – např. 𝐷= 𝑥∈ℕ;1≤𝑥<6 nebo 𝑃= 𝑥∈ℤ; 7 𝑥 = …,−21,−14,−7,0,7,14,21,… .

---------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (2) ------------------- 3/22 Množinu reálných čísel ℝ zobrazujeme jako přímku. Typickými podmnožinami množiny ℝ jsou intervaly. Otevřený interval 𝑎,𝑏 označujeme kulatými závorkami, definujeme jej jako množinu 𝑎,𝑏 = 𝑥∈ℝ| 𝑎<𝑥<𝑏 a na přímce vyznačujeme úsečkou s prázdnými krajními body: Uzavřený interval 𝑎,𝑏 označujeme lomenými závorkami, definujeme jej jako množinu 𝑎,𝑏 = 𝑥∈ℝ| 𝑎≤𝑥≤𝑏 a na přímce vyznačujeme úsečkou s plnými krajními body: Dalšími typy intervalů jsou polouzavřené intervaly 𝑎, 𝑏 a 𝑎, 𝑏 , k nimž patří i neohraničené intervaly −∞, 𝑏 a 𝑎, +∞ . Neohraničeným intervalem je i množina ℝ= −∞,+∞ .

----------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (3) ------------------- 4/22 Znázornění množin provádíme pomocí tzv. Vennových diagramů. Vennovými diagramy pro 2 množiny 𝐴, 𝐵 a pro 3 množiny 𝐴, 𝐵, 𝐶 se základní (univerzální) množinou 𝑈 jsou tyto obrázky:

----------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (4) ------------------ 5/22 Základními operacemi s množinami jsou sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk. Sjednocením dvou množin 𝐴 a 𝐵 je množina označená 𝐴∪ 𝐵 a tvořená všemi prvky, které jsou buď v 𝐴 nebo v 𝐵 (takže i v obou množinách současně):

----------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (5) ------------------- 6/22 Průnikem dvou množin 𝐴 a 𝐵 je množina, kterou označujeme 𝐴∩𝐵, tvořená všemi prvky, které jsou současně obsaženy v množině 𝐴 i v množině 𝐵:

----------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (6) ------------------ 7/22 Rozdílem dvou množin 𝐴 a 𝐵 (v tomto pořadí) je množina, kterou označujeme 𝐴−𝐵, tvořená všemi těmi prvky, které jsou obsaženy v množině 𝐴 a současně nejsou obsaženy v množině 𝐵. Rozdíl množin 𝐴−𝐵 znázorňuje 1. obr., rozdíl 𝐵−𝐴 2. obrázek: Doplňkem množiny 𝐴 vzhledem k základní množině 𝑈 je množina, kterou označujeme 𝐴′ nebo 𝐴 , tvořená všemi prvky z 𝑈, které nejsou obsaženy v množině 𝐴.

---------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (7) ------------------- 8/22 Pro operace s množinami platí tato základní pravidla: 𝐴∪𝐵=𝐵∪𝐴, 𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐴 … komutativní zákony 𝐴∪𝐵 ∪𝐶=𝐴∪ 𝐵∪𝐶 , 𝐴∩𝐵 ∩𝐶=𝐴∩ 𝐵∩𝐶 … asociativní zákony 𝐴∪𝐵 ∩𝐶= 𝐴∩𝐶 ∪ 𝐵∩𝐶 , 𝐴∩𝐵 ∪𝐶= 𝐴∪𝐶 ∩ 𝐵∪𝐶 … distributivní zákony 𝐴∪𝐵 ′ =𝐴′∩𝐵′, 𝐴∩𝐵 ′ =𝐴′∪𝐵′ … de Morganovy z. 𝐴 ′ ′ =𝐴, 𝐴−𝐵=𝐴∩𝐵′. Další operací s množinami je například symetrická diference: 𝐴 ∆ 𝐵= 𝐴∪𝐵 − 𝐴∩𝐵 = 𝐴−𝐵 ∪ 𝐵−𝐴 .

