Název školy: Gymnázium Zlín - Lesní čtvrť Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu: Rozvoj žákovských kompetencí pro 21. století Název šablony: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název DUM: KONSTRUKCE GRAFU ELIPSY Označení DUM: VY_32_INOVACE_02_2_14 Autor: Mgr. Helena Šenkeříková Datum: Vzdělávací oblast: Člověk a příroda Vzdělávací obor: Matematika Tematický okruh: Analytická geometrie Ročník: 3. ročník Anotace: Názorná ukázka vytvoření dané křivky podle definice, ukázka konstrukce i podle jiných vztahů, které jsou odvozeny a dokázány před názornou ukázkou.

KONSTRUKCE GRAFU ELIPSY 1. Vykreslení grafu podle definice 2. Konstrukce grafu podle parametrických rovnic - trojúhelníková konstrukce 3. Konstrukce grafu pomocí dělení obou poloos - příčková konstrukce

1. Vykreslení grafu podle definice

ELIPSA V rovině jsou dány 2 různé body (ohniska elipsy E, F). Množinu všech bodů X v dané rovině, které mají součet vzdáleností od obou ohnisek konstantní a tento součet je větší než vzdálenost ohnisek, nazýváme elipsou. Platí: |EX| + |FX| = 2a, kde a je hlavní poloosa elipsy

2. Konstrukce grafu podle parametrických rovnic - trojúhelníková konstrukce

Rovnice elipsy se středem S[0,0]: Víme, že platí: cos 2  + sin 2  Tedy platí i: Z toho plyne, porovnáme-li s rovnicí elipsy, že množina bodů elipsy má souřadnice [acos , bsin  ], což je průsečík kolmice vedené z průsečíku ramene úhlu  s kružnicí o poloměru a s rovnoběžkou vedenou průsečíkem ramene úhlu  s kružnicí o poloměru b (viz následující obrázek).

3. Konstrukce grafu pomocí dělení obou poloos - příčková konstrukce

p q Rozdělíme poloosu a i poloosu b na stejný počet dílků, označme, že jich bude n. Z poloosy a je přeneseme na obdélník, opsaný elipse, viz obrázek. Pak zvolíme m dílků na poloose b od středu elipsy, na obdélníku od pravého vrcholu elipsy. Pak spojíme hlavní vrcholy s těmito body podle obrázku přímkami p,q. Průsečík je bodem elipsy.

rovnice přímky p : rovnice přímky q : Souřadnice průsečíku musí vyhovovat oběma rovnicím, řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Vyjde nám,. Chceme dokázat, že tento průsečík vyhovuje rovnici elipsy: b 2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b 2 Dosadíme souřadnice průsečíku do rovnice: | : a 2 b 2 |. Z toho plyne, že rovnice vždy platí pro libovolná přirozená čísla m,n. Takže každý průsečík takto sestrojený leží na elipse. Důkaz: Poznámka: Protože elipsa je souměrně sdružená podle obou os, platí totéž pro zbývající kvadranty, jen osově převráceně.

ÚKOL: Proveďte konstrukci elipsy Použijte trojúhelníkovou metodu.

1. Narýsujeme osový kříž a dvě soustředné kružnice o poloměru 8 cm a 5 cm

2. Narýsujeme ze středu polopřímku (koncové rameno orientovaného úhlu – čím menší úhel, tím je konstrukce přesnější)

3. Průsečíkem polopřímky a menší kružnice vedeme rovnoběžku s osou x, průsečíkem s větší kružnicí vedeme kolmici

4. Průsečík rovnoběžky a kolmice je bod elipsy

5. Narýsujeme další polopřímku a vedeme průsečíky rovnoběžku a kolmici

6. Narýsujeme další polopřímku a vedeme průsečíky rovnoběžku a kolmici

7. Průsečík rovnoběžky a kolmice je další bod elipsy