pojednává o působení sil na tělesa „zvnějšku”. Základy mechaniky, 1. přednáška Mechanika je spolu s astronomií nejstarším oborem fyziky. Některá její pravidla byla na empirické úrovni známa již stavitelům pyramid. Pojednává o působení sil na tělesa a o účincích tohoto působení. Podle charakteru tohoto působení a podle charakteru samotných těles se pak mechanika dělí do dalších odvětví. Mechanika vnějších sil (někdy se označuje jako „mechanika absolutně tuhých těles“) pojednává o působení sil na tělesa „zvnějšku”. (Tyto síly mohou způsobit např. pohyb tělesa.) Mechanika vnitřních sil (někdy se označuje jako „mechanika poddajných těles“) pojednává o tom jak se vnější síly, na těleso působící, přenáší vnitřním objemem tělesa a jak je materiál tělesa namáhán. (Namáhání může vést až k destrukci tělesa, jeho rozbití, zlomení, roztržení apod.) Na VŠB - Technické univerzitě Ostrava se mechanikou vnějších sil zabývají předměty, vyučované katedrou mechaniky (např. základy mechaniky a další). Mechanikou vnitřních sil se pak zabývají předměty, vyučované katedrou pružnosti a pevnosti (např. pružnost a pevnost a jiné). Tento učební text se bude zabývat mechanikou vnějších sil, v menší míře pak vybranými kapitolami mechaniky vnitřních sil.

Základy mechaniky, 1. přednáška Mechanika vnějších sil V mechanice vnějších sil bývá obvyklé formulovat předpoklad absolutně tuhých těles. Těleso pokládáme za absolutně tuhé (nedeformovatelné). Nebereme v úvahu změnu tvaru, způsobenou vnějšími silami. Je zřejmé, že tento předpoklad není zcela správný, neboť každé skutečné těleso se působením sil deformuje. V mnoha případech však je možno tuto deformaci a její účinky zanedbat (je-li těleso z tuhého materiálu, jako je např. ocel). Pokud naopak deformace tělesa vlivem působících sil není zanedbatelná (např. je-li těleso z měkké pryže), pak tento zjednodušující předpoklad přijmout nelze. Mechanika vnějších sil, působících na poddajná tělesa, je přirozeně podstatně složitější a přesahuje rámec tohoto učebního textu. Poznámka : V mechanice vnitřních sil se předpoklad absolutně tuhého tělesa nezavádí, protože namáhání materiálu tělesa (jeho napětí) je příčinně svázáno s jeho deformací.

mechanika statika dynamika Dynamika I, 1. přednáška Předmět Dynamika je součástí většího předmětu Mechanika. I samotný předmět Mechanika můžeme chápat v širším rámci a dělit jej na mechaniku vnějších sil (statika a dynamika) a mechaniku vnitřních sil (pružnost a pevnost). mechanika statika dynamika Statika se zabývá působením sil na tělesa, která jsou v klidu. Dynamika se zabývá působením sil na pohybující se tělesa. Zabývá se vztahem mezi silami a pohybem.

Základy mechaniky, 1. přednáška Základy mechaniky položil Isaac Newton (1642-1727) ve svém díle „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687). Lze je shrnout do čtyř tzv. Newtonových zákonů. 1. Newtonův zákon - zákon setrvačnosti. Těleso zůstává v klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, jestliže není přinuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit. 2. Newtonův zákon - zákon síly. Působí-li na těleso vnější síla, je změna rychlosti tělesa přímo úměrná této působící síle, přičemž konstantou úměrnosti je hmotnost tělesa. Tento zákon obvykle vyjadřujeme ve formě rovnice : tedy hmotnost · zrychlení = síla 3. Newtonův zákon - zákon akce a reakce. Dvě tělesa, která jsou ve vzájemném kontaktu, na sebe působí silami stejně velkými, opačně orientovanými.

