CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 15. PŘEDNÁŠKA Březen 2010 Lineár. progr. - 5

Březen 2010 Další ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování – 5, … ☺ POKRAČOVÁNÍ

systém s pouze dvěma proměnnými – tzv. dvourozměrné systémy. Řešení grafickou metodou geometrického vyjádření (znázornění) řešeného problému a postupu jeho řešení – včetně grafiky vyjá- dření omezujících podmínek. Metoda je vhodná pro systém s pouze dvěma proměnnými – tzv. dvourozměrné systémy. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

dvourozměrných systémů jsou zobrazeny a řešeny pouze velmi jednoduché (a povětšinou neekonomické) případy. Nicméně dávají správný vhled do problema- tiky a tudíž usnadňují pochopení – i odvození – pro složitější (vícerozměrné) úlohy. Pomocí dvourozměrných systémů jsou zobrazeny a řešeny pouze velmi jednoduché (a povětšinou neekonomické) případy. Nicméně dávají správný vhled do problema- tiky a tudíž usnadňují pochopení – i odvození – pro složitější (vícerozměrné) úlohy. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

Tedy i řešení dvourozměrných úloh je jednoduché a snadněji pochopitelné. Pro zobrazení takové úlohy postačuje klasic- ký kartézský souřadnicový systém s osami x a y zobrazujícími každá jednu z proměnných úlohy. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

K doplnění poslouží tento příklad: - jedna výrobna vyrábí sportovní potřeby - je vybrán jeden výrobek, který je balen a prodáván ve dvou různých baleních označe- ných písmeny A a B - na každé balení se spotřebuje různé množ- ství téhož balicího prostředku - ……. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

- zabalení každého z obou provedení trvá různý čas - z prodeje výrobku v těchto dvou různých baleních pak plyne různý zisk - každého z obou balení je k dispozici různý disponibilní počet kusů. Údaje a hodnoty jsou v tabulce: Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob spotřeba balicího papíru [m 2 ] spotřeba času [hod] zisk [Kč] výrobek č. 120,4500 výrobek č. 240,380 disponibilní množství

Matematický model: + maximalizuje se vztah z = 500 * x * x 2 + podmínky 2 * x * x 2 ≤ 900 0,4 * x 1 + 0,3 * x 2 ≤ 120 x 1 ≥ 0 a x 2 ≥ 0 + CO je řešením ??? Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

PŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM VŠEM podmín- kám PŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM (pro n-rozměrnou úlohu LP) je každá n-tice [ x 1, x 2, x 3,... x n ] reálných čísel, která vyhovuje VŠEM podmín- kám zadané soustavy. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

NEPŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM NEvyhovuje alespoň jedné podmínce NEPŘÍPUSTNÝM ŘEŠENÍM (pro n- rozměrnou úlohu LP) je každá n-tice [ x 1, x 2, x 3,... x n ] reálných čísel, která NEvyhovuje alespoň jedné podmínce ze soustavy zadaných podmínek. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

OPTIMÁLNÍM ŘEŠENÍM hodnota účelové funkce OPTIMÁLNÍM ŘEŠENÍM (pro n-rozměrnou úlohu LP) je takové přípustné řešení, při kterém nabývá hodnota účelové funkce z požadovaného extrému (tj. maximální nebo minimální hodnotu). Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

V příkladu bude platit: * přípustné řešení - ŘEŠENÍ x 1 = 0, x 2 = 0 – tj. dvojice [ 0, 0 ], která po dosazení do obou podmínek jejich nerovnostem vyhovuje - nebo ŘEŠENÍ [ 10, 20 ], [ 300, 0 ] - ATD. Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

* nepřípustné řešení - ŘEŠENÍ [ -5, 0 ]... nevyhovuje podmínce „kladných čísel“ - ŘEŠENÍ [ 200, 150 ]...nevyhovuje OBĚMA nerovnostem v zadání * optimální řešení - ŘEŠENÍ [ 210, 120 ]... je ale nutné jej nějakou metodou nalézt..... Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob

GRAFICKÁ REPREZENTACE Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Podmínka ve tvaru rovnosti Podmínka ve tvaru rovnosti - obsahuje dvě proměnné = je to přímka Podmínka ve tvaru nerovnosti Podmínka ve tvaru nerovnosti - obsahuje dvě proměnné = je to polorovina s hraniční přímkou

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Rovnost 2 * x * x 2 = 6 x1x1 x2x2 [ 0, 2 ] [ 4, 0 ]

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 2 * x * x 2 ≤ 6 x1x1 x2x2 [ 0, 2 ] [ 4, 0 ]

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 2 * x * x 2 ≤ 900 x1x1 x2x2 [ 0, 225 ] [ 450, 0 ]

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost 0,4 * x 1 + 0,3 * x 2 ≤ 120 x1x1 x2x2 [ 0, 400 ] [ 300, 0 ]

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Nerovnost x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 x1x1 x2x2 1. kvadrant – obě poloroviny tvoří průnik, protože platí současně

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1x1 [ 0, 225 ] [ 450, 0 ] x2x2 [ 0, 400 ] [ 300, 0 ] MPŘ

GRAFICKÁ REPREZENTACE ÚČELOVÉ FUNKCE Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob z(x 1, x 2 ) = c 1 * x 1 + c 2 * x 2 Pro dvourozměrnou funkci má účelová funkce úlohy LP vždy tento tvar (kde z = hodnota účelové funkce) z(x 1, x 2 ) = c 1 * x 1 + c 2 * x 2 Jedná se o třírozměrnou funkci (x 1, x 2, z), která představuje rovinu ve třírozměrném prostoru.

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob z = 500 * x * x 2 izoprofitovou přímkou. V praxi se bere pro konkrétní hodnoty dané úlohy v podobě rovnice zadané maximalizač- ní (případně minimalizační) rovnice – zde bude z = 500 * x * x 2 Hodnota účelové funkce pak bude (pro kon- krétní hodnoty) znázorněna izoprofitovou přímkou.

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Izoprofitová přímka Izoprofitová přímka v podstatě pravo- úhlým průmětem průsečnice dvou rovin z(x 1, x 2 ) = c 1 * x 1 + c 2 * x 2 a roviny z(x 1, x 2 ) = konst. … zvolená hodnota předsta- vující konkrétní hodnotu účelové funkce do roviny (x 1, x 2 ) = konst. … tj. dvourozměrné. Izoprofitové přímky jsou rovnoběžné.

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1x1 z = 500 * x * x 2 [ z = 500 * x * x 2 ] x2x2 [ z = ] [ z = 0 ] [ z = ]

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Množina Přípustných Řešení = MPŘ x1x1 x2x2 z průnik rovin

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob -Při optimalizaci se izoprofitové přímky posouvají: pro maximalizaci … z(x) bylo co největší pro minimalizaci … z(x) bylo co nejmenší,

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Optimální řešení bodem nelze Optimální řešení dvourozměrné úlohy LP je dáno bodem na izoprofitové přímce účelové funkce, který leží v MPŘ (je součástí množi- ny přípustných řešení) pokud již nelze izo- profitovou přímku účelové funkce posunout potřebným (požadovaným) směrem.

Březen 2010 Lineární programování – grafický způsob Optimální řešení ( x 1 *, x 2 * ) x2x2 x1x1 x2x2 Izoprofitová přímka účelové funkce při maximálním profitu x2*x2* x1*x1*

Lineární programování – grafický způsob Vyčíslení hodnot daného příkladu je dáno vyřešením soustavy rovnic: 2 * x 1 * + 4 * x 2 * = 900 0,4 * x 1 * + 0,3 * x 2 * = 120 a tedy x 1 * = 210 …… x 2 * = 120 Březen 2010

Lineární programování – grafický způsob Závěr: Optimální výroba daného předmětu prodáva- ného ve formě balení A a B nastane, pokud bude platit: balení A bude 210 kusů balení B bude 120 kusů. Celkový zisk pak bude: (500 * * 120) = Kč, což je ta izoprofitová přímka účelové funkce. Březen 2010

březen 2010 …..… cw05 – 15 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují ……