Fyzika nízkých teplot Supratekutost

Supratekutost - Viskozita Supratekutost = neexistence tření = nulová či zanedbatelná viskozita (též vazkost) kapaliny h - dynamická viskozita ((jednotka N.s.m-2 = Pa.s), po vydělení hustotou kapaliny r dostáváme tzv. kinematickou viskozitu n Dyn. viskozita běžných kapalin bývá 1-10-4 Pa.s (u látek jako je např. sklo i podstatně vyšší) Dosud známe jediný prvek, u kterého můžeme při dostatečně nízkých teplotách pozorovat supratekutost - helium Vnitřní tření, tj. tečné napětí je úměrné přes viskozitu gradientu rychlosti kapaliny kolmo (směr y) k jejímu směru (směr x)

Helium 1868 He poprvé pozorováno na Slunci (Lockyer a Janssen), čára s vln.délkou. 587.6 nm 1895 He prokázáno na Zemi (Ramsey - uranové minerály, Kayser - přírodní plynové zdroje) 1900 He nepřechází do kapalného stavu ani při teplotě LH 1908 He zkapalněno (Kamerlingh-Onnes, v Leidenu) 4He : 3He = 106, umělý izotop 6He (T = 0,85 s) 1920 objev 3He 1938 objev supratekutosti, tzv. He II (Kapica), viskozita menší než 10-12 Pa s 1948 zkapalněno 3He, Los Alamos

Viskozita běžných látek Dynamická viskozita vybraných látek při 20°C Látka Viskozita voda 0,001 Pa .s benzín 0,00053 Pa .s etanol (líh) 0,0012 Pa .s glycerín 1,48 Pa .s olej 0,00149 Pa .s

Viskozita helia He I (normální kapalina) – 10-6-10-5 Pa s He II (supratekutá kapalina) - < 10-12 Pa s Pro srovnání – voda řádově 10-3 Pa s, což je 1000 x více než u He I

Tepelná vodivost Fourierův zákon q = - k grad T hustota tepelného toku q ( W/m2 ) je úměrná gradientu teploty T ( K/m ) přes koeficient - tepelnou vodivost k ( W/(m.K ) ) zákon lze chápat i jako definici tepelné vodivosti běžné hodnoty (látky a kapaliny při pokojové teplotě) 10-2 - 103 W/(m.K )

Tepelná vodivost helia tepelná vodivost He I – 10-2 W/(m.K) srovnatelná s klasickými plyny k = (5/2)h.c (úměrná součinu dynamické viskozity a měrné tepelné kapacity) V celém objemu se vytváří bublinky, které se pak pohybují k povrchu tepelná vodivost He II – maximum v okolí 2K - 1,3 .105 W/(m.K) pro velké toky He II neplatí klasický Fourierův zákon (lineární závislost = přímá úměra) a tepelná vodivost závisí na gradientu teploty. Při přechodu do supratekutého stavu (pod tzv. lambda bodem) se v důsledku vysoké tepelné vodivosti netvoří bublinky (nevzniká dostatečný teplotní gradient pro jejich tvorbu).

Fázový diagram 4He neexistuje trojný bod pevné helium jen při vysokých tlacích supratekutost pod lambda bodem T = 2,17 K (obecně omezeno lambda hranicí) název lambda pochází z podobnosti tvaru křivky závislosti měrné tepelné kapacity na teplotě řeckému písmenu lambda Pod lambda hranicí fázový přechod z He I (normální kapalina) na He II (supratekuté)

Teplotní závislosti pro LHe entropie měrná tepelná kapacita (měrné teplo) – (tvar l) hustota

Viskozita kapalného helia 1 – rotační viskozimetr (měření síly potřebné k otáčení ponořeného tělesa) 2 – oscilující disk (měření útlumu kmitů disku v kapalině) 3 – kapilární metoda (měření rychlosti průtoku kapaliny tenkou kapilárou) Rozpory objasní až dvousložková teorie

Vazba gradientů tlaku a teploty Vztah pro He II odvodil H. London (1939) grad p = r s grad T r – hustota, s – měrná entropie Důsledky vazby gradientů Termomechanický jev Mechanokalorický jev