a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy. Základy mechaniky, 1. přednáška Newtonův gravitační zákon. Dvě tělesa se navzájem přitahují silou, přímo úměrnou hmotnosti obou těles a nepřímo úměrnou čtverci vzdálenosti mezi oběma tělesy. V matematické podobě pak : k = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2 - gravitační konstanta, m1 - hmotnost jednoho tělesa, m2 - hmotnost druhého tělesa, r - vzdálenost mezi tělesy. Na povrchu Země pak je : m1 = 5,98·1024 kg - hmotnost Země, r = 6 378 km - poloměr Země. Přitažlivá (tíhová) síla pak je : kde g je gravitační zrychlení :

V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů. Dynamika I, 1. přednáška V dynamice se budeme zabývat pohybem tří základních typů objektů. Bod - je objekt, jenž nemá žádné rozměry . Je zřejmé, že tento pojem je pojmem abstraktním. Žádné reálně těleso nemůže být skutečně bodem. Přesto je tato abstrakce užitečná a mnoho případů pohybu reálného tělesa lze se zanedbatelnou chybou zredukovat na pohyb hmotného bodu. Těleso - je objekt nezanedbatelných rozměrů, nedeformovatelný. V mechanice zavádíme předpoklad absolutně tuhého tělesa. To znamená, že deformace tělesa vlivem působících sil je zanedbatelná. Dynamika poddajných těles (jejichž deformace není zanedbatelná) přesahuje rozsah tohoto učebního textu. Soustava těles - je objekt, složený z několika těles, jejichž vzájemná poloha se může měnit. Soustavu těles nazýváme mechanismem.

Základy mechaniky, 1. přednáška Tento učební text bude rozčleněn do tří úseků. 1. přednáška Statika 2. přednáška Zde se budeme zabývat působením vnějších sil na tělesa, která jsou v klidu. 3. přednáška 4. přednáška 5. přednáška 6. přednáška 7. přednáška 8. přednáška Pružnost a pevnost 9. přednáška Zde se budeme zabývat důsledky silového působení na vnitřní namáhání materiálu. 10. přednáška 11. přednáška Dynamika 12. přednáška Zde se budeme zabývat působením vnějších sil na pohybující se tělesa, vztahem mezi silami a pohybem. 13. přednáška 14. přednáška

Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Statika je přirozeným základem mechaniky. Začala se vyvíjet historicky nejdříve a dává nám základní nástroje pro analýzu silového působení. Těmito nástroji je vyšetřování silové rovnováhy a uvolňování vazeb. (Oba tyto postupy budou dále podrobně vysvětleny.) Ve statice se postupně seznámíme se dvěma základními okruhy problémů : Síla, její charakteristiky, účinky, operace se silami. Silové soustavy, jejich klasifikace, výslednice, rovnováha. Vazby, uvolňování, výpočet reakcí. Přenos silových účinků mezi navzájem vázanými tělesy. Kromě těchto základních problémových okruhů budou probrány ještě některé doplňkové kapitoly.

hmotnost · zrychlení = síla Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Síla, silová soustava Síla - základní fyzikální veličina ve statice Pro jednoznačnost dalšího výkladu by bylo vhodné definovat pojem „síla“. Přijmeme-li za jeden ze základů mechaniky druhý Newtonův zákon ve tvaru : hmotnost · zrychlení = síla kde zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti, změnu pohybu, je možno definovat : „Síla je příčina změny pohybového stavu hmotného objektu.“ Hmotným objektem zde samozřejmě rozumíme hmotný bod, těleso nebo soustavu těles. Sílu při číselném vyjádření uvádíme v jednotkách 1 newton. V praxi se toto označení zkracuje na 1 N. Síla 1 N udělí tělesu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1 m/s2. Těleso o hmotnosti 1 kg je přitahováno k Zemi gravitační silou 9,81 N.