---------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (8) ------------------- 9/22 Mezi množinami zavádíme vztah inkluze. Množiny 𝐴 a 𝐵 jsou v inkluzi, jestliže celá 𝐴 je částí 𝐵 anebo celá množina 𝐵 je částí množiny 𝐴. Je-li např. 𝐴 částí 𝐵, pak píšeme 𝐴⊂𝐵 a čteme 𝐴 je podmnožinou 𝐵 (𝐵 je nadmnožinou 𝐴). Na prvním obrázku je zobrazena inkluze 𝐻⊂𝑀. Jestliže platí 𝐴∩𝐵=∅, tj. množiny 𝐴 a 𝐵 nemají společné prvky, potom říkáme, že množiny 𝐴 a 𝐵 jsou disjunktní – viz druhý obrázek:

----------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (9) ------------------ 10/22 Důležitou operací s množinami 𝐴, 𝐵 je kartézský součin, který označujeme 𝐴×𝐵. Rozumíme jím množinu všech uspořádaných dvojic 𝑥,𝑦 tvořených libovolnými prvky 𝑥∈𝐴 a 𝑦∈𝐵. Tedy 𝐴×𝐵= 𝑥,𝑦 | 𝑥∈𝐴, 𝑦∈𝐵 . Kartézský součin znázorňujeme různými způsoby – nejčastěji šipkami, body v rovině nebo částí roviny: Např. šachovnici lze reprezentovat kartézským součinem 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ ×{1,2,3,4,5,6,7,8}.

--------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (10) -------------------11/22 Množiny lze rovněž znázornit i pomocí tzv. Edwardsových diagramů. Pro 3, 4,5 a 6 množin se jedná o tyto diagramy: Na webu http://www.zazzle.com lze zakoupit i hrníček nebo tričko s Vennovým diagramem pro 6 množin, nebo si lze dokonce nechat Vennův diagram zvěčnit: 

Edwardsův diagram pro 7 množin ↑ --------------------- Množinová symbolika, číselné množiny (11) ------------------12/22 Edwardsův diagram pro 11 množin ↓ Edwardsův diagram pro 7 množin ↑

Komplexní čísla – stručná historie (16. až 19. století) Už perský matematik Al-Khwarizmi (asi 820) si všiml, že některé kvadratické rovnice – např. 𝒙 𝟐 + 𝟏=𝟎 – nemají řešení. Italský matematik Girolamo Cardano (1501-1576) ukázal, že by stačilo vhodně definovat odmocninu záporného čísla, a francouzský matematik René Descartes zavedl roku 1637 označení reálné a imaginární číslo. Zajímavé výsledky zkoumání těchto „neskutečných“ čísel ukázal švýcarský matematik Leonhard Euler (1707-1783) a komplexní čísla přesně zavedl francouzský matematik Augustin Louis Cauchy (1821) a nezávisle na něm německý matematik Carl Friedrich Gauss (1831). Obor reálných čísel, který vyjadřuje dostatečně dobře jakoukoliv kvantitu (množství), se tedy rozšiřuje do oboru komplexních čísel, především proto, že v reálném oboru neleží řešení (kořeny) některých algebraických rovnic, takže obor reálných čísel není vzhledem k nim uzavřený. V oboru reálných čísel existují polynomy, které nemají v oboru reálných čísel žádný kořen – např. polynom 4. stupně 𝒙 𝟒 + 𝒙 𝟑 +𝟐 𝒙 𝟐 +𝒙+𝟏 má 4 komplexní kořeny 𝑥 1 =i, 𝑥 2 =−i, 𝑥 3 = −1 2+ 3 i 2, 𝑥 4 = −1 2− 3 i 2 , případně je počet jejich reálných kořenů nižší než stupeň polynomu – např. polynom 3. stupně 𝒙 𝟑 +𝟐 𝒙 𝟐 +𝒙+𝟐 má 3 kořeny 𝑥 1 =i, 𝑥 2 =−i, 𝑥 3 =−2. Obor komplexních čísel je uzavřený nejen na výše uvedené kořeny polynomů s reálnými koeficienty, ale i na kořeny polynomů s komplexními koeficienty. Tuto uzavřenost zaručuje Základní věta algebry, která tvrdí, že polynom 𝑛-tého stupně má v oboru komplexních čísel právě n kořenů.