Fontánový jev demonstrace Termomechanického jevu rozdíl teplot vytváří tzv. termomechanický (též fontánový) tlakový rozdíl Zvýšení teploty osvícením smirkového prášku v dolní trubici Pozoruje se výtrysk helia kapilárou

Mechanokalorický jev inverzní jev k termomechanickému jevu rozdíl tlaků vyvolá rozdíl teplot nádoby musí být spojeny tenkou kapilárou

Přenos supratekutým filmem Supratekuté hélium vytváří tenký film (50 -100 atomových vrstev) na povrchu stěn nádob Tloušťka filmu klesá s výškou d = a / hn [cm] a = 3.10-6 cmn+1 n = 0,3 - 0,45

Dvousložkový model He II Jedná se o fenomenologický model. Předpokládá, že suprakapalina – He II je tvořena dvěma složkami:

Dvousložkový model He II Hustota (resp. koncentrace) He Hustota toku He r = r s + r n j = r svs + r n vn He II – obě složky (poměr závisí na teplotě) Hustota, resp. koncentrace normální složky v He II roste s teplotou dle vztahu (r n / r)  T 5,6 a úměrně tomu klesá r s Hustota, resp. koncentrace: normální složka v He II mizí až pro T  0 (r n / r)  0 (r s / r)  1 He I - jen normální složka (r n / r) = 1 (r s / r) = 0

Jevy v He II na základě dvousložkové teorie Mějme místa s různou koncentrací normální a supratekuté složky. Za normálních okolností by se koncetrace vyrovnaly vzájemnou difůzí. Propojme místa pouze supratekutou netěsností, která propustí supratektou složku Supratekutá netěsnost může být tvořena úzkou kapilárou, průchodem jemným práškem, materiálem s malými póry. Supratekutá složka se difůzí pohybuje z místa s vyšší koncetrací do místa s koncentrací nižší. Normální složka totéž udělat nemůže – zůstává „přibita“ na místě. Rotační viskozimetr se tře jen o normální složku,měří tedy jen její viskozitu. Útlum kmitů oscilujícího disku je úměrný nejen viskozitě ale i hustotě normální složky

Podstata supratekuté složky Supratekutá složka Podstatu supratekuté složky může objasnit tzv. Boseho – Einsteinův kondenzát (BEK) atomů helia (bosony). Kondenzát vykazuje kolektivní chování částic, které „lze popsat jako jeden celek“ a které se mohou navíc „pohybovat bezodporově“. Supratekutá složka tak může být tvořena částicemi v kondenzátu.

Podstata normální složky a ideální BE plyn Normální složka V případě představy ideálního BE plynu se nabízí ztotožnit ji s částicemi mimo kondenzát (všechny atomy budou v BEK pouze při absolutní nule stejně jako ve fenomenologické dvousložkové teorii). To se nepotvrdilo experimentálně – rozpor v teplotní závislosti měrné tepelné kapacity ideální BE plyn  T3/2 He II  T3

Podstata normální složky a neideální BE plyn Rozpor bylo možné odstranit až započtením interakce atomů helia. Dostáváme tak ale neideální BE plyn. Interakci v systému nelze rozdělit mezi jednotlivé atomy hélia, které by tak obsazovaly jednočásticové energetické hladiny.

Kvazičásticový přístup teorie pevných látek V systému vzájemně interagujících částic je jejich pohyb propojen - provázané pohybové rovnice. Vhodnou matematickou transformací, zavedení nových souřadnic, lze tyto rovnice v mnoha případech rozdělit na nezávislé rovnice – ty mají formálně stejný tvar jako pohybové rovnice pro neinteragující částice (jednočásticový přístup). Zavádí se tedy představa tzv. „kvazičástic“ Změna souřadnice či energie jedné kvazičástice však znamená ve skutečnosti změnu souřadnic a energie všech původních reálných částic.

