2.přednáška Mongeova projekce

Literatura: Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 3, Mongeovo promítání. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1997. Plocková, E. - Řehák, M.: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 3, Základy Mongeova promítání. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 1994. Černý, J. - Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, Praha 1995. Piska, R. - Medek, V.: Deskriptivní geometrie I., Praha, SNTL 1967. Urban A.: Deskriptivní geometrie I., Praha, SNTL 1965. Gardavská, E.: Základní úlohy z deskriptivní a konstruktivní geometrie. Ostrava, VŠB -TU 2005. Studopory

Pojmy: půdorysna, nárysna, základnice, sdružené průměty, půdorysný a nárysný stopník, půdorysná a nárysná stopa, horizontální a frontální hlavní přímky, rovina souměrnosti a totožnosti, spádová přímka vzhledem k půdorysně, resp.nárysně.

Co je Mongeovo promítání? Mongeovo promítání představuje dvě pravoúhlá promítání se dvěma navzájem kolmými průmětnami: půdorysnou  a nárysnou . Jejich průsečnici x =    nazýváme základnicí. Nákresnu ztotožníme s nárysnou , do které otočíme i půdorysnu. Říkáme, že jsme průmětny sdružili.

Průmět bodu Bodu A E3 přiřadíme uspořádanou dvojici [A1, A2] bodů roviny , kde A1 je půdorys a A2 nárys bodu A, nebo-li sdružené průměty bodu A. Je-li A1 ≠ A2, je přímka A1 A2 x. Polohu bodu v prostoru popisujeme pomocí jeho souřadnic ve zvolené kartézské soustavě souřadnic, viz. obrázek.

Průmět přímky Půdorysem, resp. nárysem přímky je přímka nebo bod. Má-li přímka obecnou polohu vzhledem k průmětnám, pak bod P = p π je půdorysným stopníkem, bod N = p ν je nárysným stopníkem.

Zobrazení obecné přímky v MP

Dvojice přímek Přímky, které neleží v jedné promítací rovině, jsou různoběžné právě tehdy, když spojnice průsečíků stejných průmětů přímek je kolmá k základnici. Přímky, které nejsou kolmé k základnici, jsou rovnoběžné právě tehdy, když nastane jedna z možností: obě přímky jsou půdorysně nebo nárysně promítací nebo stejné průměty přímek jsou rovnoběžné. Polohu přímek kolmých k základnici z průmětů přímo nepoznáme. V ostatních případech jsou přímky mimoběžné.

Průmět roviny Půdorysem i nárysem roviny, která není promítací rovinou, je celá průmětna. Je-li rovina půdorysně, resp. nárysně promítací, je jejím půdorysem, resp. nárysem přímka. Průsečnice roviny s půdorysnou, resp. s nárysnou je půdorysná, resp. nárysná stopa roviny, značíme je pρ resp. nρ. Stopy roviny se protínají na základnici nebo jsou s ní rovnoběžné.

Hlavní přímky roviny Přímky roviny  , které jsou rovnoběžné s půdorysnou, (resp. nárysnou), nazýváme horizontálními, (resp. frontálními) hlavními přímkami roviny  (někdy také hlavní přímky první, resp. druhé osnovy).

Spádové přímky roviny Přímky roviny , které jsou kolmé na horizontální, resp. frontální hlavní přímky, nazýváme spádovými přímkami vzhledem k půdorysně, resp. nárysně (nebo také nárysně spádové přímky).

Rovina souměrnosti a totožnosti Roviny půlící pravý úhel mezi půdorysnou a nárysnou jsou dvě navzájem kolmé roviny (viz. obrázek) rovina souměrnosti  a rovina totožnosti . bod A(3,5,5) leží v rovině souměrnosti, bod B(3,5,-5) leží v rovině totožnosti.

Zadání roviny v MP Neprochází-li rovina počátkem souřadnic , můžeme ji zadat velikostmi orientovaných úseků, které vytíná na osách souřadnic:  (a,b,c). Je-li s některou osou rovnoběžná, nahrazujeme úsek symbolem ∞: např.  (2; -5; ∞).

Přímka v rovině !!!!!!!!!! Leží-li přímka v rovině, leží její půdorysný stopník na půdorysné stopě roviny a její nárysný stopník na nárysné stopě roviny.

Sestrojme stopy roviny určené přímkou a a bodem A.

 Bod v rovině !!!!!!!!!! K tomu, aby daný bod M ležel v rovině  je nutné a stačí, aby v rovině  existovala přímka, na které daný bod leží. Touto přímkou může být hlavní přímka roviny.

Zjistěte, zda bod A leží v rovině  , určete nárys bodu C a půdorys bodu B tak, aby tyto body ležely v rovině .

Základní úlohy v Mongeově promítání Průsečnice dvou rovin Bodem vést rovnoběžku s danou přímkou Bodem vést rovinu rovnoběžnou s danou rovinou Průsečík přímky s rovinou Kolmice k rovině Rovina kolmá k přímce Skutečná velikost úsečky, odchylka přímky od průmětny Otáčení roviny