Rovnoběžné promítání. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. 1.přednáška Rovnoběžné promítání. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.

Literatura: Černý, J. - Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Skriptum ČVUT, Praha 1995. Dudková, K. – Hamříková, R.: Kuželosečky, kolineace. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2005 Piska, R. - Medek, V.: Deskriptivní geometrie I., Praha, SNTL 1967. Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. Praha, SNTL 1965.

Pojmy: rovnoběžné promítání průmětna směr promítání průmět promítací přímka promítací rovina stopník stopa kolmé promítání souřadnice nevlastní bod nevlastní přímka nevlastní rovina rozšířený euklidovský prostor afinita osa afinity samodružný bod

Co to je promítání? Promítání je zobrazení trojrozměrného prostoru E3 do roviny E2. Rovnoběžné promítání je dáno průmětnou π a směrem s – (π, s). Středové promítání je dáno průmětnou π a středem promítání S – (π, S).

Základní vlastnosti rovnoběžného promítání Průmětem libovolného bodu je bod. Průmětem přímky  je bod, resp. přímka . Promítání zachovává incidenci. Průsečík přímky s průmětnou je stopník této přímky. Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek jsou buď dva různé body ( a // b // s ) nebo jedna přímka nebo dvě rovnoběžné přímky (neboli: rovnoběžné promítání zachovává rovnoběžnost přímek). Průmětem roviny je buď přímka nebo celá průmětna. Průsečnice roviny s průmětnou se nazývá stopou této roviny . Promítání zachovává střed úsečky (obecně dělicí poměr).

ad 2) Průmětem přímky a je bod a‘ , resp. přímka a‘ :

ad 5) Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek mohou být dva různé body ( a // b // s ):

ad 5) Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek může být jedna přímka:

ad 5) Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek mohou být dvě různé rovnoběžné přímky:

ad 8) Promítání zachovává střed úsečky.

Kolmé (pravoúhlé) promítání - je rovnoběžné promítání, jehož směr je kolmý na průmětnu.

Vlastnosti kolmého promítání: Nechť průmětem úsečky AB, neležící na promítací přímce, je úsečka A‘B‘, pak: v pravoúhlém promítání platí: |A‘B‘| = |AB| cos  , kde  je odchylka přímky AB od průmětny. Kolmý průmět úsečky je tedy vždy kratší nebo roven délce původní úsečky.

Kolmý průmět pravého úhlu: Předpokládejme, že žádné z ramen pravého úhlu není kolmé k průmětně. Kolmým průmětem pravého úhlu je pravý úhel právě tehdy, když aspoň jedno rameno úhlu je rovnoběžné s průmětnou. ( úhel ACB = úhel A‘C‘B‘= R)

Rozšířený euklidovský prostor Nevlastním bodem (neboli směrem) označujeme společný bod soustavy navzájem rovnoběžných vlastních přímek. Euklidovskou přímku doplněnou o její nevlastní bod nazveme rozšířenou euklidovskou přímkou.

Rozšířený euklidovský prostor Nevlastní přímkou (neboli zaměřením) označujeme společnou přímku soustavy navzájem rovnoběžných vlastních rovin. Euklidovskou rovinu doplněnou o její nevlastní přímku nazveme rozšířenou euklidovskou rovinou.

Rozšířený euklidovský prostor Nevlastní rovinou nazýváme množinu nevlastních bodů všech přímek prostoru. Euklidovský prostor E3 doplněný o nevlastní rovinu nazveme rozšířený euklidovský prostor.

Příklad Určete rovinu ρ procházející přímkou p a nevlastním bodem B. Neboli: Sestrojte rovinu, která prochází přímkou p a je rovnoběžná se směrem B.

Rovina ρ je rovnoběžná s přímkou B

Souřadnice bodu v rovině a v prostoru: Pravoúhlý souřadnicový systém : kladný a záporný v rovině, pravo- a levotočivý v prostoru.

Rovnoběžný průmět tělesa U - těleso, k - skutečný obrys tělesa, k‘ - zdánlivý obrys tělesa (průmět skutečného obrysu), U‘ - průmět tělesa,  - promítací plocha tělesa je tvořena všemi promítacími přímkami skutečného obrysu

Osová afinita v rovině: Odvození základní pojmy a vlastnosti: osová afinita v rovině je nejčastěji dána osou o a jednou dvojicí odpovídajících si bodů A,A‘. je-li směr s kolmý k ose o, nazývá se taková afinita pravoúhlá. osová afinita zachovává incidenci. odpovídající si body leží na přímkách, které jsou rovnoběžné se směrem s afinity , odpovídající si přímky se protínají na ose o afinity v tzv. samodružných bodech. afinita zachovává rovnoběžnost přímek a dělicí poměr na odpovídajících si úsečkách (tzn. např. střed úsečky).

Příklad: V osové afinitě určené dvojicí sdružených přímek a a a1 a dvojicí sdružených bodů O a O1 sestrojte k pravidelnému šestiúhelníku, vepsanému do kružnice se středem v bodě O a se stranou na přímce a, šestiúhelník afinně sdružený .

Proužková konstrukce elipsy (využívá kolmé afinity mezi elipsou a kružnicí): Použijeme pro vyhledání délky vedlejší poloosy b, pokud známe hlavní vrcholy A,B a jeden libovolný bod M elipsy.