Boseho – Einsteinův kondenzát Obsazení hladin pod teplotou TB BE kondenzace při 0 K a při konečné teplotě v ideálním Boseho plynu v neideálním Boseho plyny

Supratektá a normální složka v případě neideální BE plynu V rámci zavedení kvazičástic (též ozn. jako excitace) lze obnovit jednočásticový pohled. Jednočásticové energetické hladiny odpovídají kvazičásticím neboli excitacím, a nikoliv původním atomům. Pojem normální složky pak do značné míry souvisí s těmito excitacemi v neideálním BE plynu. Podobně hustotu supratekuté složky nelze ztotožnit s hustotou kondenzátu r0 ako v případě ideálního plynu, ale plat r - hustota He s – měrná entropie helia a – slabě závisí na teplotě T

Kritická rychlost Při dosažení určité rychlosti se supratekutost He II ztrácí. Tuto rychlost označujeme jako kritickou - Vc. Experimentální hodnoty asi 10-2 m/s Pozn.: Analogie kritického proudu u supravodičů Existenci kritické rychlosti se pokusil vysvětlit Landau právě na základě tepelných excitací v He II.

Tepelné excitace Excitace zde tzv. kvazičástice = excitace (též kvanta) látkového prostředí Tepelné excitace souvisí s tepelným pohybem částic Energetické spektrum excitací má konkrétní závislost energie na hybnosti (přesněji kvazihybnosti) E(p)

Landaův model He II fonony kvanta zvuku = kmity mříže E(p) = V . p (analogie fotonů pro elmg vlny, kde E(p) = c . p) rotony jiný typ excitací zpočátku nejasná podstata (název má historické důvody) E(p) = D + (p – p0)2/2mr (analogie nerelativistických částic s kinetickou energií p2/2m)

Rotony Název roton vymyslel fyzik I.E. Tamm Zprvu se předpokládalo, že roton je nějaká forma vířivého - rotačního pohybu Podle další představy měl být roton tvořen dvěma sousedními atomy helia, které rotují kolem společného těžiště. Později se předpokládá, že se jedná o rychle se pohybující atom helia v prostředí ostatních atomů. D - reprezentuje aktivační energii pro vytvoření rotonu (fotony ji nemají)

Určení kritické rychlosti Celková energie sloupce suprakapaliny - sloupec + případné excitace M, v – hmotnost a rychlost sloupce suprakapaliny E(p), p – energie a kvazihybnost jedné excitace (vektory tučně !) v = 0, energie sloupce v klidu je dána jen energií excitací v ≠ 0, E(p) = 0, p = 0 - výchozí energetický stav systému - E0 energie sloupce, který se pohybuje rychlostí v, je bez přítomnosti excitací E0 = ½ M.v2 = P2/ (2M), kde P = M. v v M

Určení kritické rychlosti v ≠ 0, E(p) ≠ 0, p ≠ 0 - energetický stav po vybuzení jedné excitace – E Energie systému se zvětší o energii excitace E(p) Navíc je třeba počítat se změnou kinetické energie v důsledku změny hybnosti o kvazihybnost částice P´ = P + p Tedy E = P´2 / (2M) + E(p) = (M.v + p)2 / 2M + E(p) = = ½ M.v2 + p.v + p2 / (2 M) + E(p) Třetí člen lze zanedbat p2 / (2 M)  0 pro M  ∞ E = E0 + p.v + E(p)

Určení kritické rychlosti Aby byl vznik excitace výhodný z energetické hlediska, musí dojít ke snížení celkové energie. Energie s vybuzením excitace E musí být nižší než výchozí energie E0. Tedy E - E0 < 0 neboli p.v + E(p) < 0 Nejvýhodnější situace nastane pro opačný směr p a v, kdy p.v = - p.v. Máme tak - p.v + E(p) < 0, proto při vybuzení excitace platí podmínka v > E(p) /p, která určuje rychlost při níž se vybudí první excitace.

Určení kritické rychlosti Při vybuzení první excitace (zárodek normální složky) se začínají ztrácet supratekuté vlastnosti. Z makroskopického pohledu to nastává po překročení tzv. kritické rychlosti vc. Kritická rychlost je tak dána nejnižší rychlostí splňující podmínku v = E(p) /p, tedy vc = minimum { E(p) /p } navíc vc ≠ 0, jinak neexistuje supratekutost.