------------------------------------- Komplexní čísla (2) ------------------------------- 14/22 Komplexním číslem rozumíme uspořádanou dvojici reálných čísel 𝑎,𝑏 zapsanou ve tvaru 𝑧=𝑎+𝑏i, který nazýváme algebraický tvar komplexního čísla. Množinu všech komplexních čísel označujeme symbolem ℂ. Číslo 𝑎= Re 𝑧 nazýváme reálnou částí a číslo 𝑏= Im 𝑧 imaginární částí komplexního čísla 𝑧. Číslo 𝑧 =𝑎−𝑏i nazýváme číslem komplexně sdruženým s číslem 𝑧. Operace součet, rozdíl a součin komplexních čísel 𝑧 1 = 𝑎 1 + 𝑏 1 i a 𝑧 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 i definujeme takto: 𝑧 1 + 𝑧 2 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑏 1 + 𝑏 2 i, 𝑧 1 − 𝑧 2 = 𝑎 1 − 𝑎 2 + 𝑏 1 − 𝑏 2 i, 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑎 1 𝑎 2 − 𝑏 1 𝑏 2 + 𝑎 1 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑏 1 i. Imaginární jednotku i definujeme vztahem i = −1 , takže platí: i 2 = −1, i 3 =−i, i 4 =1, i 5 =i, i 6 =−1, i 7 =−i, i 8 =1, … a obecně i 4k+1 = i, i 4k+2 =−1, i 4k+3 =−i, i 4k =1, 𝑘∈ℤ.

Ve jmenovateli jsme užili vzorce 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 − 𝑏 2 a i 2 =−1. ------------------------------------- Komplexní čísla (3) ------------------------------ 15/22 Pro čísla 𝑧 1 , 𝑧 2 , 𝑧 3 ∈ℂ platí komutativní, asociativní a distributivní zákony: 𝑧 1 + 𝑧 2 = 𝑧 2 + 𝑧 1 , 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑧 2 𝑧 1 , 𝑧 1 + (𝑧 2 + 𝑧 3 )= (𝑧 1 + 𝑧 2 )+ 𝑧 3 , 𝑧 1 ( 𝑧 2 𝑧 3 )= ( 𝑧 1 𝑧 2 ) 𝑧 3 , 𝑧 1 (𝑧 2 + 𝑧 3 )= 𝑧 1 𝑧 2 + 𝑧 1 𝑧 3 , (𝑧 1 + 𝑧 2 ) 𝑧 3 = 𝑧 1 𝑧 3 +𝑧 2 𝑧 3 . Podíl 𝑧 1 𝑧 2 komplexních čísel 𝑧 1 = 𝑎 1 + 𝑏 1 i, 𝑧 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 i, kde 𝑧 2 ≠0, je komplexní číslo, které vyjádříme v algebraickém tvaru 𝑎+𝑏i tak, že zlo- mek 𝑧 1 𝑧 2 rozšíříme číslem komplexně sdruženým 𝑧 2 = 𝑎 2 − 𝑏 2 i ke jmenov.: 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑧 1 𝑧 2 𝑧 2 𝑧 2 = (𝑎 1 + 𝑏 1 i)( 𝑎 2 − 𝑏 2 i) (𝑎 2 + 𝑏 2 i)( 𝑎 2 − 𝑏 2 i) = 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑏 1 𝑏 2 + 𝑎 2 𝑏 1 − 𝑎 1 𝑏 2 i 𝑎 2 2 + 𝑏 2 2 Příklad: 1+2i 3−4i = (1+2i)(3+4i) (3−4i)(3+4i) = 3−8+ 4+6 i 3 2 + 4 2 = −5 25 + 10i 25 = −1 5 + 2 5 i Ve jmenovateli jsme užili vzorce 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 − 𝑏 2 a i 2 =−1.

