ZÁKLADY EKONOMETRIE 10. cvičení Nelineární funkce

Nelineární funkce tj. nelineární v parametrech (nikoliv v proměnných) Pozn.: užívá se přirozený logaritmus, i když software píše „log“

Linearizace Semi-logaritmická transformace Logaritmická transformace logaritmus je pouze na jedné straně rovnice např. logistická křivka Logaritmická transformace logaritmus na obou stranách rovnice např. Cobb-Douglasova produkční funkce

POPTÁVKOVÉ FUNKCE (Logistická křivka)

Poptávkové funkce Klasické Po předmětech dlouhodobé spotřeby (PDS) D = f (příjem, cenový index,…) + u Po předmětech dlouhodobé spotřeby (PDS) závisí na čase, příp. příjmu apod. dynamický model analýzy poptávky logistická křivka

Předměty dlouhodobé spotřeby Vybavenost PDS roste s růstem reálných příjmů Nákupy PDS hrazeny zejména z úspor Nasycenost PDS časem dosáhne hladiny, kdy se poptávka omezí na nahrazení opotřebovaných exemplářů Zajímáme se o: Současnou vybavenost PDS – kolik se v současnosti používá Dlouhodobý trend

Logistická křivka - postup Výrobek je nově uveden na trh může si jej koupit potenciální domácnost Poptávka po výrobku rychle akceleruje s rostoucí informovaností o výrobku roste i vybavenost výrobkem Pokles nákupů většina domácností již výrobek má objevuje se renovační poptávka tzv. brzdící faktor – tempo růstu vybavenosti v sobě nese zárodek zániku 7

Poptávka Čistá poptávka Renovační poptávka nákupy, které zvyšují vybavenost tj. nákupy na tzv. první vybavení Renovační poptávka nákupy PDS za účelem nahrazení vyřazených PDS z používání nezvyšují vybavenost zajišťují prostou reprodukci 8

Předměty dlouhodobé spotřeby Úroveň vybavenosti se asymptoticky blíží k horní hranici – tzv. hladině nasycení (resp. saturace) Hladina Saturace - S

Hladina saturace Po jejím dosažení již poptávka nereaguje na změny Absolutní vybavenost měřená celkovým počtem PDS v používání Relativní vybavenost množství PDS připadající na 100 (1 000…) obyvatel či domácností

Logistická křivka Logistický růstový model Čas – jediná vysvětlující proměnná Abstrahujeme od čisté poptávky na druhé a další vybavení

Logistická křivka Vybavenost v čase t … Vt Extrémní hodnoty vybavenosti: nula hladina saturace S (každá domácnost výrobek vlastní) buď zadána také jako funkce času – tj. St nebo jako fixní hodnota (bude náš případ) S – Vt … domácnosti, které ještě PDS nejsou vybaveny – tj. okruh potenciálních zákazníků Tvar Funkce nelineární ve třech parametrech: S a, b

Logistická křivka Lze zlinearizovat přes semilogaritmickou transformaci Po substituci odhadujeme MNČ tvar y* = a – bt + u, kde

Logistická křivka do závěrečného testu znát základní vztahy: inflexní bod: t* = a/b, Vt = S/2 a – úrovňová konstanta ovlivňující výchozí úroveň Vt b - vyjadřuje rychlost nasycování trhu (čím vyšší b, tím rychleji se trh nasytí) dVt/dt … změna relativní vybavenosti na přírůstku času (tj. dt) v důsledku čisté poptávky po PDS přes řešení Bernoulliho diferenciální rovnice

Tvar logistické křivky Parametr a shodný, b různý

Tvar logistické křivky Parametr b shodný, a různý

Příklad – lkriv.xls Data představují počet domácností, které vlastní plazmové televizory: Z expertní analýzy víme, že hodnota S je 100. Úkoly: Určete explicitní tvar křivky Vt Určete inflexní bod t*, tj. dobu, kdy je trh nasycen z 50 % hodnoty S Otestuje heteroskedasticitu Whiteovým testem

DUMMY = UMĚLÉ PROMĚNNÉ

Umělé proměnné = proměnné 0-1 = dummy proměnné = booleovské proměnné Kvalitativní proměnné dosud – kvantitativní (resp. numerické) proměnné

Umělé proměnné Jde o doplněk ke kvantitativním veličinám Zpřesňují model Růst vícenásobného koeficientu determinace Pokles nevysvětleného rozptylu

Umělé proměnné – průřezová data Vyjadřují přítomnost či nepřítomnost dané vlastnosti Přítomnost … obvykle 1 Zbytek … obvykle 0 např. žena „1“, muž „0“ např. vzdělání – základní „0“, střední „1“, vysokoškolské „2“ apod.

Umělé proměnné – časové řady Základní funkce: sezónnost v PcGivu se vyskytnou v nabídce speciálních proměnných, jen pokud jsou data měsíční či čtvrtletní

Umělé proměnné - postup Pozor: vyvarovat se perfektní multikolinearity Do modelu zahrneme o jednu dummy proměnnou méně než je počet sledovaných vlastností Zbylá dummy proměnná tvoří základ, ke kterému ostatní vlastnosti porovnáváme Dvě pohlaví – jedna dummy Tři stupně vzdělání – dvě dummy

Příklad - dummy2.xls Y – plat učitelů X – praxe Roli hraje pohlaví – muž / žena Odhadněte model Y = f (X, pohlaví) 24

Příklad – dummy2 - řešení 25

Příklad - rozpocet.xls R – příjmy státního rozpočtu v miliardách Kč Odhadněte model: R = f (trend) Pokuste se zachytit v modelu vliv posledního čtvrtletí v daném roce (tj. zapojit čtvrtý kvartál do modelu)

Rozpočet

Možná otázka do závěrečného testu Poptávka po předmětech dlouhodobé spotřeby Podstata Tvar funkce Odhad pomocí MNČ Interpretace koeficientů Dummy proměnné Proč je uvažujeme? Jak s nimi počítáme? Jak je interpretujeme?