Volné rovnoběžné promítání Stereometrie Volné rovnoběžné promítání VY_32_INOVACE_M3r0102 Mgr. Jakub Němec

K čemu slouží? Díky volnému rovnoběžnému promítání jsme schopni zobrazit prostorové geometrické útvary na rovině (jednoduše řečeno na papír). Pro naše účely budeme nejčastěji využívat krychle, kvádru a jehlanu, které si nyní promítneme. Na začátek si řekněme dvě pravidla, která platí univerzálně: Útvary rovnoběžné s průmětnou (tabule či papír) si zachovávají své rozměry. Úsečky kolmé k průmětně se zobrazují pod úhlem 45° a jejich rozměry jsou poloviční.

Krychle První útvar, který budeme rýsovat, bude krychle ABCDEFGH o hraně AB = 8 cm. Prvním krokem je narýsování průmětny (Zachovává si rozměry, tedy čtverec o straně 8 cm).

V této chvíli budeme krychli zobrazovat pohledem, který se nazývá pravý nadhled. Na základě pravidla o volnoběžném promítání sestrojíme z každého vrcholu čtverce 4 cm dlouhou úsečku, která bude svírat 45° se stranami čtverce (jednoduše stačí vést rovnoběžky s úhlopříčkou čtverce, na něž naneseme kýženou velikost úsečky).

Nyní spojíme slabě i zbývající vrcholy. Získáme tak zadní stěnu, která je rovnoběžná s průmětnou, a proto musí mít zachované původní rozměry.

Jsme téměř u konce konstrukce naší krychle. Nyní musíme vyznačit části, které lze vidět silnější čarou a části, které jsou v zákrytu (nelze je vidět) přerušovaně. Postup je snadný – vždy lze vidět obrys a přední stěna (v našem případě ABFG). Jako poslední spojíme hranu FG. Ostatní hrany vidět nejsou, proto budou přerušovanou čarou.

Různé pohledy na krychli Pravý nadhled Levý nadhled

Kvádr Obdobně jako krychle se tvoří i kvádr. U dalších hranolů je postup taktéž podobný, jen se musí převést podstava do volnoběžného promítání a je nutné hlídat rovnoběžnost protilehlých stran, neboť ta zůstává vždy zachována!

Jehlan Po narýsování hranolu ve volném rovnoběžném promítání je již jen malý krok k tomu narýsovat jehlan. My si postup demonstrujeme na pravidelném čtyřbokém hranolu ABCDV s délkou podstavné hrany AB = 8 cm a výškou jehlanu SV = 10 cm. U rýsování jehlanu je prvním krokem narýsování podstavy dle známých pravidel.

Poté je třeba najít patu výšky S, kterou u jehlanů s pravidelnou podstavou hledáme ve středu kružnice opsané (při sudém počtu stran v pravidelné podstavě postačí najít průsečík úhlopříček).

Nyní vyznačíme výšku, která bude mít zachovanou velikost, protože je rovnoběžná s průmětnou. Navíc je kolmá ke straně AB, protože ta je součástí průmětny.

Nyní spojíme všechny body podstavy s vrcholem V.

Obdobně jako u hranolu vytáhneme silněji obrys tělesa a poté vytáhneme silněji všechny zbylé hrany, které lze vidět (v našem případě strana BV). Ostatní hrany budou opět přerušovanou čarou.

Úkol závěrem Narýsuj ve volném rovnoběžném promítání kvádr ABCDEFGH s rozměry AB = 6 cm, BC = 4 cm a AE = 3 cm. Narýsuj čtyřboký jehlan s podstavou obdélníku ABCDV s rozměry AB = 5 cm, BC = 3 cm a s výškou 6 cm. * Narýsuj pravidelný šestiboký hranol ABCDEFA´B´C´D´E´F´ s podstavnou hranou AB = 4 cm a s výškou AA´ = 7 cm. * Narýsuj pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV s podstavnou hranou AB = 4 cm a s výškou 7 cm.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.