------------------------------------- Komplexní čísla (4) ------------------------------ 16/22 Komplexní číslo 𝑧=𝑎+𝑏i znázorňujeme jako bod o souřadnicích [𝑎,𝑏], resp. jeho polohový vektor (𝑎,𝑏), v tzv. Gaussově rovině: Absolutní hodnotou (modulem) komplexního čísla 𝑧=𝑎+𝑏i rozumíme reálné číslo 𝑧 = 𝑎 2 + 𝑏 2 . V Gaussově rovině představuje 𝑧 vzdálenost obrazu čísla 𝑧 od počátku souřadného systému. Pro absolutní hodnotu platí vztahy 𝑧 = 𝑧 𝑧 a 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑧 1 𝑧 2 .

------------------------------------- Komplexní čísla (5) ------------------------------ 17/22 Každé nenulové komplexní číslo 𝑧=𝑎+𝑏i v algebraickém tvaru lze jednoznačně zapsat v goniometrickém tvaru 𝑧=𝑟 cos 𝜑+i sin 𝜑 , kde 𝑟= 𝑧 je absolutní hodnota komplexního čísla a 𝜑 je úhel, který svírá průvodič komplexního čísla 𝑧 s reálnou osou. Platí tedy cos 𝜑= Re z 𝑧 = 𝑎 𝑧 , sin 𝜑= Im z 𝑧 = 𝑏 𝑧 . Číslo 𝜑 se nazývá argument (amplituda) komplexního čísla 𝑧 a značí se 𝜑= arg 𝑧 .

------------------------------------ Komplexní čísla (6) ------------------------------ 18/22 I když se nebudeme zabývat funkcemi komplexní proměnné, poznamenejme, že z rozvojů exponenciální funkce a goniometrických funkcí sinus a kosinus do mocninných řad plyne vztah e iφ = cos 𝜑+i sin 𝜑 , z něhož pro 𝜑=𝜋 obdržíme tzv. Eulerův vztah e i𝜋 =−1. Z výše uvedeného vztahu dostáváme exponenciální tvar komplexního čísla 𝑧=𝑟 e i𝜑 =𝑟 cos 𝜑+i sin 𝜑 . Pro násobení a dělení komplexních čísel 𝑧 1 = 𝑟 1 cos 𝜑 1 + i sin 𝜑 1 = 𝑟 1 e i 𝜑 1 a 𝑧 2 = 𝑟 2 cos 𝜑 2 + i sin 𝜑 2 = 𝑟 2 e i 𝜑 2 v goniometrickém a exponenciálním tvaru platí vztahy 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 = 𝑟 1 𝑟 2 cos 𝜑 1 + 𝜑 2 +i sin 𝜑 1 + 𝜑 2 = 𝑟 1 𝑟 2 e i 𝜑 1 + 𝜑 2 , 𝑧 1 𝑧 2 = 𝑟 1 𝑟 2 cos 𝜑 1 − 𝜑 2 +i sin 𝜑 1 − 𝜑 2 = 𝑟 1 𝑟 2 e i 𝜑 1 − 𝜑 2 .

------------------------------------- Komplexní čísla (7) ------------------------------ 19/22 Poznamenejme, že pomocí násobení komplexních čísel lze elegantně odvodit základní goniometrické vzorce pro násobné argumenty – např. cos 2𝛼+i sin 2𝛼= e i2𝛼 = e i(𝛼+𝛼) = e i𝛼 ∙e i𝛼 = = cos 𝛼+i sin 𝛼 cos 𝛼+i sin 𝛼 = cos 2 𝛼− sin 2 𝛼+i2 sin 𝛼 cos 𝛼 Komplexní číslo v algebraickém tvaru z=𝑎+𝑏i lze pro 𝑛∈ℕ umocnit na 𝑛-tou podle binomické věty: 𝑥+𝑦 𝑛 = 𝑛 0 𝑥 𝑛 𝑦 0 + 𝑛 1 𝑥 𝑛−1 𝑦 1 +⋯+ 𝑛 𝑛−1 𝑥 1 𝑦 𝑛−1 + 𝑛 𝑛 𝑥 0 𝑦 𝑛 . Výhodnější je však umocnit komplexní číslo v goniometrickém nebo exponenciálním tvaru užitím Moivreovy věty: Je-li 𝑧=𝑟 cos 𝜑+i sin 𝜑 =𝑟 e i𝜑 , pak pro 𝑚∈ℤ platí 𝑧 𝑚 = 𝑟 𝑚 cos 𝑚𝜑+i sin 𝑚𝜑 = 𝑟 𝑚 e i𝑚𝜑 .

