Opakování.. Práce se zlomky

Složené zlomky

Úpravy výrazů druhá mocnina součtu

rozdíl čtverců.

mocninné funkce Nakresleme obrázky:

práce s mocninami 1. 4. 5. 2. 3.

lineární rovnice

Kvadratické rovnice diskriminant D dva reálné různé kořeny jeden dvojnásobný kořen komplexní kořeny

Násobíme-li nerovnost záporným číslem, změní se její znaménko… Nerovnice lineární

soustavy dvou lineárních nerovností řešením je průnik obou nalezených intervalů 1. Nemá řešení

2.

3.

nerovnice lomené nejjednodušší postup: nesmíme násobit jmenovatelem najdeme nulové body čitatele a jmenovatele uděláme tabulku dosadíme libovolný bod z každého intervalu, znaménko hodnoty v něm je znaménko funkce v celém intervalu posoudíme znaménko zlomku proč to tak je? výrazy v čitateli i jmenovateli mají graf přímku která mění znaménko jenom v jednom bodě…např. 1

Nerovnice kvadratické nejjednodušší postup: najdeme nulové body - kořeny víme..graf funkce je parabola kořeny jsou průsečíky s osou x tvar paraboly posoudíme podle hodnoty v jednom bodě kde je parabola nad osou x .. funkce je kladná kde je parabola pod osou x .. funkce je záporná

neprotíná nikde osu x graf je celý buď nad nebo pod osou x

Nerovnice s absolutní hodnotou x když je x nezáporné Je definována takto: |x|= - x když je x záporné Každý příklad se rozpadne na dvě části podle toho, jaké znaménko má vnitřek absolutní hodnoty Pro Pro má nerovnost tvar má nerovnost tvar první soustava druhá soustava řešme ji: řešme ji:

Pro Pro má nerovnost tvar má nerovnost tvar řešme soustavy:

Pro Pro má nerovnost tvar má nerovnost tvar řešme soustavy:

Logaritmy definice logaritmu: Nakresleme obrázky: Řešme:

Exponenciální funkce nakresleme obrázky: Řešme rovnice převodem na stejný základ:

Goniometrické funkce Najděme všechna řešení goniometrických rovnic: použijeme graf nebo jednotkovou kružnici… sinx dvě řešení: cosx 1 sinx dvě řešení: cosx 1

sinx cosx 1

tgx dvě řešení 1 cotgx dvě řešení 1

Upravme použitím vzorců. Určeme vždy, pro která x má výraz smysl.

aditivní konstanta Obrázky funkcí c kladné… posun grafu po ose y o c nahoru c záporné… posun grafu po ose y o c dolů 2 -2 k>1… zvětšení amplitudy, roztažení grafu směrem osy y k<1… zmenšení amplitudy, stlačení grafu směrem osy y 2 2sinx sinx násobná konstanta sinx/2 k<0… otočení grafu kolem osy x -2

Podobně nakresleme: Stejně fungují tyto konstanty pro všechny funkce

-1 1 c kladné… posun grafu po ose x o c doleva Podobně: c záporné… posun grafu po ose x o c doprava 1 -1 -2 2

Kladná část grafu je stejná, to co je od osou x se překlopí kolem osy x nahoru Také: Sudá funkce… část grafu pro kladná x se symetricky překlopí kolem osy y nahoru -1 1 -1 1 Podobně nakresleme:

Skládání funkcí

Jaké mají D(f) a ze kterých funkcí jsou složené následující: 2-B cos x tg x 3x

Vlastnosti funkcí. Sudé a liché funkce: D(f) souměrný podle počátku 1. najděme definiční obor D(f) 2. je sudá nebo lichá? není ani sudá ani lichá 1. najděme definiční obor D(f) 2. je sudá nebo lichá? je lichá souměrná podle počátku sin(-x)=-sinx

1. najděme definiční obor D(f) 2. je sudá nebo lichá? je sudá souměrná podle osy y 1. najděme definiční obor D(f) 2. je sudá nebo lichá? nemůže být ani sudá, ani lichá, D(f) není souměrný podle počátku

Rostoucí, klesající, omezená… Které konkrétní funkce jsou na svém D(f): rostoucí: klesající: omezené: neomezené:

Kde jsou nakreslené funkce rostoucí a kde klesající.. Nakresleme nějakou čáru, která je: pro x<1 klesající, pro 1<x<5 rostoucí, pro x>5 klesající, f(1)=-1,f(5)=1 1 5

Podobně… Nakresleme nějakou čáru, která je: pro x<-2 rostoucí, pro -2<x<0 klesající, pro 0<x<8 rostoucí, pro x>8 klesající…f(-2)=3,f(0)=-1,f(8)=6 6 3 -2 8 -1 ale není klesající na D(f). Pozor! každá větev je klesající, a f(b) místo b f(a)

Periodické funkce Příklad 1. Nakreslete funkci, definovanou v celém R, která je a) periodická s periodou p=1 b) pro x v intervalu <0,1) má tvar f(x)= 2x-1. y 1 x p 1 2 3 -2 -1 -1

Příklad 2. Nakreslete funkci, definovanou v celém R, která je a) periodická s periodou p=3 b) pro x v intervalu (1,4> má tvar f(x)= y 1 x p 1 4 7 -5 -2 -1

Jaký definiční obor a jakou periodu mají funkce: Je-li vnitřní funkce periodická, má složená funkce stejnou periodu není periodická není periodická

Jakou periodu mají funkce: Má-li f(x) periodu p, má funkce f(ax) periodu p/a.

Prosté a k nim inverzní funkce Prosté funkce poznáme podle obrázku nebo podle věty, že složená funkce z prostých je prostá. H(f) prosté funkce určíme snadno: je to interval, jehož krajní body jsou obrazy krajních bodů D(f). Když je f(x) prostá, existuje k ní vždycky inverzní funkce . Vypočítá se tak že z rovnice y=f(x) vypočteme to x, tedy Platí:

Jaký mají D(f) a jsou následující funkce prosté? Jsou-li, vypočítejme inverzní funkci. je prostá 1

je prostá 2-x Umocníme na čtvrtou

je prostá. osamotíme logaritmus na jedné straně rovnice: Použijeme definici logaritmu: A a B mohou být libovolné výrazy, a=10. umocníme rovnici na třetí

1 10 1

osamotíme exponencielu na jedné straně rovnice: Použijeme obráceně definici logaritmu: A a B mohou být libovolné výrazy, a=4.

Exponenciela je definována pro všechny argumenty, které mají smysl je prostá. 4x

je třeba vyřešit tuto nerovnost. Nejprve odečteme od obou stran nerovnosti trojku a pak vše vydělím dvěma: 3+2x Tvoří ji tři prosté funkce, je prostá. osamotíme arcsin na jedné straně rovnice: Použijeme definici arkussinu: A a B mohou být libovolné výrazy. tedy

Osamotíme arccotg na jedné straně rovnice: Použijeme definici arccotg A a B mohou být libovolné výrazy.