Síla je charakterizována svou velikostí a směrem působení. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Síla je charakterizována svou velikostí a směrem působení. Je to tedy vektorová veličina (podobně jako rychlost, intenzita elektrického pole apod.). Opakem jsou skalární veličiny, charakterizované pouze svou velikostí (hmotnost, elektrický náboj apod.). Sílu označujeme nejčastěji písmenem z anglického slova force - síla někdy však také jinými písmeny : gravitační síla dynamická síla, apod. Ve schematických náčrtech sílu symbolicky zobrazujeme jako šipku. Šipka svou délkou symbolizuje velikost síly, svým směrem určuje směr působení síly. Hovoříme-li o směru síly, odlišujeme pojmy „směr“ a „orientace“ síly. Např. směr je vodorovný, orientace je doprava nebo doleva, směr je svislý, orientace je nahoru nebo dolů. V tomto smyslu je při určitém směru vždy jen dvojí možná orientace. Síla vždy působí v určitém konkrétním bodě, který nazýváme působiště síly. Závěrem lze tedy shrnout, že : Síla je určena svou velikostí, směrem, orientací a působištěm.

na tento obraz (není myšlena tíhová síla). Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Účinky síly Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým. Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem (viz předchozí strana). Momentový účinek - moment síly. Představme si obraz, visící na stěně, a uvažujme dva odlišné případy působení síly na tento obraz (není myšlena tíhová síla). V obou případech se jedná o stejně velkou sílu, působící stejným směrem (svisle dolů). Obě síly mají tedy stejný silový účinek. Síla působí ve středu spodní vodorovné hrany obrazu. Síla působí v rohu obrazu. Odlišný účinek obou sil je zřejmý : V prvním případě se s obrazem nebude nic dít, ve druhém případě se obraz natočí.

Tento příklad názorně demonstruje odlišný momentový účinek obou sil. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Účinky síly Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým. Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem. Momentový účinek - moment síly. Tento příklad názorně demonstruje odlišný momentový účinek obou sil. Rozdíl je v kolmé vzdálenosti mezi závěsným bodem a silou. Je zřejmé, že zatímco silový účinek je zcela určen samotnou silou, momentový účinek je kromě síly určen také polohou tohoto závěsného bodu. Ten se v mechanice obecně nazývá momentový bod.

můžeme definovat moment síly : Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Účinky síly Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým. Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem. Momentový účinek - moment síly. Jestliže přímku, na níž leží vektor síly, označíme jako nositelku síly, a kolmou vzdálenost momentového bodu od nositelky síly označíme jako rameno síly, můžeme definovat moment síly : Moment síly je dán součinem síly a ramene síly. Rameno síly je kolmá vzdálenost momentového bodu od nositelky síly.

má různé momentové účinky k různým momentovým bodům. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Účinky síly Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým. Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem. Momentový účinek - moment síly. Je zřejmé, že jedna určitá síla, se zcela jednoznačným, určitým silovým účinkem, má různé momentové účinky k různým momentovým bodům. Naproti tomu síly stejné velikosti a směru, ležící na stejné nositelce, mají k danému momentovému bodu stejný momentový účinek. Lze tedy definovat důležitou vlastnost síly : F nositelka síly momentový bod moment síly Síla je volná po své nositelce.

(přestože se změnilo její působiště). Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Účinky síly Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým. Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem. Momentový účinek - moment síly. To znamená, že jestliže určitou sílu posuneme po její nositelce, její účinky se nezmění. Silový účinek se nezmění, protože síla má pořád stejnou velikost a směr, momentový účinek se nezmění, protože síla působí pořád na stejném rameni, (přestože se změnilo její působiště). F nositelka síly momentový bod moment síly Síla je volná po své nositelce. Přeložíme-li však sílu na jinou nositelku, její momentový účinek se změní.

Povšimněme si odlišného smyslu orientace síly a momentu. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Účinky síly Síla se projevuje dvěma účinky - silovým a momentovým. Silový účinek je dán velikostí síly a jejím směrem. Momentový účinek - moment síly. Povšimněme si odlišného smyslu orientace síly a momentu. Síla je orientována nahoru nebo dolů, doprava nebo doleva. Moment síly je orientován ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Dvě síly stejného směru mají k momentovému bodu, ležícímu mezi nimi, opačný moment.