----------------------------------- Komplexní čísla (8) ------------------------------ 20/22 Příklad: Pro komplexní čísla 𝑧 1 = 3 2 +i 1 2 a 𝑧 2 = 1 2 +i 3 2 máme 𝑧 1 = 𝑧 2 = 3 4 + 1 4 =1 (jestliže absolutní hodnota 𝑧 =1, hovoříme o čísle 𝑧 jako o komplexní jednotce), cos 𝜑 1 = 3 2 , sin 𝜑 1 = 1 2 ⇒ 𝜑 1 = arg 𝑧 1 = 𝜋 6 , cos 𝜑 2 = 1 2 , sin 𝜑 2 = 3 2 ⇒ 𝜑 2 = arg 𝑧 2 = 𝜋 3 , takže 𝑧 1 = cos 𝜋 6 +i sin 𝜋 6 , 𝑧 2 = cos 𝜋 3 +i sin 𝜋 3 a platí: 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 = cos 𝜑 1 + 𝜑 2 +i sin 𝜑 1 + 𝜑 2 = cos 𝜋 2 +i sin 𝜋 2 =0+i∙1=i , 𝑧 1 𝑧 2 = cos 𝜑 1 − 𝜑 2 +i sin 𝜑 1 − 𝜑 2 = cos − 𝜋 6 +i sin − 𝜋 6 = 3 2 −i 1 2 , 𝑧 1 6 = cos 6∙ 𝜋 6 +i sin 6∙ 𝜋 6 = cos 𝜋+𝑖 sin 𝜋 =−1+𝑖∙0=−1, 𝑧 2 7 = cos 7∙ 𝜋 3 +i sin 7∙ 𝜋 3 = cos 𝜋 3 +i sin 𝜋 3 = 1 2 +i 3 2 = 𝑧 2 .

------------------------------------- Komplexní čísla (9) ------------------------------- 21/22 Věta (Odmocnina z komplexního čísla): n-tá odmocnina z komplexního čísla 𝑧= 𝑧 cos 𝜑+i sin 𝜑 má 𝑛 různých hodnot tvaru 𝑛 𝑧 𝑘 = 𝑛 𝑧 cos 𝜑+2𝑘𝜋 𝑛 +i sin 𝜑+2𝑘𝜋 𝑛 , 𝑘=0,1,…, 𝑛−1. Všech 𝑛 hodnot 𝑛-té odmocniny z komplexního čísla 𝑧= 𝑧 cos 𝜑+i sin 𝜑 leží na kružnici s poloměrem 𝑛 𝑧 a jejich průvodiče rozdělují kružnici na 𝑛 stejně dlouhých úseků. Průvodič první z hodnot, tj. komplexního čísla 𝑛 𝑧 0 , svírá s reálnou osou úhel 𝜑 𝑛 . Příklad: Určete kořeny kubické rovnice 𝑥 3 −1=0, tj. určete hodnoty 3 1 . Nejprve vyjádříme číslo 𝑧=1 v goniometrickém tvaru. Z polohy čísla 𝑧=1 v Gaussově rovině na reálné ose je zřejmě 𝑧=1 cos 0+i sin 0 . Dostáváme tak: 3 1 𝑘 = 3 1 cos 2𝑘𝜋 3 +i sin 2𝑘𝜋 3 , 𝑘=0,1,2, takže 3 1 0 = cos 0+i sin 0 =1, 3 1 1 = cos 2𝜋 3 +i sin 2𝜋 3 = = −1 2 +i 3 2 , 3 1 2 = cos 4𝜋 3 +i sin 4𝜋 3 = −1 2 −i 3 2 (viz obr.)

------------------------------------ Komplexní čísla (10) ------------------------------ 22/22 