Určení kritické rychlosti Minimum funkce f(p) = E(p)/p. Pro nalezení extrému platí podmínka df(p)/dp = 0 Derivace podílu funkcí d{E(p)/p} / dp = {(dE(p)/dp).p - E(p)} / p2 = = (dE(p)/dp) / p - E(p)} / p2 = 0 Dostáváme tedy podmínku E(p)/p = dE(p)/dp, což odpovídá rovnici tečny procházející počátkem ke křivce E(p).

Určení kritické rychlosti Experiment Naměřena kritická rychlost vc = 5.10 -1 m/s Teorie Princip určení rychlosti na základě odvozeného vztahu (rovnice tečny) je zřejmý z grafu energie excitací (fotonů a rotonů) ve spektru navrženém Landauem. fotonová část spektra - vc = 2.10 2 m/s podmínka splněna pro celou spodní část spektra příliš velké hodnoty ve srovnání s experimentem – zejména tento fakt přivedl Landaua k návrhu spektra s rotony (horní kvadratická část) rotonová část spektra - vc = 6.10 1 m/s podmínka splněna v jednom bodě podstatně nižší hodnoty – stále ale nevysvětlují experiment

Objasnění rozporu v kritických rychlostech - kvantové víry I když tvar spektra s rotonovou částí byl potvrzen jinými experimenty, bylo zřejmé, že je třeba pro vysvětlení nízkých experimentálních hodnot kritické rychlosti uvažovat nějaký další typ excitací v supratekutém héliu. Ukázalo se, že roli těchto excitací hrají tzv. kvantové víry. Při popisu termodynamických vlastností suprakapaliny jsou nevýznamné (malá statistická váha), výrazně ale ovlivňují hydrodynamiku suprakapaliny.

Hydrodynamika suprakapliny Pohyb supratekuté kapaliny v rámci dvousložkového modelu popisuje dvěma rychlostními poli vn(r, t) a vs(r, t)

Linearizace rovnic V lineárním přiblížení se poslední dvě rovnice zjednoduší Z nich lze odvodit dvě vlnové rovnice

Vlnové rovnice Vlny tlaku a hustoty (známe i z normálních kapalin jako zvuk) Vlny entropie a teploty (supratekutá kapalina – přeneseně hovoříme o 2. zvuku)

Vlnové procesy v 4He 1. zvuk - vlny tlaku a hustoty, složky se pohybují ve fázi vs = vn 2. zvuk - vlny entropie a teploty, hustota se nemění, kmity v protifázi rn vn = -rs vs 3. zvuk - pouze v tenkých filmech, vlny teploty, entropie a hustoty 4. zvuk - pouze v tenkých kapilárách, kde je vn = 0, vlny entropie, teploty , tlaku a hustoty.

Rychlost šíření vln 1. zvuk (normální zvuk) 2. zvuk 4.zvuk (T  0) 239 m/s Landau odhad (T  0) 138 m/s

Rotující normální kapalina Kapalina ve válcové nádobě rotuje úhlovou rychlostí w Třením o stěny válcové nádoby vzniká parabolický „meniskus“ (zakřivení hladiny) popsaný vztahem z = w 2 r 2 / 2g, kde z je výška hladiny a r vzdálenost od osy rotace

Řešení problému rotující kapaliny 2D problém: r x a z  y parabola: y = a x2 rovina hladiny, tj. parabola v 2D je kolmá k výslednici sil. Výslednice sil je dána součtem gravitační Fg a k ní kolmé odstředivé síly Fo, tedy F = (Fx,Fy) = Fg + Fo = (Fg, Fo) Rovnice tečny Dy/Dx = dy/dx Pro parabolu je směrnice dy/dx = 2ax Směrnice tečny je také dy/dx = tan(a) = Fx/ Fy = Fo/ Fg = (mw2 x) / mg = w2 x / g (= 2ax ) Tedy a = w2 / 2g a y = w2 x2 / 2g Zpět ke 3 D: x  r a y  z z = w 2 r 2 / 2g

Rotující supratekutá kapalina Neexistuje tření, supratekutá kapalina nezačne rotovat spolu s nádobou, nemělo by tedy pro suprakapalinu docházet k vytvoření menisku. Podle dvousložkového modelu He II ale musíme vzít v úvahu přítomnost normální složky, která se třít o stěny nádoby může. Gravitace působí na obě složky: Fg = r V g (V je objem) Supratektá složka nerotuje, ale normální ano: Fg = rn V w 2 r , Měl by tak být pozorován „částečný meniskus“ s hloubkou dle vztahu z = (rn /r) w 2 r 2 / 2g, Z experimentu se nepotvrdilo – ve skutečnosti vzniká plný meniskus jako u normální kapaliny. Proč? – mohou za to kvantové víry.