Výsledná síla (výslednice) dvou sil je dána pravidlem rovnoběžníka. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Při řešení praktických úloh se obvykle setkáváme se současným působením několika sil. Je třeba znát jejich výsledné účinky. Seznámíme se nejprve se skládáním dvou sil. Výsledná síla (výslednice) dvou sil je dána pravidlem rovnoběžníka. Vektorový obrazec obou sil doplníme na rovnoběžník, výslednice pak je dána úhlopříčkou tohoto rovnoběžníka. Matematický zápis této operace má tvar: Výslednici můžeme určit dvěma způsoby : Postup grafický - ve zvoleném měřítku přesně narýsujeme rovnoběžník sil, změříme úhlopříčku a opět pomocí měřítka určíme velikost výslednice; směr výslednice je dán přímo směrem úhlopříčky. Postup početní - vektorový obrazec doplníme o úhel a mezi silami F1 a F2 a úhel d mezi silou F1 a výslednicí FV. Velikost a směr výslednice FV pak vyplývají z cosinové a sinové věty.

Výsledná síla (výslednice) dvou sil je dána pravidlem rovnoběžníka. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Při řešení praktických úloh se obvykle setkáváme se současným působením několika sil. Je třeba znát jejich výsledné účinky. Seznámíme se nejprve se skládáním dvou sil. Výsledná síla (výslednice) dvou sil je dána pravidlem rovnoběžníka. Vektorový obrazec obou sil doplníme na rovnoběžník, výslednice pak je dána úhlopříčkou tohoto rovnoběžníka. Samotný fakt, že výsledný silový účinek dvou sil je dán stejným pravidlem, jakým se řídí rozměry jednoduchých geometrických obrazců, je zajímavou hříčkou přírody. Nutně nás vede k úvahám o hlubším řádu bytí.

Opačným postupem, než je skládání sil, je rozklad síly do dvou směrů. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Opačným postupem, než je skládání sil, je rozklad síly do dvou směrů. Vektorový obrazec, jakož i uvedené vzorce, mají stejnou platnost, jako při skládání. Jde však o postup opačným směrem : jednu výslednici FV rozkládáme na dvě dílčí síly - složky F1 a F2. Nejprve vedeme počátečním a koncovým bodem rozkládané síly rovnoběžky se směry 1 a 2, do nichž chceme sílu rozložit. Průsečíky rovnoběžek pak určují koncové body jednotlivých složek rozkládané síly.

Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání rovnoběžných sil. Z vektorového obrazce, představujícího složení dvou rovnoběžných sil (rovnoběžník se „zploštil“), vyplývá, že skládání rovnoběžných sil je jediným případem, kdy se síly prostě sčítají. Rovněž uvedené vzorce pro velikost a směr výslednice se pro úhel a = 0º podstatně zjednoduší : cos 0 = 1 sin 0 = 0 Velikost výslednice dvou rovnoběžných sil je tedy dána prostým součtem obou sil, její směr je shodný se směrem těchto sil. Velmi podobně se skládají dvě rovnoběžné, avšak opačně orientované síly (a = 180º). cos 180º = -1 sin 180º = 0 Souhrnně lze tedy říci, že rovnoběžné síly se prostě sčítají s ohledem na znaménko (což znamená, že opačně orientované síly se odečítají).

Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání kolmých sil. I pro skládání (nebo rozklad) kolmých sil použijeme pravidlo rovnoběžníka a dříve uvedené vzorce pro a = 90º. cos 90º = 0 sin 90º = 1 Se skládáním a rozkládáním kolmých sil se setkáme v souvislosti s kartézským souřadným systémem x-y. Složky pak obvykle označíme Fx a Fy.

Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání více než dvou sil. V praxi zřídka kdy vystačíme se skládáním dvou sil. Obvykle je třeba nalézt výsledný silový účinek soustavy více než dvou sil. Postup grafický - vektory sil ve zvoleném měřítku za sebou „řetězíme“ tak, že ke koncovému bodu jedné síly připojujeme počáteční bod další síly. Takto pokračujeme se všemi silami. Výslednice je pak dána počátečním bodem první síly a koncovým bodem poslední síly. Vzniklý vektorový obrazec se obvykle nazývá „složkový obrazec“.

Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání více než dvou sil. Postup početní - lze rozdělit do tří kroků : 1) Každou sílu Fi rozložíme na složky Fix a Fiy ve směru os x a y. 2) Prostým součtem x-ových a y-nových složek všech sil dostaneme x-ovou a y-novou složku výslednice. 3) Z jednotlivých složek výslednice FV vypočteme její velikost a směr.

S fi Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání více než dvou sil. Postup početní - lze dobře algoritmizovat a řešit v tabulkovém procesoru (např. MS Excel). 0) zadání 1) rozklad jednotlivých sil i F [N] fi [º] Fix=Fi·cos fi Fiy=Fi·sin fi 1 16 22º  14,84 5,99 2 7 135º  -4,95 4,95 3 5 -112º  -1,87 -4,64 4 10 -17º  9,56 -2,92 S 17,9 11º   17,58 3,38 3) výslednice 2) součet složek jednotlivých sil výslednice FV = 17,9 N, úhel fV = 11º úhel f se měří od osy x kladně proti směru hodinových ručiček, záporně ve směru hodinových ručiček

- jmenovatel j<0 + jmenovatel j>0 + čitatel č>0 Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Skládání více než dvou sil. Postup početní - lze dobře algoritmizovat a řešit v tabulkovém procesoru (např. MS Excel). Poznámka : Při vyhodnocování funkce arctan je třeba brát v úvahu nejen samotnou hodnotu argumentu, ale také podílem jakých čísel argument vznikl. Např. arctan(1/2)=arctan(0.5)=26.6º, ale arctan(-1/-2)=arctan(0.5)=-153.4º. Podobně arctan(-1/2)=arctan(-0.5)=-26.6º, ale arctan(1/-2)=arctan(-0.5)=153.4º. Obecně pro funkci arctan platí : je-li : - jmenovatel j<0 + jmenovatel j>0 + čitatel č>0 výsledek  90,180º výsledek  0,90º - čitatel č<0 výsledek  -180º,-90º výsledek  -90º,0 č>0 j<0 č>0 j>0 Funkce arctan je obvykle naprogramována tak, že dává výsledek v intervalu -90º,+90º. Je-li jmenovatel kladný, je tento výsledek správný. Je-li jmenovatel záporný, je třeba výsledek posunout o 180º. č<0 j<0 č<0 j>0

Je zřejmé, že výslednice těchto dvou sil je nulová. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Silová dvojice. Silová dvojice jsou dvě síly stejně velké, stejného směru ale opačné orientace. Je zřejmé, že výslednice těchto dvou sil je nulová. Výsledný silový účinek silové dvojice je nulový. Síly však mají rovněž momentový účinek. Silový účinek silové dvojice je nulový. Momentový účinek silové dvojice je dán součinem velikosti síly a ramene síly. Rameno je kolmá vzdálenost mezi nositelkami obou sil. Výsledný vzorec neobsahuje rozměr a, určující polohu silové dvojice vůči momentovému bodu. Momentový účinek tedy nezávisí na poloze momentového bodu. Lze tedy definovat důležitou vlastnost silové dvojice : Silová dvojice je volná v rovině. To znamená, že silová dvojice má stejné účinky, ať se nachází kdekoliv v rovině. Její silový účinek je nulový, momentový účinek je k libovolnému bodu stejný.

Konstatovali jsme, že síla je volná na své nositelce. Základy mechaniky, 1. přednáška Statika Operace se silami, skládání a rozklad sil Přeložení síly mimo nositelku. Zavedení pojmu „silová dvojice“ nám umožňuje překládat sílu mimo její nositelku. Konstatovali jsme, že síla je volná na své nositelce. To jest posuneme-li sílu kamkoliv po její nositelce, účinky síly se nezmění. Nelze jednoduše překládat sílu mimo její nositelku, aniž by se její účinky změnily. Lze však sílu přeložit mimo její nositelku, doplníme-li její momentový účinek. rovnocenné nahrazení r