Tento digit á ln í učebn í materi á l (DUM) vznikl na z á kladě ře š en í projektu OPVK, registračn í č í slo CZ.1.07/1.5.00/ s n á zvem „ Výuka na gymn á ziu podporovan á ICT “. Tento projekt je spolufinancov á n Evropským soci á ln í m fondem a st á tn í m rozpočtem Česk é republiky. Zpracov á no , autor: Mgr. Jindři š ka Janečkov á Sada IV/2-3-1 Matematika pro I. ročn í k gymn á zia Z á kladn í poznatky z matematiky IV/ Definice, věty, důkazy

Základní pojmy nezavádí se definicí vysvětlení pomocí představ a příkladů např. bod, přímka, přirozené číslo pomocí nich definujeme ostatní pojmy

Axiomy elementární tvrzení o vlastnostech základních pojmů základní věty – tvrzení považovaná za natolik intuitivně zřejmá a jasná, že je není potřeba blíže zdůvodňovat jejich pravdivost uznáváme bez další argumentace, bez důkazu př. Každým bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku.

Definice pojmu vymezení podstatných vlastností pojmu, které jej jednoznačně charakterizují používají se základní pojmy a pojmy dříve zavedené př. Kružnice k(S;r) je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu S (střed kružnice) stejnou vzdálenost r (poloměr kružnice).

Matematická věta tvrzení, matematický výrok, o jehož pravdivosti se lze přesvědčit výrok, jehož pravdivost musí být dokázána př. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý. př. Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech.

Důkaz úvaha zdůvodňující platnost matematické věty posloupnost logických úvah, které ukazují, že platnost tvrzení vyplývá z platnosti axiomů a dokázaných tvrzení

Nejčastější typy vět Elementární výrok Y Př. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je úhel přímý. Implikace X => Y Př. Pro každé přirozené číslo n platí: Je – li n 2 sudé, pak je n sudé. Ekvivalence X Y Př. Součin reálných čísel a a b je roven nule, právě když a = 0 nebo b = 0.

Hlavní typy důkazů přímý (důkaz elementárního tvrzení, důkaz implikace) nepřímý (důkaz implikace) sporem (důkaz elementárního tvrzení, důkaz implikace) Ekvivalence X Y: Dokazujeme implikace X => Y a Y => X.

Přímý důkaz elementárního výroku Y Vyjdeme od výroku X, o kterém víme, že platí. (Problém: Jak najít pravdivý výrok X, z něhož by bylo možné tvrzení odvodit?) Z výroku X odvodíme Y; ukážeme, že platí X => Y. Tím je výrok Y dokázán.

Dokažte, že v trojúhelníku je součet všech jeho vnitřních úhlů roven 180°. Zvolíme libovolný trojúhelník ABC. Výrok, ze kterého vyjdeme: Bodem mimo danou přímku lze vést jedinou přímku, která je s ní rovnoběžná. Tedy, k přímce AB existuje jediná rovnoběžka procházející bodem C – přímka PQ. Podle věty o rovnoběžkách proťatých příčkou: α´= α, β´= β. Úhel PCQ je přímý, dostáváme tedy α´+ β´ + γ = α + β + γ = 180°. Libovolný trojúhelník ABC: AB C α β γ PQ α´β´

Přímý důkaz implikace X => Y Důkaz pomocí řetězce implikací. Z platnosti X odvodíme X 1 ; X => X 1 X 1 => X 2 X 2 => X 3 … X n => Y Tím je platnost věty X => Y dokázána.

Nepřímý důkaz implikace X => Y Dokážeme obměněnou implikaci ˥ Y => ˥ X. ˥ Y => ˥ X je s implikací X => Y ekvivalentní. Přímý důkaz implikace ˥ Y => ˥ X.

Pro všechna přirozená čísla n platí: Je – li n 2 sudé, pak n je sudé. Obměna: Je – li n liché, pak n 2 není sudé. liché n = (2k + 1), k N 0 n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 2k + 1 = 2[k(2k + 1)] + 1 k(2k + 1) = h 2[k(2k + 1)] + 1 = 2h + 1 n 2 = 2h + 1 2h + 1 není číslo sudé, je liché Platí obměněná věta => platí i věta původní.

Důkaz sporem výroku X Předpokládáme, že platí negace výroku X ( ˥ X). Z ˥ X vyvozujeme logické důsledky až dojdeme ke sporu (k tvrzení Z, o kterém víme, že je nepravdivé). ˥ X => Z 1, Z 1 => Z 2, Z 2 => Z 3 …Z n => Z Neplatí ˥ X, platí X.

Dokažte, že číslo je iracionální. Negace: Číslo je racionální. => Existuje p, q Z + tak, že => p 2 = 2q 2 (p > q >1) Základní věta aritmetiky: Každé číslo větší než 1 lze zapsat jako součin mocnin prvočísel. => Lze napsat: p = 2 a.r, q = 2 b.s, a, b N 0, r, s jsou lichá p 2 = 2 2a.r 2, q 2 = 2 2b.s 2 Dosadíme do p 2 = 2q 2 : 2 2a.r 2 = 2.2 2b.s 2 => 2 2a.r 2 = 2 2b+1.s 2, r 2 a s 2 jsou lichá => 2 2a = 2 2b+1 => 2a = 2b + 1 (sudé číslo se rovná lichému) NEPRAVDA Platí: Číslo je iracionální.

Použitá literatura BUŠEK, Ivan a Emil CALDA. Matematika pro gymnázia: základní poznatky. 3., upr. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 178 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN ŠEDIVÝ, Jaroslav, Jaroslav BLAŽEK, Júlia LUKÁTŠOVÁ, Soňa RICHTÁRIKOVÁ a Jindřich VOCELKA. Matematika pro gymnázia: sešit vydání. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, Učebnice pro střední školy. SMIDA, Jozef, Júlia LUKÁTŠOVÁ, Jaroslav ŠEDIVÝ a Jindřich VOCELKA. Matematika pro I. ročník gymnázií. 1. vydání. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, Učebnice pro střední školy.