Kvantové víry Bezvírový pohyb kapaliny rotace rychlosti je nulová cirkulace k je nulová V supratekuté složce vznikají víry cirkulace je různá od nuly cirkulace je navíc kvantována na základě Bohrovy – Sommerfeldovy kvantovací podmínky

Model kruhového víru Platí Bohrova kvantovací podmínka m.r.vs = n h/2p = n ħ a tedy vs = n (ħ /m).(1/r), směrem k centru víru rychlost stoupá. V určité vzdálenosti rc dosáhne rychlost kritické hodnoty vc – ztráta supratekutosti – pod tímto poloměrem může existovat jen normální složka – jádro víru. Normální jádro víru je neoddělitelně svazáno se supratekutým vírem. Současně normální složka může interagovat se stěnami nádoby. To vede k rotačnímu pohybu celého He II

Fázový p-T diagram 3He Ani u 3He nepozorujeme trojný bod Pevná fáze existuje až při vysokých tlacích Nečekaně existují dokonce dvě supratekuté fáze Přechod do supratekutého stavu nastává mnohem níže (řádově mK) než u 4He

Srovnání 3He s 4He

Srovnání charakteristických bodů P-T diagramů 3He a 4He

Supratekutost v 3He? 4He Spin jádra 4He (přesněji spinové číslo) je 0, tedy jádra či atomy jsou bosony. Bosony se řídí Boseho - Einsteinovou statistikou a pro vysvětlení supratekutosti je možné vyjít z vlastnoistí BE kondenzátu. 3He Spin jádra 3He je ½ jádra či atomy fermiony. Fermiony se řídí Femiho – Diracovou statistikou, platí pro ně Pauliho princip a nemohou tedy vytvořit kondenzát analogický BE kondenzátu. 3He ale nelze popisovat jako ideální Fermiho plyn, protože mezi atomy 3He působí interakce. Hovoříme o Fermiho kapalině. Interakce v této kapalině mohou způsobit vznik kvazičástic – vázaných dvojic fermionů. Takový pár jako celek (spiny se skládají na celočíselné hodnoty) již představuje boson. Opět můžeme vyjít z BE kondenzátu pro objasnění supratekutosti.

Prostorový fázový p-T-B diagram 3He má magnetický moment a proto jeho vlastnosti ovlivní magnetické pole Existence supratekutých tří fází: fáze A – anizotropní supratekutý stav fáze A1 – objeví se v magnetickém poli fáze B – liší se od A magntickými vlastnostmi

Fáze v 3He U 3He páry pouze s L = 1, S = 1 Dovolené hodnoty (vzniklé složením spinů atomů v páru) Sz = 1 (| >), 0 (|  >), -1 (|  >) Jednotlivé fáze se liší v hodnotách Sz: Fáze A – anizotropní fáze, směs Sz = ±1 Fáze A1 – podle orientace magnetického pole pouze Sz = +1 nebo -1 Fáze B – pseudoizotropní fáze, směs všech kvantově možných orientací Sz = -1, 0, 1

Směs 3He a 4He Zajímavé vlastnosti Od určité teploty Tf (funkcí koncentrace) nastává separace fází Využití v rozpouštěcím refrigerátoru Levá, resp. pravá větev Tf (x), určuje koncentraci chudé, resp. bohaté fáze (na 3He)

Tuhé helium - krystalografické mřížky hcp – šesterečná (hexagonální) bcc – krychlová (kubická) prostorově centrovaná fcc – krychlová (kubická) plošně centrovaná

Tuhé 4He

Tuhé 3He

Literatura Štefan Jánoš: Fyzika nízkych teplôt, Alfa, Bratislava 1980 Milan Odehnal: Supravodivost a jiné kvantové jevy, Academia, Praha 1992